华东师大版七年级数学上册第6讲整式的混合运算讲义（含答案）

第6讲
整式的混合运算
知识整合
同类项，合并同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也相等的项叫做同类项。常数项都是同类项。
同类项合并法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。
去括号与添括号，整式的加减
去括号法则：1，括号前面是＋号的，把括号和它前面的加号去掉，括号里面各项都不改变正负号；
2，括号前面是—号的，把括号和它前面的负号去掉，括号里各项都改变正负号；
添括号法则：1，所添括号前面是＋号，括到括号里的各项都不改变正负号；
2，所添括号前面是—号，括到括号里的各项都改变正负号；
3.整式加减运算的一般步骤是：先去括号，再合并同类项。
重点讲解
重点1、同类项，合并同类项
指出下列各题的两项是不是同类项，如果不是，请说明理由．
(1)－x2y与x2y；
(2)23与－34；
(3)2a3b2与3a2b3；
(4)xyz与3xy.
答(1)是同类项，因为－x2y与x2y都含有x和y，且x的指数都是2，y的指数都是1；
(2)是同类项，因为23与－34都不含字母，为常数项．常数项都是同类项；
(3)不是同类项，因为2a3b2与3a2b3中，a的指数分别是3和2，b的指数分别为2和3，所以不是同类项；
(4)不是同类项，因为xyz与3xy中所含字母不同，xyz含有字母x、y、z，而3xy中含有字母x、y.所以不是同类项．
方法总结：(1)判断几个单项式是否是同类项的条件：所含字母相同；相同字母的指数分别相同．(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．(3)常数项都是同类项．
若－5x2ym与xny是同类项，则m＋n的值为(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
解析：∵－5x2ym和xny是同类项，
∴n＝2，m＝1，m＋n＝1＋2＝3，
故选C.
方法总结：注意掌握同类项定义中的两个“相同”：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指数相同，解题时易混淆，因此成了中考的常考点．
重点2：去括号与添括号
下列去括号正确吗？如有错误，请改正．
(1)＋(－a－b)＝a－b；
(2)5x－(2x－1)－xy＝5x－2x＋1＋xy；
(3)3xy－2(xy－y)＝3xy－2xy－2y；
(4)(a＋b)－3(2a－3b)＝a＋b－6a＋3b.
解析：先判断括号外面的符号，再根据去括号法则选用适当的方法去括号．
解：(1)错误，括号外面是“＋”号，括号内不变号，应该是：＋(－a－b)＝－a－b；
(2)错误，－xy没在括号内，不应变号，应该是：5x－(2x－1)－xy＝5x－2x＋1－xy；
(3)错误，括号外是“－”号，括号内应该变号，应该是：3xy－2(xy－y)＝3xy－2xy＋2y；
(4)错误，有乘法的分配律使用错误，应该是：(a＋b)－3(2a－3b)＝a＋b－6a＋9b.
方法总结：本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“＋”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“－”，去括号后，括号里的各项都改变符号．
先去括号，后合并同类项：
(1)x＋[－x－2(x－2y)]；
(2)a－(a＋b2)＋3(－a＋b2)；
(3)2a－(5a－3b)＋3(2a－b)；
(4)－3{－3[－3(2x＋x2)－3(x－x2)－3]}．
解析：去括号时注意去括号后符号的变化，然后找出同类项，根据合并同类项的法则，即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．
解：(1)x＋[－x－2(x－2y)]＝x－x－2x＋4y＝－2x＋4y；
(2)原式＝a－a－b2－a＋b2＝－2a＋；
(3)2a－(5a－3b)＋3(2a－b)＝2a－5a＋3b＋6a－3b＝3a；
(4)－3{－3[－3(2x＋x2)－3(x－x2)－3]}＝－3{9(2x＋x2)＋9(x－x2)＋9}＝－27(2x＋x2)－27(x－x2)－27＝－54x－27x2－27x＋27x2－27＝－81x－27.
方法总结：解决本题是要注意去括号时符号的变化，并且不要漏乘．有多个括号时要注意去各个括号时的顺序．
重点3：整式的加减
化简：3(2x2－y2)－2(3y2－2x2)．
解析：先运用去括号法则去括号，然后合并同类项．注意去括号时，如果括号前是负号，那么括号中的每一项都要变号；合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变．
解：3(2x2－y2)－2(3y2－2x2)＝6x2－3y2－6y2＋4x2＝10x2－9y2.
方法总结：去括号时应注意：①不要漏乘；②括号前面是“－”，去括号后括号里面的各项都要变号．
化简求值：a－2(a－b2)－(a＋b2)＋1，其中a＝2，b＝－.
解析：原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
解：原式＝a－2a＋b2－a－b2＋1＝－3a＋b2＋1，当a＝2，b＝－时，原式＝－3×2＋×(－)2＋1＝－6＋＋1＝－4.
方法总结：化简求值时，一般先将整式进行化简，当代入求值时，要适当添上括号，否则容易发生计算错误，同时还要注意代数式中同一字母必须用同一数值代替，代数式中原有的数字和运算符号都不改变．
巩固练习
1，
将下列各式合并同类项．
(1)2a2－3ab＋4b2－5ab－6b2；
(2)－ab3＋2a3b＋3ab3－4a3b.
答：(1)2a2－3ab＋4b2－5ab－6b2＝2a2＋(4－6)b2＋(－3－5)ab＝2a2－2b2－8ab；
(2)－ab3＋2a3b＋3ab3－4a3b＝(－1＋3)ab3＋(2－4)a3b＝2ab3－2a3b.
解析：逆用乘法的分配律，再根据合并同类项的法则“把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变”进行计算．
2，化简求值：2a2b－2ab＋3－3a2b＋4ab，其中a＝－2，b＝.
解析：原式合并同类项得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
解：2a2b－2ab＋3－3a2b＋4ab＝(2－3)a2b＋(－2＋4)ab＋3＝－a2b＋2ab＋3.将a＝－2，b＝代入得原式＝－(－2)2×＋2×(－2)×＋3＝－1.
方法总结：对多项式化简求值时，一般先化简，即先合并同类项，再代入值计算结果，在算式中代入负数时，要注意添加负号．
3，有一批货物，甲可以3天运完，乙可以6天运完，若共有x吨货物，甲乙合作运输一天后还有________吨没有运完．
解析：甲每天运货物的，乙每天运货物的，则两个人合作运输一天后剩余的货物为x－x－x＝x吨，故填x.
方法总结：体现了数学在生活中的运用．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量之间的关系．
4，先化简，再求值：已知x＝－4，y＝，求5xy2－[3xy2－(4xy2－2x2y)]＋2x2y－xy2.
解析：原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
解：原式＝5xy2－3xy2＋4xy2－2x2y＋2x2y－xy2＝5xy2，当x＝－4，y＝时，原式＝5×(－4)×()2＝－5.
方法总结：解决本题是要注意去括号，去括号要注意顺序，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．负数代入求值时，要加上括号．
5，已知式子x2－4x＋1的值是3，求式子3x2－12x－1的值．
解析：若从已知条件出发先求出x的值，再代入计算，目前来说是不可能的．因此可把x2－4x看作一个整体，采用整体代入法，则问题可迎刃而解．
解：因为x2－4x＋1＝3，所以x2－4x＝2，所以3x2－12x－1＝3(x2－4x)－1＝3×2－1＝5.
方法总结：在整式的加减运算中，运用整体思想对某些问题进行整体处理，常常能化繁为简，解决一些目前无法解决的问题．
6，某商店有一种商品每件成本a元，原来按成本增加b元定出售价，售出40件后，由于库存积压，调整为按售价的80%出售，又销售了60件．
(1)销售100件这种商品的总售价为多少元？
(2)销售100件这种商品共盈利多少元？
解析：(1)求出40件的售价与60件的售价即可确定出总售价；
(2)由利润＝售价－成本列出关系式即可得到结果．
解：(1)根据题意得40(a＋b)＋60(a＋b)×80%＝88a＋88b(元)，则销售100件这种商品的总售价为(88a＋88b)元；
(2)根据题意得88a＋88b－100a＝－12a＋88b(元)，则销售100件这种商品共盈利(－12a＋88b)元．
方法总结：解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则．
7，有这样一道题“当a＝2，b＝－2时，求多项式3a3b3－a2b＋b－(4a3b3－a2b－b2)＋(a3b3＋a2b)－2b2＋3的值”，马小虎做题时把a＝2错抄成a＝－2，王小真没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由．
解析：先通过去括号、合并同类项对多项式进行化简，然后代入a，b的值进行计算．
解：3a3b3－a2b＋b－(4a3b3－a2b－b2)＋(a3b3＋a2b)－2b2＋3＝(3－4＋1)a3b3＋(－＋＋)a2b＋(1－2)b2＋b＋3＝b－b2＋3.因为它不含有字母a，所以代数式的值与a的取值无关．
方法总结：解答此类题的思路就是把原式化简，得到一个不含指定字母的结果，便可说明该式与指定字母的取值无关．
8，如图，小红家装饰新家，小红为自己的房间选择了一款窗帘(阴影部分表示窗帘)，请你帮她计算：
(1)窗户的面积是多大？
(2)窗帘的面积是多大？
(3)挂上这种窗帘后，窗户上还有多少面积可以射进阳光．
解析：(1)窗户的宽为b＋＋＝2b，长为a＋，根据长方形的面积计算方法求得答案即可；
(2)窗帘的面积是2个半径为的圆的面积和一个直径为b的半圆的面积的和，相当于一个半径为的圆的面积；
(3)利用窗户的面积减去窗帘的面积即可．
解：(1)窗户的面积是(b＋＋)(a＋)＝2b(a＋)＝2ab＋b2；
(2)窗帘的面积是π()2＝πb2；
(3)射进阳光的面积是2ab＋b2－πb2＝2ab＋(1－π)b2.
方法总结：解决问题的关键是看清图意，正确利用面积计算公式列式即可．