22.1.2 二次函数y=ax2
的图象和性质
知识要点基础练
知识点1 二次函数y=ax2的图象
1.二次函数y=x2的对称轴是( C )
A.直线y=1
B.直线x=1
C.y轴
D.x轴
2.下列图象中,是二次函数y=-2x2的图象的是( D )
3.已知二次函数y=(2-a)x2的图象如图所示,则a的取值范围为 a<2 .?
知识点2 二次函数y=ax2的性质
4.(原创)函数y=4x2的图象的顶点坐标为( B )
A.(1,-4)
B.(0,0)
C.(0,4)
D.(4,0)
5.(原创)请写出一个顶点是原点,且自变量大于零时函数值随着自变量的增大而减小的抛物线的解析式 y=-x2(答案不唯一) .?
6.已知四个二次函数的图象如图所示,求a1,a2,a3,a4的大小关系.
解:a1>a2>a3>a4.
综合能力提升练
7.下列函数中,当x<0时,函数值y随x的增大而增大的有( B )
①y=3x;②y=-4x-3;③y=-2x2;④y=5x2.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
8.二次函数y=ax2与一次函数y=-ax在同一平面直角坐标系中的图象可能是( B )
【变式拓展】当ab>0时,y=ax2与y=ax+b的图象可能是( D )
9.下列说法错误的是( C )
A.二次函数y=-5x2中,当x=0时,y有最大值0
B.二次函数y=4x2中,当x>0时,y随x的增大而增大
C.在三条抛物线y=2x2,y=-0.5x2,y=-x2中,y=2x2的图象开口最大,y=-x2的图象开口最小
D.不论a是正数还是负数,抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点
10.已知抛物线y=-ax2(a>0),当x >0 时,y随x的增大而减小.?
11.如图,正方形的边长为4,以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数y=2x2与y=-2x2的图象,则阴影部分的面积是 8 .?
12.若点A(x1,8)和点B(x2,8)(x1≠x2)均在二次函数y=mx2(m>0)的图象上,则当x=x1+x2时,y的值是 0 .?
13.已知抛物线y=ax2经过点(1,3).
(1)求a的值;
(2)当x=3时,求y的值;
(3)说出此二次函数的三条性质.
解:(1)∵抛物线y=ax2经过点(1,3),∴a×1=3,∴a=3.
(2)把x=3代入抛物线y=3x2,得y=3×32=27.
(3)答案不唯一,如:①抛物线的开口向上;②坐标原点是抛物线的顶点;③当x>0时,y随着x的增大而增大;④抛物线的图象有最低点;⑤当x=0时,y有最小值,最小值是0等.
14.已知一次函数y=ax+b的图象上有A,B两点,它们的横坐标分别是3,-1.若二次函数y=x2的图象经过A,B两点.
(1)请求出此一次函数的解析式;
(2)设该二次函数的顶点为C,求△ABC的面积.
解:(1)一次函数的解析式为y=x+1.
(2)∵二次函数的解析式为y=x2,∴点C的坐标为(0,0).
设一次函数与y轴的交点为D,则点D的坐标为(0,1),
∴CD=1,∴S△ABC=CD·(xA-xB)=×1×4=2.
15.如图,过点F(0,-1)的直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=-x2交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.
(1)求b的值;
(2)求x1x2的值.
解:(1)b=-1.
(2)因为b=-1,所以直线的解析式为y=kx-1,联立则-x2-kx+1=0,所以x1x2=-4.
拓展探究突破练
16.(原创)定义:若抛物线y1的顶点为P,点A的坐标为(a,a)(a是常数,且a≠0),我们把线段PA称为抛物线y1的顶割线.已知抛物线y1=mx2(m≠0).
(1)求抛物线y1的顶割线所在直线的方程;
(2)若抛物线y1的顶割线长为2,且点A在抛物线y1上,求m的值.
解:(1)∵抛物线y1=mx2(m≠0)的顶点坐标是(0,0),
∴设顶割线所在直线的方程为y=kx,把点A(a,a)代入y=kx,得a=ka,∵a≠0,∴k=1,
∴抛物线y1的顶割线所在直线的方程为y=x.
(2)∵抛物线y1的顶割线长为2,∴PA=2,∴a2+a2=(2)2,解得a=-2或a=2.
∴点A的坐标为(-2,-2)或(2,2),
分别代入y1=mx2,得m=-或m=.22.1.2 二次函数y=ax2
的图象和性质
知识要点基础练
知识点1 二次函数y=ax2的图象
1.二次函数y=x2的对称轴是( )
A.直线y=1
B.直线x=1
C.y轴
D.x轴
2.下列图象中,是二次函数y=-2x2的图象的是( )
3.已知二次函数y=(2-a)x2的图象如图所示,则a的取值范围为 .?
知识点2 二次函数y=ax2的性质
4.(原创)函数y=4x2的图象的顶点坐标为( )
A.(1,-4)
B.(0,0)
C.(0,4)
D.(4,0)
5.(原创)请写出一个顶点是原点,且自变量大于零时函数值随着自变量的增大而减小的抛物线的解析式
.?
6.已知四个二次函数的图象如图所示,求a1,a2,a3,a4的大小关系.
综合能力提升练
7.下列函数中,当x<0时,函数值y随x的增大而增大的有( )
①y=3x;②y=-4x-3;③y=-2x2;④y=5x2.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
8.二次函数y=ax2与一次函数y=-ax在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
【变式拓展】当ab>0时,y=ax2与y=ax+b的图象可能是( )
9.下列说法错误的是( )
A.二次函数y=-5x2中,当x=0时,y有最大值0
B.二次函数y=4x2中,当x>0时,y随x的增大而增大
C.在三条抛物线y=2x2,y=-0.5x2,y=-x2中,y=2x2的图象开口最大,y=-x2的图象开口最小
D.不论a是正数还是负数,抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点
10.已知抛物线y=-ax2(a>0),当x 时,y随x的增大而减小.?
11.如图,正方形的边长为4,以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数y=2x2与y=-2x2的图象,则阴影部分的面积是 .?
12.若点A(x1,8)和点B(x2,8)(x1≠x2)均在二次函数y=mx2(m>0)的图象上,则当x=x1+x2时,y的值是 .?
13.已知抛物线y=ax2经过点(1,3).
(1)求a的值;
(2)当x=3时,求y的值;
(3)说出此二次函数的三条性质.
14.已知一次函数y=ax+b的图象上有A,B两点,它们的横坐标分别是3,-1.若二次函数y=x2的图象经过A,B两点.
(1)请求出此一次函数的解析式;
(2)设该二次函数的顶点为C,求△ABC的面积.
15.如图,过点F(0,-1)的直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=-x2交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.
(1)求b的值;
(2)求x1x2的值.
拓展探究突破练
16.(原创)定义:若抛物线y1的顶点为P,点A的坐标为(a,a)(a是常数,且a≠0),我们把线段PA称为抛物线y1的顶割线.已知抛物线y1=mx2(m≠0).
(1)求抛物线y1的顶割线所在直线的方程;
(2)若抛物线y1的顶割线长为2,且点A在抛物线y1上,求m的值.22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
1.函数y=ax2与y=-ax+b的图象可能是
(B)
2.已知原点是抛物线y=(m+1)x2的最高点,则m的范围是
(A)
A.m<-1
B.m<1
C.m>-1
D.m>-2
3.如图,☉O的半径为2,C1是函数y=x2的图象,C2是函数y=-x2的图象,则阴影部分的面积是 2π .?
4.若函数y=(m-1)是二次函数,且开口向下,则m= -2 .?
5.已知二次函数y=ax2,当x=3时,y=3.
(1)当x=-2时,求y的值;
(2)写出它的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向.
解:(1)把x=3,y=3代入y=ax2,得a·32=3,解得a=,
∴这个二次函数的解析式为y=x2.
当x=-2时,y=×(-2)2=.
(2)∵y=x2,a=>0,∴图象开口向上,对称轴是x=0,顶点坐标是(0,0).
B
C(共16张PPT)
22.1.2 二次函数y=ax2
的图象和性质
第二十二章 二次函数
知识点1 二次函数y=ax2的图象
1.二次函数y=x2的对称轴是( )
A.直线y=1
B.直线x=1
C.y轴
D.x轴
2.下列图象中,是二次函数y=-2x2的图象的是( )
C
D
3.已知二次函数y=(2-a)x2的图象如图所示,则a的取值范围为__________.?
a<2
知识点2 二次函数y=ax2的性质
4.(原创)函数y=4x2的图象的顶点坐标为( )
A.(1,-4)
B.(0,0)
C.(0,4)
D.(4,0)
5.(原创)请写出一个顶点是原点,且自变量大于零时函数值随着自变量的增大而减小的抛物线的解析式_______________
.
B
y=-x2(答案不唯一)
6.已知四个二次函数的图象如图所示,求a1,a2,a3,a4的大小关系.
解:a1>a2>a3>a4.
7.下列函数中,当x<0时,函数值y随x的增大而增大的有( )
①y=3x;②y=-4x-3;③y=-2x2;④y=5x2.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
8.二次函数y=ax2与一次函数y=-ax在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
B
【变式拓展】当ab>0时,y=ax2与y=ax+b的图象可能是(
)
D
9.下列说法错误的是( )
A.二次函数y=-5x2中,当x=0时,y有最大值0
B.二次函数y=4x2中,当x>0时,y随x的增大而增大
C.在三条抛物线y=2x2,y=-0.5x2,y=-x2中,y=2x2的图象开口最大,y=-x2的图象开口最小
D.不论a是正数还是负数,抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点
C
10.已知抛物线y=-ax2(a>0),当x__________时,y随x的增大而减小.?
11.如图,正方形的边长为4,以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数y=2x2与y=-2x2的图象,则阴影部分的面积是__________.?
>0
8
12.若点A(x1,8)和点B(x2,8)(x1≠x2)均在二次函数y=mx2(m>0)的图象上,则当x=x1+x2时,y的值是__________.?
0
13.已知抛物线y=ax2经过点(1,3).
(1)求a的值;
(2)当x=3时,求y的值;
(3)说出此二次函数的三条性质.
解:(1)∵抛物线y=ax2经过点(1,3),∴a×1=3,∴a=3.
(2)把x=3代入抛物线y=3x2,得y=3×32=27.
(3)答案不唯一,如:①抛物线的开口向上;②坐标原点是抛物线的顶点;③当x>0时,y随着x的增大而增大;④抛物线的图象有最低点;⑤当x=0时,y有最小值,最小值是0等.
14.已知一次函数y=ax+b的图象上有A,B两点,它们的横坐标分别是3,-1.若二次函数
的图象经过A,B两点.
(1)请求出此一次函数的解析式;
(2)设该二次函数的顶点为C,求△ABC的面积.
15.如图,过点F(0,-1)的直线y=kx+b(k≠0)与抛物线
交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.
(1)求b的值;
(2)求x1x2的值.
16.(原创)定义:若抛物线y1的顶点为P,点A的坐标为(a,a)(a是常数,且a≠0),我们把线段PA称为抛物线y1的顶割线.已知抛物线y1=mx2(m≠0).
(1)求抛物线y1的顶割线所在直线的方程;
(2)若抛物线y1的顶割线长为
,且点A在抛物线y1上,求m的值.
解:(1)∵抛物线y1=mx2(m≠0)的顶点坐标是(0,0),
∴设顶割线所在直线的方程为y=kx,把点A(a,a)代入y=kx,得a=ka,∵a≠0,∴k=1,
∴抛物线y1的顶割线所在直线的方程为y=x.
