第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
知识要点基础练
知识点1 二次函数y=ax2+k的图象
1.抛物线y=3x2-2的对称轴是( C )
A.直线x=-1
B.直线x=1
C.直线x=0
D.直线y=1
2.抛物线y=6x2+4的顶点坐标是( B )
A.(0,-4)
B.(0,4)
C.(6,0)
D.(-6,0)
3.如果抛物线y=ax2-3的顶点是它的最低点,求a的取值范围.
解:a>0.
知识点2 二次函数y=ax2+k的性质
4.在抛物线y=-x2-1的对称轴的左侧( A )
A.y随x的增大而增大
B.y随x的增大而减小
C.y随x的减小而增大
D.以上都不对
【变式拓展】若抛物线y=ax2+(a-1)(a≠0)经过原点,那么该抛物线在对称轴的左侧部分的变化趋势是 下降 的.(填“上升”或“下降”)?
5.(改编)若y=(1+m)-3是二次函数,且开口向下,则m的值为 -3 .?
6.已知二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,-5),当x>0时,y随x的增大而 减小 .(填“增大”或“减小”
)?
综合能力提升练
7.抛物线y=-3x2-4的开口方向和顶点坐标分别是( B )
A.向下,(0,4)
B.向下,(0,-4)
C.向上,(0,4)
D.向上,(0,-4)
8.(原创)直线y=2被抛物线y=-x2+6截得的线段长度为( C )
A.2
B.3
C.4
D.6
9.在同一平面直角坐标系中,函数y=ax2+b与y=ax+b(a,b都不为0)的图象的相对位置可以是( A )
10.已知函数y=当y=5时,x的值是( C )
A.6
B.-
C.-或6
D.±或6
11.已知直线y=-x+1与抛物线y=x2+k的一个交点的横坐标为-2,则k= -1 .?
12.如图,抛物线y=ax2+1与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直线交抛物线y=4x2于点B,C,则线段BC的长为 1 .?
13.(改编)记实数x1,x2中的最小值为min{x1,x2},例如min{0,-1}=-1.当x取任意实数时,求min{-x2+4,3x}的最大值.
解:画出函数y=-x2+4和y=3x的图象,
由图象可知min{-x2+4,3x}的最大值为3.
14.(1)已知二次函数y=x2的自变量x在2(2)已知二次函数y=-x2+4的自变量x在-2解:(1)y的取值范围为4(2)∵y=-x2+4,∴x=0时,该函数取最大值4,∴-215.在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx(k为常数)与抛物线y=x2-2交于A,B两点,且点A在y轴左侧,点P的坐标为(0,-4),连接PA,PB,求△PAB面积的最小值.
解:设A(m,km),B(n,kn),其中m<0,n>0,坐标原点为O.
联立y=x2-2与y=kx,得x2-3kx-6=0,
∴m+n=3k,mn=-6,
∴S△PAB=S△PAO+S△PBO=OP·(-m)+OP·n=OP·(n-m)=2(n-m)=2=2,
∴当k=0时,△PAB的面积有最小值,最小值为2=4.
16.已知抛物线y=x2+1具有如下性质:抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x轴的距离相等.如图,点M的坐标为(,3),P是抛物线y=x2+1上的一个动点.
(1)当△POF的面积为4时,求点P的坐标;
(2)求△PMF周长的最小值.
解:(1)设点P的坐标为.
∵点F的坐标为(0,2),∴OF=2,
∴当△POF的面积为4时,×2×|x|=4,解得x=±4,∴y=×(±4)2+1=5,
∴点P的坐标为(-4,5)或(4,5).
(2)过点M作ME⊥x轴于点E,交抛物线y=x2+1于点P,此时△PMF的周长最小.
∵F(0,2),M(,3),
∴ME=3,FM==2,
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5.
拓展探究突破练
17.在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y)和Q(x,y'),给出如下定义:若y'=
则称点Q为点P的“可控变点”.例如:点(1,2)的“可控变点”为点(1,2),点(-1,3)的“可控变点”为点(-1,-3).
(1)若点(-1,-2)是一次函数y=x+3图象上点M的“可控变点”,则点M的坐标为 (-1,2) .?
(2)若点P在函数y=-x2+16(-5≤x≤a)的图象上,其“可控变点”Q的纵坐标y'的取值范围是-16≤y'≤16,求实数a的取值范围.
解:(2)因为二次函数的解析式为y=-x2+16,
所以当x<0时,y随着x的增大而增大;当x>0时,y随着x的增大而减小.
设二次函数上点P的坐标为(x,y),其“可控变点”Q的坐标为(x,y').若a<0,则y<16,y'将取不到16,故a≥0.
当-5≤x<0时,-9≤y<16,此时-16因为-16≤y'≤16,所以-16≤16-a2≤9,且a≥0,所以≤a≤4.第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
知识要点基础练
知识点1 二次函数y=ax2+k的图象
1.抛物线y=3x2-2的对称轴是( )
A.直线x=-1
B.直线x=1
C.直线x=0
D.直线y=1
2.抛物线y=6x2+4的顶点坐标是( )
A.(0,-4)
B.(0,4)
C.(6,0)
D.(-6,0)
3.如果抛物线y=ax2-3的顶点是它的最低点,求a的取值范围.
知识点2 二次函数y=ax2+k的性质
4.在抛物线y=-x2-1的对称轴的左侧( )
A.y随x的增大而增大
B.y随x的增大而减小
C.y随x的减小而增大
D.以上都不对
【变式拓展】若抛物线y=ax2+(a-1)(a≠0)经过原点,那么该抛物线在对称轴的左侧部分的变化趋势是 下降 的.(填“上升”或“下降”)?
5.(改编)若y=(1+m)-3是二次函数,且开口向下,则m的值为
.?
6.已知二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,-5),当x>0时,y随x的增大而
.(填“增大”或“减小”
)?
综合能力提升练
7.抛物线y=-3x2-4的开口方向和顶点坐标分别是( )
A.向下,(0,4)
B.向下,(0,-4)
C.向上,(0,4)
D.向上,(0,-4)
8.(原创)直线y=2被抛物线y=-x2+6截得的线段长度为( )
A.2
B.3
C.4
D.6
9.在同一平面直角坐标系中,函数y=ax2+b与y=ax+b(a,b都不为0)的图象的相对位置可以是( )
10.已知函数y=当y=5时,x的值是( )
A.6
B.-
C.-或6
D.±或6
11.已知直线y=-x+1与抛物线y=x2+k的一个交点的横坐标为-2,则k=
.?
12.如图,抛物线y=ax2+1与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直线交抛物线y=4x2于点B,C,则线段BC的长为
.?
13.(改编)记实数x1,x2中的最小值为min{x1,x2},例如min{0,-1}=-1.当x取任意实数时,求min{-x2+4,3x}的最大值.
14.(1)已知二次函数y=x2的自变量x在2(2)已知二次函数y=-x2+4的自变量x在-215.在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx(k为常数)与抛物线y=x2-2交于A,B两点,且点A在y轴左侧,点P的坐标为(0,-4),连接PA,PB,求△PAB面积的最小值.
16.已知抛物线y=x2+1具有如下性质:抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x轴的距离相等.如图,点M的坐标为(,3),P是抛物线y=x2+1上的一个动点.
(1)当△POF的面积为4时,求点P的坐标;
(2)求△PMF周长的最小值.
拓展探究突破练
17.在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y)和Q(x,y'),给出如下定义:若y'=
则称点Q为点P的“可控变点”.例如:点(1,2)的“可控变点”为点(1,2),点(-1,3)的“可控变点”为点(-1,-3).
(1)若点(-1,-2)是一次函数y=x+3图象上点M的“可控变点”,则点M的坐标为
.?
(2)若点P在函数y=-x2+16(-5≤x≤a)的图象上,其“可控变点”Q的纵坐标y'的取值范围是-16≤y'≤16,求实数a的取值范围.22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
1.在同一平面直角坐标系中,一次函数y=-kx+2与二次函数y=x2+k的图象可能是
(A)
2.抛物线y=-2x2+1的对称轴是
(D)
A.直线x=
B.直线x=-
C.直线x=2
D.直线x=0
3.已知二次函数y=-x2-2,那么它的图象在对称轴的 右侧 部分是下降的.(填“左侧”或“右侧”)?
4.抛物线y=x2-1的顶点坐标是 (0,-1) .?
5.若函数y=
(1)当自变量x=时,求函数y的值;
(2)当函数y=8时,求自变量x的值.
解:(1)∵x=<2,∴当x=时,y=()2+2=5.
(2)①当x≤2时,x2+2=8,解得x=-;
②当x>2时,x-2=8,解得x=10.
综上,当函数y=8时,自变量x=-或10.
A
D(共16张PPT)
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第二十二章 二次函数
第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
第二十二章 二次函数
知识点1 二次函数y=ax2+k的图象
1.抛物线y=3x2-2的对称轴是( )
A.直线x=-1
B.直线x=1
C.直线x=0
D.直线y=1
2.抛物线y=6x2+4的顶点坐标是( )
A.(0,-4)
B.(0,4)
C.(6,0)
D.(-6,0)
3.如果抛物线y=ax2-3的顶点是它的最低点,求a的取值范围.
C
B
解:a>0.
知识点2 二次函数y=ax2+k的性质
4.在抛物线
的对称轴的左侧( )
A.y随x的增大而增大
B.y随x的增大而减小
C.y随x的减小而增大
D.以上都不对
【变式拓展】若抛物线y=ax2+(a-1)(a≠0)经过原点,那么该抛物线在对称轴的左侧部分的变化趋势是_______的.(填“上升”或“下降”)?
A
下降
5.(改编)若
是二次函数,且开口向下,则m的值为__________.?
6.已知二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,-5),当x>0时,y随x的增大而__________.(填“增大”或“减小”
)?
-3
减小
7.抛物线y=-3x2-4的开口方向和顶点坐标分别是( )
A.向下,(0,4)
B.向下,(0,-4)
C.向上,(0,4)
D.向上,(0,-4)
8.(原创)直线y=2被抛物线y=-x2+6截得的线段长度为( )
A.2
B.3
C.4
D.6
B
C
9.在同一平面直角坐标系中,函数y=ax2+b与y=ax+b(a,b都不为0)的图象的相对位置可以是( )
A
C
11.已知直线y=-x+1与抛物线y=x2+k的一个交点的横坐标为-2,则k=__________.?
12.如图,抛物线y=ax2+1与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直线交抛物线y=4x2于点B,C,则线段BC的长为__________.?
-1
1
13.(改编)记实数x1,x2中的最小值为min{x1,x2},例如min{0,-1}=
-1.当x取任意实数时,求min{-x2+4,3x}的最大值.
解:画出函数y=-x2+4和y=3x的图象,
由图象可知min{-x2+4,3x}的最大值为3.
14.(1)已知二次函数y=x2的自变量x在2(2)已知二次函数y=-x2+4的自变量x在-2解:(1)y的取值范围为4(2)∵y=-x2+4,∴x=0时,该函数取最大值4,
∴-215.在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx(k为常数)与抛物线
交于A,B两点,且点A在y轴左侧,点P的坐标为(0,-4),连接PA,PB,求△PAB面积的最小值.
17.在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y)和Q(x,y'),给出如下定义:若
则称点Q为点P的“可控变点”.例如:点(1,2)的“可控变点”为点(1,2),点(-1,3)的“可控变点”为点(-1,-3).
(1)若点(-1,-2)是一次函数y=x+3图象上点M的“可控变点”,则点M的坐标为__________.?
(2)若点P在函数y=-x2+16(-5≤x≤a)的图象上,其“可控变点”Q的纵坐标y'的取值范围是-16≤y'≤16,求实数a的取值范围.
(-1,2)
解:因为二次函数的解析式为y=-x2+16,
所以当x<0时,y随着x的增大而增大;当x>0时,y随着x的增大而减小.
设二次函数上点P的坐标为(x,y),其“可控变点”Q的坐标为(x,y').若a<0,则y<16,y'将取不到16,故a≥0.
当-5≤x<0时,-9≤y<16,此时-16当0≤x≤a时,16-a2≤y≤16,此时16-a2≤y'≤16.
因为-16≤y'≤16,所以-16≤16-a2≤9,且a≥0,
