鸽巢问题教学设计
学设计思考和提出的问题
1
枚举的过程中有多种摆法，在操作中，要引导学生不考虑排列，只考虑组合，即记录各种方案。
2
从枚举法到假设法思维上的转换是本节的关键，既要小组操作探究，又要有课件更加形象集中的引导。
3
在第一次磨课时，用于祥究的例题偏多，以至于40分钟内完不成预定教学任务。二次备课时，只保留典型的祥究例题，增加了批量趋于模型化的数据，从而让学生经历将具体问题“数学化”的过程。改善后的教学设计更加合理有效。
教学内容
教学目标
经历鸽巢原理的探究过程，初步了解鸽巢原理，会用鸽巢原理解决简单的实际问题。
通过探究发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。
通过鸽巢原理的灵活应用感受数学的魅力
教学重点、难点：
教学重点：应用“鸽巢原理”解决实际问题，引导学会把具体问题转化成“鸽巢问题。
教学难点：理解“鸽巢原理”，找出”鸽巢问题“解决的窍门进行反复推理。
教学准备
纸杯、笔、课件
教学过程（含设计意图、板书设计）
一、
游戏导入
1、师生玩“扑克牌魔术”。
师：在去掉大小王的一幅扑克牌中，任意取出5张，老师都能确定，总有至少2张牌的花色是相同的，你们相信吗？
玩游戏，验证结论。随意叫五名同学来各抽取一张，总有至少2张牌的花色是相同的。
2、导入新课。
师：其实刚才的这个小魔术，蕴含了一个非常重要的数学原理，这节课我们就利用笔和杯子来研究。
通过“小魔术”激发学生的探究欲望。
二、
小组合作，初探模型
（一）、
1、探究3支笔放入2个杯子当中，有何发现。
A.两人一组合作，探究将3支笔放入2个杯子当中有几种摆法。
B.生上台汇报展示摆法，师根据学生汇报板书（1,2）?（0,3）
C.讨论：将3支笔放入2个杯子当中，有何发现？
D.生汇报发现，师反馈后，板书结论：将3支笔放入2个杯子当中，不管怎么放，总有一个杯子中至少放了2支笔。
E.质疑：“总有”，“至少”怎么理解？
在这次的操作中让学生知道本课的探究中不讲究排列，只讲组合，以及每种组合的简便记法。
?
?
2、验证将4支笔放入3个杯子当中，总有一个杯子中至少有2支笔。
A.小组合作，讨论将4支笔放入3个杯子当中有几种摆法
?
?
B.生汇报展示摆法（1,1,2）（1,3,0）（2,2,0）（4,0,0）
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?
C.以学生的展示为例介绍枚举法，及有序枚举。
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?
D.引导学生根据枚举的结果分析验证。
?
?
E.质疑：枚举法有什么缺点?（当数据较大时，不易操作)
?
?
F.引申：将4支笔放入3个杯子当中，能不能只摆一种就能确定，总有一个杯子中至少放了2支笔呢？
生汇报想法
?
?
预设：只需要先将每个杯子中各放入一支笔，最后剩下一支，无论将这支放入哪个杯子当中，总有一个杯子至少放了2支笔。
?
?
G.师提问：引导学生观察课件演示，“能不能用算式表达只一种就能确定结论的摆放过程。
?
?
?
????H.?让学生说算式，教师板书：4/3=1……1，1+1=2
?
?
3、探究5支笔放入4个杯子当中，不管怎么放，总有一个杯子中至少放了2支笔。为什么？
?
?.先让学生用5/4=1……1，1+1=2来解释?
让学生经历枚举法和假设法来探究，由形象思维向抽象思维的过度，形成模型的雏形。
（二）、批量出示数据，完善模型
1、表格形式出示数据，让学生快速说出至少数。
笔
杯子
求至少数
至少数
6
5
6/5=1……1
1+1=2
2
7
5
7/5=1……2
1+1=2
2
逐行增加笔的数量（直至11），杯子数量不变，让学生回答至少数是多少？及为什么？
在”7支笔和5个杯子“中产生冲突，通过再次操作来解决冲突，统一结论。
?
??
?
2、归纳、概括求至少数的方法。
师：根据本节课的探究，你能说说求至少数的该去是什么吗？
预设生：笔的数量除以杯子的数量，如果有余数，商加1就是至少数。如果没有余数，商就是至少数。
3.联系到鸽巢原理，出示课题
用鸽巢原理解决鸽巢问题
用鸽巢原理解决抽屉问题
通过批量数据的处理，来完善求至少数的模型，并且与鸽巢问题、抽屉原理相融合。
（三）、全课小结
?师：经过这节课的学习，同学们有何收获呢？
?
?
三、巩固拓展
1、请学生解释上课前玩的游戏，为何3个人当中，至少有2个人的性别是相同的？
???
2、一副扑克牌，拿掉大小王后还有52张，从中取出5张牌，你能得出什么结论？为什么？
3、班上有24位学生，老师需要准备多少本练习本，才能保证不管怎么发，总有一名同学至少得2本练习本呢？
通过练习检测学生对本节内容的掌握情况。
所用教材内容复印件
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1《鸽巢问题》教学设计
1、
学习目标
1、经历“鸽巢原理”的探究过程，初步了解“鸽巢原理”。
2、会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。
（请同学们一起读一遍，并记住它，我们将带着这两个目标一起学习今天的内容。）
【设计意图：让学生明确本节课要学习什么，带着目标去学习】
教学重点：应用“鸽巢原理”解决实际问题，引导学会把具体问题转化成“鸽巢问题。
教学难点：理解“鸽巢原理”，找出”鸽巢问题“解决的窍门进行反复推理。
1、
导入课题
上新课前，老师想和大家玩个抢凳子游戏，大家想玩吗？（想）
请大家听清楚老师的要求：第一次要求每个凳子上只能坐一个人，为什么每次总有个人抢不到凳子？假如要5人全部坐在凳子上，会有什么结果？大家学完今天这节课，就会明白其中的道理了（板书课题：鸽巢问题）。
【设计意图：通过抢凳子游戏激发学生的兴趣，从而引起他们对学习鸽巢问题的欲望】
2、
检查预习
1、自学课本第68页、69页内容,试着完成课后做一做。
2、自学第68页例1完成以下题目：
（1）第68页例1是将（
）支笔放进（
）个笔筒中。
（2）借助学具将4支笔放进3个笔筒有几种放法，动手放
一放，并把放法画出来。
（学生展示自己的学习成果，老师也课件展示放法加深学生的印象，从而展示出枚举法，并追问可以一一列举，能否列式呢？从而引出假设法）
（3）结合放法和画法，你从中得到的结论是：不管怎么
放，总有一个笔筒里至少要放（
）支。
（试问学生你们还有其它想法，也许学生会认为是0只或1只。）
（4）请你和小组成员讨论：“总有一个笔筒里至少放2支”
这句话的含义。
（让学生着重体会这句话的意思。）
（5）请你用句完整的话说一说怎样放的？
（课件展示如何去描述主要放的）
【设计意图：主要是检查学生的预习和自主学习情况，让学生通过预习、自学、小组合作等，借助老师所提供的学具，通过摆一摆、画一画，利用枚举法找出至少数。】
（看来同学们预习的很不错，接下来咱们就一起来探究一下如何去解决“鸽巢问题”这类问题。）
3、
问题探究：运用“鸽巢原理”解决问题的计算方法？
课件出示：例2、把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进几本书？如果一共有8本书会怎样？10本呢？
学习方法和步骤：
1、组长分配组员，将上面三种情况放的过程用喜欢的方法表示在草稿纸上，并按以下格式分别说一说：第（
）个问题是将（
）本书放进（
）个抽屉，不管怎么放，总有个抽屉至少要放进（
）本来。
2、请分别列出算式。
3、小组合作交流：仔细观察算式，你发现：先求出（
）数，再＋（
）就可以得到这类题的结果。
4、小组上台展示。
【设计意图：通过学习方法和步骤让学生小组合作学习，让学生有小组合作的意识，让学生学会自己寻找解决问题的方法，通过小组上台展示暴露学生的思想。】
五、展示释疑
结合例2的算式，让他们观察发现了什么？得出了是什么结论？
至少数
7÷3=2……
1
（
3
）
8÷3=2……
2
（
3
）
10÷3=3……
1
（
4
）
你发现只要用（
）数+（
）就是结果了。
（学生得出结论后追问为什么是加1，不是加其它数呢？）
【设计意图：通过观察让学生得出解决这类问题的计算方法。】
4、
鸽巢原理小结：
先求（
）数，再求（
）数，至少数=(
)+1。
（今天的知识学完了，接下来我们一起来放松下，看看这里大屏幕上的小知识。轻松过后你们得接受挑战了，让我们一起进行课末检测，老师给他们的分了星级，看看你能得到几颗星。）
5、
课末检测
一、填空。（★）
1、5封信投入4个邮箱中，至少有（
）信投入同一邮箱中。
2、9枚5角硬币放进4个盒子中，至少（
）枚放进同一个盒子中。
?3、新兵训练，战士小王6枪命中了43环，战士小王总有一枪至少打中（
）环。
?4、咱们班上有58个同学，至少有（
）人在同一个月出生。
二、解决问题。
1、45只鸽子飞回8个鸽舍，至少有多少只鸽子要飞进同一个鸽舍？为什么？（★★）
2、从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张扑克牌任意抽牌。从中抽出18张牌，至少有几张是同花色？
（★★★）
6、
课堂小结
通过这节课的学习你有什么要收获？
八、板书设计
鸽巢问题
枚举法：（4，0，0）
（3，1，0）
思
（2，2，0）
（2，1，1）
考
假设法：
至少数
方
4÷3=1……
1
（
2
）
法
7÷3=2……
1
（
3
）
8÷3=2……
2
（
3
）
10÷3=3……
1
（
4
）鸽巢问题
教学目标：
1、通过操作、观察、比较、推理等活动，初步了解鸽巢原理，学会简单的鸽巢原理分析方法，运用鸽巢原理解决简单的实际问题。
2、在鸽巢原理的探究过程中，使学生逐步理解和掌握鸽巢原理，经历将具体问题数学化的过程，培养学生的模型思想。
3、通过对鸽巢原理的灵活运用，感受数学的魅力，体会数学的价值，提高学生解决问题的能力和兴趣。
教学重点：
理解鸽巢原理，掌握先“平均分”，再调整的方法。
教学难点：
理解“总有”“至少”的意义，理解“至少数=商数＋1”。
教学准备：
多媒体课件、微视频、合作探究作业纸。
教学过程：
一、游戏引入，切入主题
老师组织学生做“抢椅子”游戏（请3位同学上来，摆2把椅子），并宣布游戏规则。（要求当音乐停止时，三名学生都要坐在椅子上）
仔细看学生做游戏，你发现了什么？
师：这个游戏中隐藏着数学奥秘，这节课我们就一起来研究这个原理。-------鸽巢问题
二、合作交流，探究新知
（一）枚举法
课件出示题目：现在有4支铅笔放进3个笔筒，可以怎样放？有几种放法？
小组合作：
放一放：动手把4支笔放进3个笔筒中；
画一画：把各种情况都表示出来；
找一找：每种摆法中最多的一个笔筒放了几支，用笔
标出；
我们发现：
不管怎么放，总有一个笔筒至少放进了（
）支铅笔。
2、学生汇报，展台展示。
（1）四种情况：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，1，1）、（2，2，0）
（2）每种摆法中最多的一个笔筒放进了：4支、3支、2支。
（3）总有一个笔筒至少放进了2支铅笔。
3、小结：刚才我们通过“画图”、“数的分解”两种方法列举出所有情况验证了结论，这种方法叫“枚举法”。我们能不能找到一种更为直接的方法，只摆一种情况，也能得到这个结论，找到“至少数”呢？
（二）假设法
1、学生尝试回答。（如果有困难，也可以直接投影书中有关“假设法”的截图）
2、学生操作演示，教师图示。
3、语言描述：把4支铅笔平均放在3个笔筒里，每个笔筒放1支，余下的1支，无论放在哪个笔筒，那个笔筒就有2支笔，所以说总有一个笔筒至少放进了2支笔。（指名说，互相说）
4、引导发现：
（1）这种分法的实质就是先怎么分的？（平均分，保证每个笔筒的笔的数量相等）
（2）为什么要一开始就平均分？（平均地分，使每个笔筒的笔尽可能少一点，方便找到“至少数”从最不利的角度考虑，最不利的情况都满足，其他情况就更能满足了，）
（3）余下的1支，怎么放？（放进哪个笔筒都行，随便放）
（4）怎样用算式表示这种方法？（4÷3=1支……1支
1+1＝2支）算式中的两个“1”是什么意思？
（5）同桌两个人再次叙述一遍假设法。（假设每个笔筒里都先放一支笔，剩下的一支笔不管放进哪个笔筒里，总有一个笔筒里至少有2支笔。）
5、引伸拓展：
（1）5支笔放进4个笔筒，总有一个笔筒至少放进（
）支笔。
（2）6支笔放进5个笔筒，总有一个笔筒至少放进（
）支笔。
（3）10支笔放进9个笔筒，总有一个笔筒至少放进（
）支笔。
（4）81支笔放进80个笔筒，总有一个笔筒至少放进（
）支笔。
（5）（
）支笔放进（
）个笔筒，总有一个笔筒至少放进2支笔。
......
学生列出算式，依据算式说理。
6、发现规律：刚才的这种方法就是“假设法”，它里面就蕴含了“平均分”，我们用有余数的除法算式把平均分的过程简明的表示出来了，用这种方法求“至少数”。
（三）建立模型
1、出示题目：5支笔放进3支笔筒，会有什么结果？
5÷3=1支……2支
学生可能有两种意见：总有一个笔筒里至少有2支，至少3支。
针对两种结果，各自说说自己的想法。
2、小组讨论，突破难点：至少2只还是3只？
3、学生说理，边摆边说：先平均分每个笔筒放进1支笔，余下2只再平均分放进2个不同的笔筒里，所以至少2只。
4、质疑：为什么第二次平均分？（保证“至少”）
5、强化：如果把笔和笔筒的数量进一步增加呢？
（1）7支笔放进4个笔筒，至少几支放进同一个笔筒？
7÷4＝1（支）…3（支）
1+1＝2（支）
（2）8支笔放进3个笔筒，至少几支放进同一个笔筒？
8÷3＝2（支）…2（支）
2+1＝3（支）
（3）17支笔放进6个笔筒，至少几支放进同一个笔筒？
17÷6＝2（支）…5（支）
2+1＝3（支）
6、对比算式，发现规律：先平均分，再用所得的“商+1”
7、强调：和余数有没有关系？
与余数无关，不管余多少，都要再平均分，所以就是加1。
8、引申拓展：
刚才我们研究了笔放入笔筒的问题，那如果换成鸽子飞进鸽笼你会解答吗？把苹果放入抽屉，把书放入书架，高速路口同时有4辆车通过3个收费口……，类似的问题我们都可以用这种方法解答。
三、介绍鸽巢原理的由来
课件：同学们从数学的角度分析了这些事情，同时根据数据特征，发现了这些规律。你们发现的这个规律和一位数学家发现的规律一模一样，只不过他是在150多年前发现的，你们知道他是谁吗？——德国数学家？“狄里克雷”，后人们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律，就把这个规律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”。
四、解决问题
1、5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。为什么？
2、11只鸽子飞进了4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了3只鸽子。为什么？
3、5个人坐4把椅子，总有一把椅子上至少坐2人。为什么？
4、广外外校六年级共有409名学生，其中六（4）班有
41名学生。
（1）六年级里至少有（
）人的生日是同一天。
(2）六（4）班中至少有（
）人是同一个月出生的。
张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于（
）环。
为什么老师可以肯定地说：从52张牌中任意抽取5张牌，至少会有2张牌是同一花色的？随意找13位老师，他们中至少有2个人的属相相同。为什么？
全课总结
通过今天的学习，你有什么收获？
生活中处处有数学，简单的生活现象中蕴含着深奥的道理，我们也要学会观察生活，去发现和创造。
作业布置
完成教材第70页的“做一做”。
学生独立思考解答问题，集体交流、纠正。
完成教材第71页练习十三的1-2题。
学生独立思考解答问题，集体交流、纠正。
小组合作要求：
放一放：动手把4支笔放进3个笔筒中；
画一画：把各种情况都表示出来；
找一找：每种摆法中最多的一个笔筒放了几支，用笔标出或圈出；
我们发现：
不管怎么放，总有一个笔筒至少放进了（
）支铅笔。
