北师大版八年级数学上册1.3勾股定理的简单应用能力提升卷（Word版 含答案）

北师版八年级数学上册
1.1.2勾股定理的简单应用
能力提升卷
一、选择题（共10小题，3
10=30）
1．如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两正方形面积之和．现请你通过对图②的观察指出下面对割补过程的理解不正确的是(
)
A．割⑤补⑥
B．割③补①
C．割①补④
D．割③补②
2．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是(　　)
3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点E，F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是(
)
A．6
B．12　
　
　C．24　
　
　D．30
4．如图，已知Rt△ABC中，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2的值等于(　　)
A．2
π
B．4
π
C．8
π
D．16
π
5．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7
m，顶端距离地面2.4
m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2
m，则小巷的宽度为(　　)
A．0.7
m
B．1.5
m
C．2.2
m
D．2.4
m
6.
如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是(
)
A．52
B．42
C．76
D．72
7．两艘海警船在某岛进行巡航．一艘以12
n
mile/h的速度离开该岛向北偏西45°方向航行，另一艘同时以16
n
mile/h的速度离开该岛向北偏东45°方向航行，经过1.5
h后两船相距(　　)
A．25
n
mile
B．30
n
mile
C．32
n
mile
D．40
n
mile
8．如图，有一块边长为24米的正方形绿地，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍”，请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是(　　)
A．3米
B．4米
C．5米
D．6米
9．下列图中的字母所代表的正方形的面积为144的是(　　)
A
B
C
D
10．如图，一圆柱高8
cm，底面半径为2
cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程(π取3)是(　　)
A．20
cm
B．10
cm
C．14
cm
D．无法确定
二．填空题（共8小题，3
8=24）
11．如图，一个透明的圆柱形的玻璃杯，测得其内部底面半径为3
cm，高为8
cm，现有一支12
cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，吸管露出杯口长度最少为____cm.
12.
如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是________．
13．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以BC、AB、AC为边向外作正方形，面积分别记为S1、S2、S3，若S2=4，S3=6，则S1=______．
14．如图，∠MCF=∠FCD，∠MCE=∠ECB，EF=10cm，则CE2+CF2=______．
15．如图，由四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”．Rt△ABF中，∠AFB=90°，AF=4，AB=5．四边形EFGH的面积是______．
16．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=15cm，AC=13cm，AD=12cm，则△ABC的面积是______．．
17．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18cm，BC=24cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则BD的长是______．
18．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是________．
三．解答题（共7小题，
46分）
19．(6分)
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC在网格中，顶点均为格点．求点A到直线BC的距离．
20．(6分)如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6
cm，BC＝8
cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，求CD的长．
21．(6分)
用如图①的四个形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼，摆一摆，可以摆成如图②的正方形．请你用这个图形验证勾股定理．
图①
图②
22．(6分)
如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A，B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D.试说明：EC＝BD.
23．(6分)
如图，在一棵树的10
m高的B处有两只猴子，其中一只猴子爬下树，走到离树20
m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘A处(假设它跃过的路线为直线)．如果两只猴子所经过的路程相等，求这棵树的高．
24．(8分)
如图，一架2.5
m长的梯子AB斜靠在竖直的墙壁OC上，这时梯子的底端B到墙壁OC的距离OB＝0.7
m，当梯子的顶端A沿墙壁下滑到达点A′时，底端B沿水平地面向外滑动到B′点．
(1)当AA′＝0.4
m时，线段AA′的长度与线段BB′的长度相等吗？你是怎样知道的？
(2)是否存在一个点A′，使AA′＝BB′？若存在，求出点A′的位置；若不存在，说明理由．
25．(8分)
在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若∠C＝90°，如图①所示，根据勾股定理，得a2＋b2＝c2；若△ABC不是直角三角形，如图②，图③所示，请你类比勾股定理，试猜想a2＋b2与c2的大小关系，并说明理由．
参考答案
1-5BBAAC
6-10CBDDB
11.
2
12.
10
13.
2
14.
100cm2
15.
1
16.
84cm2
17.
15
18.
3.6或4.32或4.8
19.
解：S△ABC＝4×5－×2×5－×2×2－×3×4＝7.
因为BC2＝32＋42＝52，所以BC＝5.
设点A到直线BC的距离为h.
因为S△ABC＝BC·h，所以×5h＝7，解得h＝.
故点A到直线BC的距离是.
20.
解：设CD＝x
cm，则AD＝BD＝(8－x)
cm.
因为△ADC为直角三角形，
所以AD2＝AC2＋CD2，
即(8－x)2＝62＋x2，
解得x＝，
即CD＝
cm
21.
证明：因为图②中大正方形的面积可以表示为c2＋4×ab，也可以表示为(a＋b)2，
所以c2＋4×ab＝(a＋b)2.
整理，得c2＋2ab＝a2＋2ab＋b2.
即a2＋b2＝c2.
22.
解：因为∠ACB＝90°，所以∠ACE＋∠BCD＝90°.
因为BD⊥m，AE⊥m，所以∠CDB＝90°，∠AEC＝90°.
所以∠ACE＋∠CAE＝90°.所以∠CAE＝∠BCD.
在△AEC和△CDB中，
所以△AEC≌△CDB(AAS)．所以EC＝BD.
23.
解：设BD＝x
m，由题意知BC＋AC＝BD＋AD，
所以AD＝(30－x)
m.
所以(10＋x)2＋202＝(30－x)2，
解得x＝5.
所以x＋10＝15.
故这棵树的高为15
m.
24.
解：(1)不相等．
在Rt△AOB中，OA2＝AB2－OB2＝2.52－0.72＝5.76，
所以OA＝2.4
m，所以OA′＝OA－AA′＝2.4－0.4＝2(m)．
在Rt△A′OB′中，OB′2＝A′B′2－OA′2＝2.52－22＝2.25，
所以OB′＝1.5
m，
所以BB′＝OB′－OB＝1.5－0.7＝0.8(m)．
因为AA′＝0.4
m，所以AA′≠BB′.
(2)存在．设AA′＝BB′＝x
m，
则OA′＝OA－AA′＝(2.4－x)m，OB′＝OB＋BB′＝(0.7＋x)m.
在Rt△A′OB′中，根据勾股定理，得OA′2＋OB′2＝A′B′2，
即(2.4－x)2＋(x＋0.7)2＝2.52，
整理，得x2－1.7x＝0.
因为x≠0，所以x＝1.7.
即当AA′＝1.7
m时，AA′＝BB′.
25.
解：若△ABC是锐角三角形，则有a2＋b2＞c2；
若△ABC为钝角三角形(∠ACB为钝角)，则有a2＋b2＜c2.
理由如下：(1)当△ABC是锐角三角形时，如图②所示，过点A作AD⊥CB，垂足为D，
设CD＝x，则有DB＝a－x.
易得b2－x2＝c2－(a－x)2，
即b2－x2＝c2－a2＋2ax－x2，
化简得a2＋b2＝c2＋2ax.
∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，
∴a2＋b2＞c2
(2)当△ABC是钝角三角形时(∠ACB为钝角)，如图③所示，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D.
设CD＝x，则BD2＝a2－x2.
根据勾股定理，得(b＋x)2＋a2－x2＝c2，
即b2＋2bx＋x2＋a2－x2＝c2，
∴a2＋b2＋2bx＝c2.
∵b＞0，x＞0，∴2bx＞0，
∴a2＋b2＜c2
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