第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
知识要点基础练
知识点1 二次函数y=a(x-h)2+k的图象
1.如图,平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为( D )
A.y=-x2
B.y=-(x+1)2
C.y=-(x-1)2-1
D.y=-(x+1)2-1
2.抛物线y=(x+4)2+1可以由抛物线y=x2平移得到,下列平移方法中正确的是( A )
A.先向左平移4个单位,再向上平移1个单位
B.先向左平移4个单位,再向下平移1个单位
C.先向右平移4个单位,再向上平移1个单位
D.先向右平移4个单位,再向下平移1个单位
3.对于二次函数y=(x-3)2+5的图象,下列说法正确的是( D )
A.开口向下
B.当x=3时,y有最大值是5
C.对称轴是x=-3
D.顶点坐标是(3,5)
知识点2 二次函数y=a(x-h)2+k的性质
4.关于抛物线y=-(x+2)2+6图象的性质,下列说法错误的是( D )
A.开口向下
B.对称轴是x=-2
C.顶点坐标是(-2,6)
D.与x轴没有交点
5.若抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为( B )
A.m>1
B.m>0
C.m>-1
D.-16.已知点A(4,y1),B(,y2),C(-2,y3)都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上,则y1,y2,y3按从小到大的顺序排列为 y2综合能力提升练
7.在下列二次函数中,其图象对称轴为x=-2的是( A )
A.y=(x+2)2-3
B.y=2x2-2
C.y=-2x2-2
D.y=2(x-2)2
8.在平面直角坐标系中,如果抛物线y=4x2不动,把x轴向上、y轴向右分别平移3个单位,那么在新坐标系中抛物线的解析式是( B )
A.y=4(x-3)2+3
B.y=4(x+3)2-3
C.-y=4(x-3)2+3
D.y=4(x+3)2+3
9.已知二次函数y=a(x-h)2+k(a>0),其图象经过点A(0,2),B(8,3),则h的值可以是( D )
A.6
B.5
C.4
D.3
10.已知二次函数y=3(x+1)2+1,若-2≤x≤1,则函数y的( D )
A.最小值是1,最大值是5
B.最小值是1,无最大值
C.最小值是3,最大值是9
D.最小值是1,最大值是13
11.若一次函数y=kx+b的图象经过点(n,1)和(-1,n)(n>1),则二次函数y=a(x+b)2+k的图象的顶点在( C )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
12.写出与y=-x2+3的图象形状相同,但开口方向不同,顶点坐标是(4,5)的抛物线的解析式 y=(x-4)2+5 .?
13.若一条抛物线和y=-3x2的图象形状相同,并且顶点坐标是(-6,1),则此抛物线的函数解析式为 y=-3(x+6)2+1或y=3(x+6)2+1 .?
14.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=m(x+3)2+n与y=m(x-2)2+n+1交于点A.过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C(点B在点C左侧),则线段BC的长为 10 .?
提示:设两条抛物线顶点的横坐标分别为x1,x2,易得BC=2|x1-x2|=2×5=10.
15.已知函数y=点P(a,ka)在该函数的图象上.若这样的点P恰好有三个,则k的值为 2或8-14 .?
提示:由题意可得P(a,ka)在直线y=kx上,画函数图象如图所示.①当y=kx经过点(4,8)时,k=2,符合题意;②当y=kx与y=(x-7)2-1(x≥4)只有一个公共点时,符合题意,由得x2-(k+14)x+48=0,由Δ=0得k1=-14+8,k2=-14-8(舍去).综上,k=2或8-14.
16.已知抛物线y=(x-1)2-1.
(1)写出抛物线的开口方向和对称轴.
(2)函数y有最大值还是最小值?并求出这个最值.
(3)设抛物线与y轴的交点为P,与x轴的交点为Q,求直线PQ的函数解析式.
解:(1)抛物线开口向上,对称轴为x=1.
(2)由(1)可知开口向上,∴函数y有最小值,最小值为-1.
(3)在y=(x-1)2-1中,分别令x=0,y=0,可分别求得y=-,x=3或-1,
∴点P的坐标为(0,-),点Q的坐标为(3,0)或(-1,0).
设直线PQ的函数解析式为y=kx+b,
当点P(0,-),点Q(3,0)时,可得直线PQ的函数解析式为y=x-;
当点P(0,-),点Q(-1,0)时,可得直线PQ的函数解析式为y=-x-.
17.如图,已知抛物线y=a(x-h)2+k与x轴的一个交点为A(3,0),与y轴的交点为B(0,3),其顶点为C,对称轴为直线x=1.
(1)求抛物线对应的函数解析式;
(2)已知点M为y轴上的一个动点,当△ABM为等腰三角形时,求点M的坐标.
解:(1)y=-(x-1)2+4.
(2)①当MA=MB时,M(0,0);
②当AB=AM时,M(0,-3);
③当AB=BM时,M(0,3+3)或M(0,3-3).
综上可知,点M的坐标为(0,0)或(0,-3)或(0,3+3)或(0,3-3).
拓展探究突破练
18.在同一平面直角坐标系中,如果两个二次函数y1=a1(x+h1)2+k1与y2=a2(x+h2)2+k2的图象的形状相同,并且对称轴关于y轴对称,那么我们称这两个二次函数互为“梦函数”,例如:二次函数y=(x+1)2-1与y=(x-1)2+3互为“梦函数”.
(1)写出二次函数y=(x+3)2+2的一个“梦函数” y=(x-3)2+2(答案不唯一) .?
(2)任意一个二次函数的“梦函数”有 无数 个.?
提示:∵一对“梦函数”与k的大小无关,∴任意一个二次函数的“梦函数”有无数个.
(3)①一对“梦函数”中,a1与a2的关系为 |a1|=|a2| ,h1与h2的关系为 互为相反数(或h1+h2=0) ;?
②若一对“梦函数”中,a1≠a2,h1=h2,且这对“梦函数”的图象无公共点,请探究k1与k2的大小关系.
解:(3)②∵a1≠a2,∴a1与a2互为相反数.
又∵h1=h2,h1与h2互为相反数,∴h1=h2=0.
设y1=a1x2+k1,y2=-a1x2+k2(a≠0).令y1=y2,得a1x2+k1=-a1x2+k2,整理得2a1x2+k1-k2=0.∵y1与y2的图象无公共点,∴方程2a1x2+k1-k2=0无解,∴Δ=02-4×2a1(k1-k2)<0,
∴8a1(k1-k2)>0,
∴当a1>0时,k1>k2;当a1<0时,k1知识要点基础练
知识点1 二次函数y=a(x-h)2+k的图象
1.如图,平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为( )
A.y=-x2
B.y=-(x+1)2
C.y=-(x-1)2-1
D.y=-(x+1)2-1
2.抛物线y=(x+4)2+1可以由抛物线y=x2平移得到,下列平移方法中正确的是( )
A.先向左平移4个单位,再向上平移1个单位
B.先向左平移4个单位,再向下平移1个单位
C.先向右平移4个单位,再向上平移1个单位
D.先向右平移4个单位,再向下平移1个单位
3.对于二次函数y=(x-3)2+5的图象,下列说法正确的是( )
A.开口向下
B.当x=3时,y有最大值是5
C.对称轴是x=-3
D.顶点坐标是(3,5)
知识点2 二次函数y=a(x-h)2+k的性质
4.关于抛物线y=-(x+2)2+6图象的性质,下列说法错误的是( )
A.开口向下
B.对称轴是x=-2
C.顶点坐标是(-2,6)
D.与x轴没有交点
5.若抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为( )
A.m>1
B.m>0
C.m>-1
D.-16.已知点A(4,y1),B(,y2),C(-2,y3)都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上,则y1,y2,y3按从小到大的顺序排列为 .?
综合能力提升练
7.在下列二次函数中,其图象对称轴为x=-2的是( )
A.y=(x+2)2-3
B.y=2x2-2
C.y=-2x2-2
D.y=2(x-2)2
8.在平面直角坐标系中,如果抛物线y=4x2不动,把x轴向上、y轴向右分别平移3个单位,那么在新坐标系中抛物线的解析式是( )
A.y=4(x-3)2+3
B.y=4(x+3)2-3
C.-y=4(x-3)2+3
D.y=4(x+3)2+3
9.已知二次函数y=a(x-h)2+k(a>0),其图象经过点A(0,2),B(8,3),则h的值可以是( )
A.6
B.5
C.4
D.3
10.已知二次函数y=3(x+1)2+1,若-2≤x≤1,则函数y的( )
A.最小值是1,最大值是5
B.最小值是1,无最大值
C.最小值是3,最大值是9
D.最小值是1,最大值是13
11.若一次函数y=kx+b的图象经过点(n,1)和(-1,n)(n>1),则二次函数y=a(x+b)2+k的图象的顶点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
12.写出与y=-x2+3的图象形状相同,但开口方向不同,顶点坐标是(4,5)的抛物线的解析式
.?
13.若一条抛物线和y=-3x2的图象形状相同,并且顶点坐标是(-6,1),则此抛物线的函数解析式为
.?
14.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=m(x+3)2+n与y=m(x-2)2+n+1交于点A.过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C(点B在点C左侧),则线段BC的长为
.?
15.已知函数y=点P(a,ka)在该函数的图象上.若这样的点P恰好有三个,则k的值为
.?
16.已知抛物线y=(x-1)2-1.
(1)写出抛物线的开口方向和对称轴.
(2)函数y有最大值还是最小值?并求出这个最值.
(3)设抛物线与y轴的交点为P,与x轴的交点为Q,求直线PQ的函数解析式.
17.如图,已知抛物线y=a(x-h)2+k与x轴的一个交点为A(3,0),与y轴的交点为B(0,3),其顶点为C,对称轴为直线x=1.
(1)求抛物线对应的函数解析式;
(2)已知点M为y轴上的一个动点,当△ABM为等腰三角形时,求点M的坐标.
拓展探究突破练
18.在同一平面直角坐标系中,如果两个二次函数y1=a1(x+h1)2+k1与y2=a2(x+h2)2+k2的图象的形状相同,并且对称轴关于y轴对称,那么我们称这两个二次函数互为“梦函数”,例如:二次函数y=(x+1)2-1与y=(x-1)2+3互为“梦函数”.
(1)写出二次函数y=(x+3)2+2的一个“梦函数”
.?
(2)任意一个二次函数的“梦函数”有
个.?
(3)①一对“梦函数”中,a1与a2的关系为
,h1与h2的关系为
;?
②若一对“梦函数”中,a1≠a2,h1=h2,且这对“梦函数”的图象无公共点,请探究k1与k2的大小关系.第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
1.已知二次函数y=-(x+3)2-1,那么这个二次函数的图象有
(B)
A.最高点(3,-1)
B.最高点(-3,-1)
C.最低点(3,-1)
D.最低点(-3,-1)
2.对于函数y=(x-2)2+5,下列结论错误的是
(D)
A.图象顶点是(2,5)
B.图象开口向上
C.图象关于直线x=2对称
D.函数最大值为5
3.抛物线y=(x-6)2-1的对称轴是直线 x=6 .?
4.将二次函数y=-2(x+2)2+3的图象向右平移2个单位得到二次函数的解析式为 y=-2x2+3 .?
5.已知二次函数y=2x2+4x+4,用配方法把该函数化为y=a(x+h)2+k(其中a,h,k都是常数,且a≠0)的形式,并指出抛物线的对称轴和顶点坐标.
解:y=2x2+4x+4=2(x2+2x+1)+2=2(x+1)2+2,
∴抛物线的对称轴为x=-1,顶点坐标为(-1,2).(共16张PPT)
第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第二十二章 二次函数
知识点1 二次函数y=a(x-h)2+k的图象
1.如图,平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为( )
D
2.抛物线y=(x+4)2+1可以由抛物线y=x2平移得到,下列平移方法中正确的是( )
A.先向左平移4个单位,再向上平移1个单位
B.先向左平移4个单位,再向下平移1个单位
C.先向右平移4个单位,再向上平移1个单位
D.先向右平移4个单位,再向下平移1个单位
3.对于二次函数y=(x-3)2+5的图象,下列说法正确的是( )
A.开口向下
B.当x=3时,y有最大值是5
C.对称轴是x=-3
D.顶点坐标是(3,5)
A
D
知识点2 二次函数y=a(x-h)2+k的性质
4.关于抛物线y=-(x+2)2+6图象的性质,下列说法错误的是
( )
A.开口向下
B.对称轴是x=-2
C.顶点坐标是(-2,6)
D.与x轴没有交点
5.若抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为( )
A.m>1
B.m>0
C.m>-1
D.-1D
B
y27.在下列二次函数中,其图象对称轴为x=-2的是( )
A.y=(x+2)2-3
B.y=2x2-2
C.y=-2x2-2
D.y=2(x-2)2
8.在平面直角坐标系中,如果抛物线y=4x2不动,把x轴向上、y轴向右分别平移3个单位,那么在新坐标系中抛物线的解析式是( )
A.y=4(x-3)2+3
B.y=4(x+3)2-3
C.-y=4(x-3)2+3
D.y=4(x+3)2+3
A
B
9.已知二次函数y=a(x-h)2+k(a>0),其图象经过点A(0,2),B(8,3),则h的值可以是( )
A.6
B.5
C.4
D.3
10.已知二次函数y=3(x+1)2+1,若-2≤x≤1,则函数y的( )
A.最小值是1,最大值是5
B.最小值是1,无最大值
C.最小值是3,最大值是9
D.最小值是1,最大值是13
11.若一次函数y=kx+b的图象经过点(n,1)和(-1,n)(n>1),则二次函数y=a(x+b)2+k的图象的顶点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
D
C
12.写出与
的图象形状相同,但开口方向不同,顶点坐标是(4,5)的抛物线的解析式____________________.?
13.若一条抛物线和y=-3x2的图象形状相同,并且顶点坐标是
(-6,1),则此抛物线的函数解析式为______________________.
y=-3(x+6)2+1或y=3(x+6)2+1
14.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=m(x+3)2+n与y=m(x-2)2+n+1交于点A.过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C(点B在点C左侧),则线段BC的长为__________.?
10
提示:设两条抛物线顶点的横坐标分别为x1,x2,
易得BC=2|x1-x2|=2×5=10.
(1)写出抛物线的开口方向和对称轴.
(2)函数y有最大值还是最小值?并求出这个最值.
(3)设抛物线与y轴的交点为P,与x轴的交点为Q,求直线PQ的函数解析式.
解:(1)抛物线开口向上,对称轴为x=1.
(2)由(1)可知开口向上,∴函数y有最小值,最小值为-1.
17.如图,已知抛物线y=a(x-h)2+k与x轴的一个交点为A(3,0),与y轴的交点为B(0,3),其顶点为C,对称轴为直线x=1.
(1)求抛物线对应的函数解析式;
(2)已知点M为y轴上的一个动点,当△ABM为等腰三角形时,求点M的坐标.
解:(1)y=-(x-1)2+4.
(2)①当MA=MB时,M(0,0);
②当AB=AM时,M(0,-3);
18.在同一平面直角坐标系中,如果两个二次函数y1=a1(x+h1)2+k1与y2=a2(x+h2)2+k2的图象的形状相同,并且对称轴关于y轴对称,那么我们称这两个二次函数互为“梦函数”,例如:二次函数y=(x+1)2-1与y=(x-1)2+3互为“梦函数”.
(1)写出二次函数y=(x+3)2+2的一个“梦函数”_____________.?
(2)任意一个二次函数的“梦函数”有_______个.?
提示:∵一对“梦函数”与k的大小无关,∴任意一个二次函数的“梦函数”有无数个.
y=(x-3)2+2(答案不唯一)
无数
(3)①一对“梦函数”中,a1与a2的关系为_____________,h1与h2的关系为__________________________;?
②若一对“梦函数”中,a1≠a2,h1=h2,且这对“梦函数”的图象无公共点,请探究k1与k2的大小关系.
解:∵a1≠a2,∴a1与a2互为相反数.
又∵h1=h2,h1与h2互为相反数,∴h1=h2=0.
设y1=a1x2+k1,y2=-a1x2+k2(a≠0).令y1=y2,得a1x2+k1=-a1x2+k2,整理得2a1x2+k1-k2=0.∵y1与y2的图象无公共点,∴方程2a1x2+k1-k2=0无解,∴Δ=02-4×2a1(k1-k2)<0,
∴8a1(k1-k2)>0,∴当a1>0时,k1>k2;当a1<0时,k1|a1|=|a2|
互为相反数(或h1+h2=0)
