北师版八年级数学上册1.3勾股定理的简单应用 同步训练卷（Word版 含答案）

北师版八年级数学上册
1.1.2勾股定理的简单应用
同步训练卷
一、选择题（共10小题，3
10=30）
1．直角三角形的周长为12，斜边长为5，则面积为(　　)
A．12
B．10
C．8
D．6
2．如图，三个正方形围成一个直角三角形，64，100分别为所在正方形的面积，则图中字母M所代表的正方形的边长是(　　)
A．6
B．8
C．36
D．164
3．《九章算术》中的“折竹抵地”问题(如图)：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为(　　)
A．x2－6＝(10－x)2
B．x2－62＝(10－x)2
C．x2＋6＝(10－x)2
D．x2＋62＝(10－x)2
4．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(　　)
A．48
B．60
C．76
D．80
5．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于(　　)
A.
B.
C.
D.
6.
如图所示是一段楼梯，高BC是3
m，斜边AB是5
m，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯的长至少需要(　　)
A．5
m
B．6
m
C．7
m
D．8
m
7．
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为(
)
A．4
B．6
C．16
D．55
8．有长度为9
cm，12
cm，15
cm，36
cm，39
cm的五根木棒，用其中的三根首尾连接可搭成直角三角形的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
9．如图，长方形ABCD的对角线AC＝10，BC＝8，则图中五个小长方形的周长之和为(　　)
A．14
B．16
C．20
D．28
10．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为(　　)
A．9
B．6
C．4
D．3
二．填空题（共8小题，3
8=24）
11．点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为________．
12.
如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是________．
13．在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为________．
14．若直角三角形的三边长分别为3，5，x，则x的可能值有________个．
15．如图，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则S1______S2.
16．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是________．
17．甲船以15海里/时的速度离开港口向北航行，乙船同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2小时后相距______．
18．如图，测得某楼梯的长为5m，高为3m，宽为2m，计划在表面铺地毯，若每平方米地毯50元，你能帮助算出至少需要________．
三．解答题（共7小题，
46分）
19．(6分)
如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4
m，高3
m，长20
m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请你帮他计算阳光透过的最大面积．
20．(6分)
勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同．用如图①所示的4个形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼，摆一摆，可以摆成如图②所示的图形，你能利用这个图形验证勾股定理吗？
21．(6分)
如图，隔湖有两点A，B，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA＝50米，CB＝40米，求：
(1)A，B两点间的距离；
(2)点B到直线AC的距离．
22．(6分)
如图，为了丰富少年儿童的业余文化生活，某社区要在AB所在的直线上建一图书阅览室．该社区有两所学校，所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B.已知AB＝25
km，CA＝15
km，DB＝10
km.试问：阅览室E建在距点A多少千米处，才能使它到C，D两所学校的距离相等．
23．(6分)
如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7
m，顶端距离地面2.4
m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2
m，求小巷的宽度。
24．(8分)
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，求这个等腰三角形的面积．
25．(8分)
如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D为AB边上一点．试说明：(1)△ACE≌△BCD；(2)AD2＋AE2＝DE2.
参考答案
1-5DADCB
6-10CCBDD
11.
3
12．76
13．18
14．2
15．=
16．
17.
50海里
18.
700元
19.
解：在直角三角形中，由勾股定理可得，直角三角形的斜边长为5
m，
所以长方形塑料薄膜的面积是5×20＝100(m2)．
即阳光透过的最大面积是100
m2
20.
解：∵S五边形面积＝S正方形面积1＋S正方形面积2＋2S直角三角形面积，
即(b＋a＋b)·b＋(a＋a＋b)·a＝c2＋2×ab，即ab＋b2＋a2＋ab＝c2＋ab，
整理得c2＝a2＋b2.
因此利用这个图形可以验证勾股定理
21.
解：作BD⊥AC于点D.
(1)由勾股定理得AB＝30米　
(2)由面积法得AB·BC＝AC·BD，
∴BD＝24米，
∴点B到直线AC的距离是24米
22.
解：设阅览室E到点A的距离为x
km，连接CE，DE.
在Rt△EAC和Rt△EBD中，CE2＝AE2＋AC2＝x2＋152，
DE2＝EB2＋DB2＝(25－x)2＋102.
∵EC＝ED，∴x2＋152＝(25－x)2＋102，
解得x＝10，
故阅览室建在距点A10
km处
23.
解：如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝0.7
m，
AC＝2.4
m，所以AB2＝0.72＋2.42＝6.25.
在Rt△A′BD中，∠A′DB＝90°，A′D＝2
m，
所以BD2＋22＝6.25，即BD2＝2.25.所以BD＝1.5
m.
所以CD＝BC＋BD＝0.7＋1.5＝2.2(m)．
24.
解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
所以AC2＝AB2＋BC2＝25，S△ABC＝AB·BC＝6.所以AC＝5.
过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：
①当AB＝AP＝3时，如图①所示，
S△ABP＝·S△ABC＝×6＝3.6；
②当AB＝BP＝3，且P在AC上时，如图②所示，
作△ABC的高BD，则BD＝＝＝2.4，
所以AD2＝DP2＝32－2.42＝3.24.
所以AD＝1.8.所以AP＝2AD＝3.6.
所以S△ABP＝·S△ABC＝×6＝4.32；
③当CB＝CP＝4时，如图③所示，
S△BCP＝·S△ABC＝×6＝4.8.
综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8.
故答案为3.6或4.32或4.8.
25.
解：(1)因为△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∠ACB＝∠DCE＝90°，
所以AC＝BC，CE＝CD，
∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE.所以△ACE≌△BCD(SAS)．
(2)因为△ACE≌△BCD，所以∠EAC＝∠DBC.
因为∠DBC＋∠DAC＝90°，
所以∠EAC＋∠DAC＝∠EAD＝90°.
所以AD2＋AE2＝DE2.
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精品试卷·第
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