《抽屉原理》教学设计
教学内容：教科书第68-69页例1、例2及相应“做一做”。
教学目标：
1、经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。
2、通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，建立数学模型，发现规律。渗透“建模”思想。
3、经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。
4、通过“抽屉原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。
教学重点：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。
教学难点：通过操作、推理引导学生理解“抽屉原理”。
教学过程：
一、创设情境，导入新知
师：同学们，上课前我们先来玩一个小魔术，老师手里有一副扑克牌，抽掉了大小鬼王后还有几根牌？（52）
师：老师请5位同学上来，一人随机抽取一张牌，千万别让老师看到。（学生转过去面向所有同学）
师：老师肯定你们5张牌中至少有2张牌的花色是一样的，见证奇迹的时刻到了！请你们展示给大家看（5个学生翻开牌面）有几张花色相同呢？至少有2张牌花色一样对吗？
师：还想再玩一次吗？（重复上面的过程）
师：其实，不管我们玩多少次，总有一种花色至少有2张牌。这里面蕴含着一个奇妙的数学问题——鸽巢问题。（板书课题）
二、自主操作，探究新知
（一）探究商1余数是1的规律。
师：研究52张扑克牌数量太多，我们可以研究数量较少的相同类型的问题。
出示题目“4只鸽子飞进3个鸽舍，不管怎么飞，总有一个鸽舍至少放进几只鸽子？”
学生读题。
师：题目里面既有鸽子又有鸽舍，（板书：鸽子
鸽舍）它要求什么？（至少数）那总有一个鸽舍至少放进几只鸽子呢？猜猜看？（2,3,4）
师：这只是猜测（板书：猜测），我们需要进行验证（板书：验证）。它说“不管怎么放”，那能怎么放呢？有哪些放法呢？下面我们就小组合作，来解决这个问题。
师：为了操作方便，我们可以用吸管代替鸽子，杯子代替鸽舍，下面请同学们看操作要求。（出示操作要求，指一名学生读要求或师读）
师：你们可以用自己喜欢的方式记录摆的结果，现在开始。
师巡视指导。
学生上台操作汇报，根据学生摆的情况，有序板书：
（4，0，0）
（3，1，0）
（2，2，0）
（2，1，1）
师：还有其他摆法吗？像这样把各种可能的情况罗列出来的方法称为“枚举法”（板书：枚举法）请同学仔细观察，能发现什么？（总有一个鸽舍里至少放进2只鸽子）
师：为什么呢？你是怎么想的？（第1种摆法有一个4，板书4；第二种摆法里有3，板书3；……）
师：也就是说“总有一个鸽舍至少放进2只鸽子”包含了上述4种情形。
师：那么这里“总有”是什么意思？（一定有，标注总有）
师：“至少有2只”是什么意思呢？（最少有2只，你真棒！不少于2只，标注至少）至少请两名学生回答
师：那有没有包括2？包括3？包括4？
师：那如果是“5只鸽子放进4个鸽舍里，不管怎么放，总有一个鸽舍里至少放进几只鸽子？”（2）（板书：5
4）
师：为什么呢？有没有什么更快的方法说明这个结论呢？如果想不明白的同学可以再次通过动手摆一摆。
学生动手操作或是讨论。（师巡视，指导部分学生使用先分别放4只的方法）
师：我发现有个别小组很快就找出结果了，你们能说说你们是怎么做到的吗？（先分别在每个杯子里放一根吸管，此时再把剩下的1根放进任何一个杯子里，得到的结果是2）你的思路真清晰！
师：我们把这种方法称为“假设法”。（板书：假设法）
师：不考虑其它几种情况吗？（如果不每个杯子放进1只吸管，待会就会出现有的杯子有2或3或4只吸管）
师：这里“先分别在每个杯子里放一根吸管”在数学上可以称为什么？（平均分，板书）
师：你们听明白了吗？谁能再说一遍？真是个会学习的孩子！（让2人再说一下）
师：现在如果是“6只鸽子飞进5个鸽舍呢？”（总有一个鸽舍至少飞进2只鸽子）
师：为什么？（先平均每个鸽舍放1只鸽子，再把剩下的1只放进任意鸽舍）
师：如果是“10只鸽子放进9个鸽舍呢？”（总有一个鸽舍至少飞进2只鸽子）
师：“100只鸽子放进99个鸽舍呢？”（总有一个鸽舍至少飞进2只鸽子）
师：这几道题有什么共同的特点？你发现了什么？（学生汇报发现）
师：（小结）只要放进的鸽子数比鸽舍数多1，不管怎么放，总有一个鸽舍里至少放进2只鸽子。
（二）探究商1余数不是1的规律。
师：如果鸽子数比鸽舍数多2、多3、多4呢？还是总有一个鸽舍里至少放进2只鸽子吗？
出示题目“8只鸽子放进6个鸽舍，总有一个鸽舍至少放进几只鸽子？为什么？”（板书：8
6）
师：这里应该是填多少呢？（2,3,）
师：为什么？能说说你的理由吗？（先平均每个鸽舍放1只鸽子，余下2只鸽子：2只鸽子分别放进2个鸽舍或是2只鸽子放进同一个鸽舍，此时最少是2）
师：如果是“9只鸽子放进6个鸽舍，总有一个鸽舍至少放进几只鸽子？为什么？”（板书：9
6）
师：“10只鸽子放进6个鸽舍呢？”，“11只鸽子放进6个鸽舍呢？”
师：“总有一个鸽舍至少放进几只鸽子？”和余数有关系吗？（没有）
师：（小结）看来，余1时是这个规律；余2、余3时这个规律也同样存在。
（三）方法优化
师：刚才你们在证明的过程中为什么不用枚举法，而用假设法？（假设法比较简单，比较快捷）
师：那你们能不能用一个算式表示呢？如“4只鸽子飞进3个鸽舍”（4÷3=1……1板书补完整）
师：商1表示什么？（每个鸽舍放进1只鸽子）余1表示什么？（剩1只鸽子）
师：所以2=1+1.如果是“5只鸽子飞进4个鸽舍”。
师：“8只鸽子飞进6个鸽舍”呢？（8÷6=1……2板书补完整）
师：1表示什么？2表示什么呢？“9只鸽子飞进6个鸽舍”呢？
师：指着板书问，有谁知道“至少数”是怎么算出来的？（商+1就是至少数）真是个小小的数学家！
（四）数学小知识
师：在这么短的时间就掌握了这个规律。你们知道最先发现这些规律的人是谁吗？他就是德国数学家“狄里克雷”。（课件出示其资料，请一个学生朗读）
（五）探究商不是1余数大于0的规律。
师：“狄里克雷”发现这个规律后，并没有停止对现象的研究，有发现了其他问题。
出示“把7本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进几本书？为什么？”
同桌交流，之后汇报。（3，7÷3=2……1,2+1=3，板书）
师：如果“把14本书放进4个抽屉呢？（14÷4=3……2,2+1=3，板书）28本书放进6个抽屉呢？”（28÷6=4……4,4+1=5，板书）
师：你认为怎样确定总有一个抽屉至少放进几本书？
学生小组讨论交流，汇报。（书本数÷抽屉数=商……余数，商+1，板书）
师：（小结）即m÷n=a……b，a+1，这里m>n>b，（板书）
师：之所以把这个规律称之为“原理”，是因为在我们的生活中存在着许多能用这个原理解决的问题，研究出这个规律是非常有价值的。现在你能解释我们课前的小魔术了吗？（出示题目）
师：这里我们把谁看成鸽子？谁看成了鸽舍？（其他练习都类似方法）
师：通过今天的学习，你有什么收获？（遇到类似问题，可以把对应的东西看成鸽子和鸽舍，利用鸽巢原理进行解答）鸽巢问题
教学内容：人教版小学数学六年级下册教材第68～69页。
教材分析：
鸽巢问题又称抽屉原理，它是组合数学中最简单也是最基本的原理之一，从这个原理出发，可以得出许多有趣的结果。这部分教材通过几个直观的例子，借助实际操作，向学生介绍了“鸽巢问题”。学生在理解这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题“模型化”，会用“鸽巢问题”解决问题，促进逻辑推理能力的发展。
学情分析：
“鸽巢问题”的理论本身并不复杂，对于学生来说是很容易的。但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的，尤其是“鸽巢问题”的逆用，学生对进行逆向思维的思考可能会感到困难，也缺乏思考的方向，很难找到切入点。
设计理念：
在教学中，让学生经历将具体问题“数学化”的过程，初步形成模型思想，体会和理解数学与外部世界的紧密联系，发展抽象能力、推理能力和应用能力，这是《标准》的重要要求，也是本课的编排意图和价值取向。
教学目标：
1、知识与技能：通过操作、观察、比较、推理等活动，初步了解鸽巢原理，学会简单的鸽巢原理分析方法，运用鸽巢原理的知识解决简单的实际问题。
2、过程与方法：在鸽巢原理的探究过程中，使学生逐步理解和掌握鸽巢原理，经历将具体问题数学化的过程，培养学生的模型思想。
3、情感态度：通过对鸽巢原理的灵活运用，感受数学的魅力，体会数学的价值，提高学生解决问题的能力和兴趣。
教学重点：理解鸽巢原理，掌握先“平均分”，再调整的方法。
教学难点：理解“总有”“至少”的意义，理解“至少数=商数＋1”。
教学准备：多媒体课件、合作探究作业纸。
教学过程：
一、谈话引入：
1、谈话：老师这有一副扑克牌,如果我将这两张王牌去掉,还剩52张你们知道这52张牌有几种花色？对，接下来我们来做一个游戏。请5位同学，每人从这副牌中抽1张。我来猜一猜：你们5位同学抽的牌中同种花色的肯定至少有2张！老师猜的对不对？（请5位学生抽牌、亮牌、统计）
这是不是巧合呢？我们再来抽一次！
2、设疑：其实老师并没有神机妙算的功能，是因为这里面蕴含了一个有趣的数学原理。相信通过今天的学习，你们也能解释这个现象了，我们先从简单的情况入手研究。
二、合作探究
（一）初步感知
1、出示题目：有3张牌，2个盘子（把实物摆放在讲桌上），把3张牌放进2个盘子，怎么放？有几种不同的放法？谁愿意上来试一试。
2、学生上台实物演示
学生板贴，老师记录
3、提出问题：（老师交换位置放）这三张牌不管怎么放，你们有什么发现？
我们可以说“不管怎么放，总有一个盘子里至少有2张牌”吗？
学生尝试回答，师引导：这句话里“总有一个盘子”是什么意思？（一定有，不确定是哪个盘子，最多的盘子）。“至少有2张”是什么意思？（最少有2张，不少于2张，包括2张及2张以上）
4、得到结论：从刚才的实验中，我们可以得到3张牌放进2个盘子，总有一个盘子至少放进2张牌。
（二）列举法
过渡：如果现在有4支铅笔放进3个笔筒，还会出现这样的结论吗？
1、合作要求：
（1）画一画：将每种分法记录下来；
（2）找一找：每种摆法中一个笔筒最多放了几支，用笔标出；
（3）小组交流，我发现：（
）
2、学生汇报，展台展示。
交流后明确：
（1）四种情况：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，1，1）、（2，2，0）
（2）每种摆法中最多的一个笔筒放进了：4支、3支、2支。
（3）总有一个笔筒至少放进了2支铅笔。
3、小结：刚才我们通过“画图”、“数的分解”两种方法列举出所有情况验证了结论，这种方法叫“列举法”，我们能不能找到一种更为直接的方法，只摆一种情况，也能得到这个结论，找到“至少数”呢？
（三）假设法
1、学生尝试回答。（如果有困难，也可以直接投影书中有关“假设法”的截图）
2、学生操作演示，教师图示。
3、语言描述：把4支铅笔平均放在3个笔筒里，每个笔筒放1支，余下的1支，无论放在哪个笔筒，那个笔筒就有2支笔，所以说总有一个笔筒至少放进了2支笔。（指名说，互相说）
4、引导发现：
（1）这种分法的实质就是先怎么分的？（平均分）
（2）为什么要一开始就平均分？（均匀地分，使每个笔筒的笔尽可能少一点，方便找到“至少数”），余下的1支，怎么放？（放进哪个笔筒都行）
5、同学们太聪明了，所以老师想请你们帮我想想
如果把10个苹果放进9个抽屉，至少有（）个苹果放进同一个抽屉。
把6只鸽子飞进5个鸽笼，至少有2只鸽子在一个鸽笼，对吗？
6、小结：刚才的这种方法就是“假设法”，它里面就蕴含了“平均分”，现在会用简便方法求“至少数”吗？
（四）建立模型
1、出示题目：5支笔放进3支笔筒，会怎样？
学生可能有两种意见：总有一个笔筒里至少有2支，至少3支。
针对两种结果，各自说说自己的想法。
2、小组讨论，突破难点：至少2支还是3支？
3、学生说理，边摆边说：先平均分每个笔筒放进1支笔，余下2只再平均分放进2个不同的笔筒里，所以至少2只。（指名说，互相说）
4、质疑：为什么第二次平均分？（保证“至少”）
你们能用算式表示出这个过程吗？
5÷3＝1（支）…2（支）
1+1＝2（支）
算式中的两个“1”是什么意思？
5、如果把笔的数量进一步增加呢？
7支铅笔放进3个笔筒，总有一个笔筒里还是至少有2支吗？为什么？
6、学生说理，边摆边说：先平均分每个笔筒放进2支笔，余下1支无论放在哪个笔筒，那个笔筒就有3支，所以总有一个笔筒至少2支。
列式为7÷3＝2（支）…1（支）
2+1＝3（支）
这里的2和1又分别是什么意思？
7、对比算式、找规律
如果把笔和笔筒数量都增加呢？
14支笔放进4个笔筒，至少几支放进同一个笔筒？
14÷4＝3（支）…2（支）
3+1＝4（支）
38支笔放进7个笔筒，至少几支放进同一个笔筒？？
38÷7＝5（支）…3（支）
5+1＝6（支）
8、对比算式，发现规律：先平均分，再用所得的“商+1”
9、强调：和余数有没有关系？
学生交流，明确：与余数无关，不管余多少，都要再平均分，所以就是加1.
三、鸽巢原理的由来
同学们从数学的角度分析了这些事情，同时根据数据特征，发现了这些规律。你们发现的这个规律和一位数学家发现的规律一模一样，只不过他是在150多年前发现的，你们知道他是谁吗？——德国数学家“狄里克雷”，后人们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律，就把这个规律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，由于人们对鸽子飞回鸽巢这个引起思考的故事记忆犹新，所以人们又把这个原理叫做“鸽巢原理”，它还有另外一个名字叫“抽屉原理”。
四、原理应用
“抽屉原理”的应用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。
1、
分宝1
师：有一天，一群海盗获得了很多宝贝，海盗首领非常高兴，对手下8个小海盗说，这些宝贝都给你们了，你们自己处理吧，没想到小海盗平时都抢惯了，一拥而上，有人拿得很多，有人很少，甚至有人一件宝贝也没拿到，看到小海盗们乱哄哄的样子，海盗首领非常生气，就想惩罚一下那些贪婪的海盗，机会终于来了！有一次：海盗们获得了73件宝贝，海盗首领又叫8个小海盗自己分。且规定：1、必须分完。2、若某人拿10件或10件以上的宝贝，说明他是个过分贪婪的人，就把他扔进大海喂鲨鱼。?
海盗们是否都能逃过这一劫呢？
小组讨论后派代表说说想法，其他同学可以补充。无论怎样分，总有一个海盗至少会拿到10件，这个海盗怎么办呢？学生自由谈看法。?
师：正在海盗们担心的时候，事情有了转机，小海盗们趁着天黑偷偷地把一件宝贝扔进大海，现在只剩下72件宝贝，大家都平安无事。?
分宝2?
师：海盗们终于逃过一劫，海盗首领回到自己屋里，闷闷不乐，夫人问他为什么不开心，海盗首领如实相告，夫人说是不是有人把一件宝贝扔到海里去了，海盗首领如梦方醒，决心下一次不再上当，又是在一个风急天黑的夜晚：海盗们获得了79件宝贝，首领还是要8个小海盗自己分，规则不变，还警告，79件宝贝已数得清清楚楚，谁要是作弊，也要受到惩罚。?
师：有几个小海盗们听闻后大惊失色，心想这下可能真的逃不过去了，有一个聪明的海盗镇定自若，站出来对海盗首领说，既然宝贝比上次增加了6件，能不能把限定的10件提高1件？海盗首领心想，宝贝增加这么多，而限定只提高1件，还是肯定有人会受到惩罚，就同意了小海盗的请求。你认为首领的想法对吗？说说你是怎样想的。?
学生先小组讨论，然后再叫几个学生来说说是怎样想的。老师再对学生的思路进行梳理。?以上我们所碰到的问题是什么问题？他的解答或证明的方法是怎样的？你能否找到被分的物品数和抽屉数？?
师：靠着小海盗的聪明才智，事情终于风平浪静。
2、现在谁能解释牌的问题？
3、（机动）如果不看花色，只看数字，至少取出多少张牌才能保证有2张同样大小的牌？
五、我们研究到这里，谁来谈谈你对鸽巢原理的想法。
板书：
鸽巢原理
???????????????
至少数
列举法??
5?÷?3?=
1（支）……2（支）????1+1=2（支）
假设法????????
?7
÷?3?
=
2（支）……1（支）????2+1=3（支）
先平均分
商＋1
????????????????????
?
PAGE
2数学广角---鸽巢问题
教学目标
?1．经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢问题”，会用“鸽巢问题”解决简单的实际问题。
???
2．通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。
???
3．通过“鸽巢问题”的灵活应用感受数学的魅力。
学情分析
"鸽巢问题”的理论本身并不复杂，对于学生来说是很容易的。但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的，尤其是“鸽巢问题”的逆用，学生对进行逆向思维的思考可能会感到困难，也缺乏思考的方向，很难找到切入点
重点难点
?重点：经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢问题”。
难点：理解“鸽巢问题”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
4教学过程
4.1第一学时
教学目标
?1．经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢问题”，会用“鸽巢问题”解决简单的实际问题。
???
2．通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。
???
3．通过“鸽巢问题”的灵活应用感受数学的魅力。
教学重点
?重点：经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢问题”。
学时难点
难点：理解“鸽巢问题”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
教学活动
【导入】一、课前游戏引入。
一、课前游戏引入。
?师：孩子们，你们知道刘谦吗？你们喜欢魔术吗？今天老师很高兴和大家见面，?初次见面，所以老师特地练了个小魔术，准备送给大家做见面礼。孩子们，想不想看老师表演一下？
生：想
师：我这里有一副扑克牌，我找五位同学每人抽一张。老师猜。（至少有两张花色一样）
师：老师厉害吗？佩服吗？那就给老师点奖励吧！想不想学老师的这个绝招。下面老师就教给你这个魔术，可要用心学了。有没有信心学会？
【活动】操作，探究新知
（一）探究例1
1、研究3根小棒放进2个纸杯里。
（1）要把3枝小棒放进2个纸杯里
，有几种放法？请同学们想一想，摆一摆，写一写，再把你的想法在小组内交流。
（2）反馈：两种放法：（3，0）和（2，1）。(教师板书)
（3）从两种放法，同学们会有什么发现呢？（总有一个文具盒至少放进2枝铅笔）你是怎么发现的？（说得真有道理）
（4）“总有”什么意思？（一定有）
（5）“至少”有2枝什么意思？（不少于2枝）
小结：在研究3根小棒放进2个纸杯时，同学们表现得很积极，发现了“不管怎么放，总有一个纸杯里放进2根小棒）
2、研究4根小棒放进3个纸杯里。
（1）要把4根小棒放进3个纸杯里，有几种放法？请同学们动手摆一摆，再把你的想法在小组内交流。
（2）反馈：四种放法：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。
（3）从四种放法，同学们会有什么发现呢？（总有一个纸杯里至少有2根小棒）
（4）你是怎么发现的？
（5）大家通过枚举出四种放法，能清楚地发现“总有一个纸杯里放进2根小棒”。
师：大家看，全放到一个杯子里，就有四个了。太多了。那怎么样让每个杯子里都尽可能少，你觉得应该要怎样放？（小组合作，讨论交流）
（每个纸杯里都先放进一枝，还剩一枝不管放进哪个纸杯，总会有一个纸杯里至少有2根小棒）（你真是一个善于思想的孩子。）
（6）这位同学运用了假设法来说明问题，你是假设先在每个纸杯里里
放1根小棒，这种放法其实也就是怎样分？（平均分）那剩下的1枝怎么处理？（放入任意一个文具盒，那么这个文具盒就有2枝铅笔了）
（7）谁能用算式来表示这位同学的想法？（4÷3=1…1）商1表示什么？余数1表示什么？怎么办？
（8）在探究4枝铅笔放进3个文具盒的问题，同学们的方法有两种，一是枚举了所有放法，找规律，二是采用了“假设法”来说明理由，你觉得哪种方法更明了更简单？
3、类推：把5枝小棒放进4个纸杯，总有一个纸杯里至少有几根小棒？为什么？
??
??把6枝小棒放进5个纸杯，总有一个纸杯里至少有几根小棒？为什么？
??
??把7枝小棒放进6个纸杯，是不是总有一个纸杯里至少有几根小棒？为什么？
??
??把100枝小棒放进99个纸杯，是不是总有一个纸杯里至少有几根小棒？为什么？
4、从刚才我们的探究活动中，你有什么发现？（只要放的小棒比纸杯的数量多1，总有一个纸杯里至少放进2根小棒。）
5、小结：刚才我们分析了把小棒放进纸杯的情况，只要小棒数量多于纸杯数量时，总有一个纸杯里至少放进2根小棒。
这就是今天我们要学习的鸽巢问题，也叫抽屉原理。既然叫“抽屉原理”是不是应该和抽屉有联系吧？小棒相当于我们要准备放进抽屉的物体，那么纸杯就相当于抽屉了。如果物体数多于抽屉数，我们就能得出结论“总有一个抽屉里放进了2个物体。
【练习】练习巩固
小练习：
1、任意13人中，至少有几人的出生月份相同？
2、任意367名学生中，至少有几名学生，他们在同一天过生日？为什么？
3、任意13人中，至少有几人的属相相同？”
6、刚才我们研究的是小棒数比纸杯多1的情况，如果小棒比纸杯数多2呢？多3呢？是不是也能得到结论：“总有一个纸杯里至少有2根小棒。”
