第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
知识要点基础练
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的互化
1.用配方法将函数y=x2-2x+2写成y=a(x-h)2+k的形式( A )
A.y=(x-1)2+1
B.y=(x-1)2-1
C.y=(x-1)2-3
D.y=(x+1)2-1
2.将二次函数y=x2-4x+5化为y=(x-h)2+k的形式,那么h+k= 3 .?
知识点2 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
3.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表,则该抛物线的对称轴是直线( B )
x
-1
1
5
y
2
5
2
A.x=3
B.x=2
C.x=1.5
D.x=1
4.二次函数y=2x2+bx+3的图象的对称轴是直线x=1,则常数b的值为 -4 .?
知识点3 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与a,b,c的关系
5.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则有( C )
A.a>0,b>0
B.a>0,c>0
C.b>0,c>0
D.a,b,c都小于0
6.已知二次函数y=ax2-2x+c的图象如图所示,则点P(a,c)在第 二 象限.?
综合能力提升练
7.已知抛物线y=x2-4x+3,当0≤x≤m时,y的最小值为-1,最大值为3,则m的取值范围为( C )
A.m≥2
B.0≤m≤2
C.2≤m≤4
D.m≤4
8.已知二次函数y=x2+(m-1)x+2,当x>1时,y随x的增大而增大,则m的取值范围是( D )
A.m=1
B.m=2
C.m≤-1
D.m≥-1
9.已知函数y=ax2-2ax-1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是( D )
A.当a=1时,函数图象经过点(-1,1)
B.当a=-2时,函数图象与x轴没有交点
C.若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而减小
D.若a<0,则当x≤1时,y随x的增大而增大
10.在平面直角坐标系xOy中,四条抛物线如图所示,其解析式中的二次项系数一定小于1的是( A )
A.y1
B.y2
C.y3
D.y4
11.在抛物线y=ax2-2ax-3a上有A(-0.5,y1),B(2,y2),C(3,y3)三点.若抛物线与y轴的交点在正半轴上,则y1,y2和y3的大小关系为( B )
A.y1>y2>y3
B.y2>y1>y3
C.y3>y1>y2
D.y2>y3>y1
12.(原创)我们把与抛物线y=ax2(a≠0)的开口大小一样且开口方向相反的抛物线,称之为原抛物线的“同口反向抛物线”.如果抛物线y=x2的一个“同口反向抛物线”的顶点在直线y=x上,且与抛物线y=x2的顶点距离为,那么它的“同口反向抛物线”的解析式是 y=-(x-1)2+1或y=-(x+1)2-1 .?
13.若抛物线y=x2-2x+3不动,将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1个单位,再沿铅直方向向上平移3个单位,则原抛物线图象的解析式应变为 y=x2-1 .?
14.如图,抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C,点D的坐标为(0,1),点P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为 (1+,2) .?
15.已知P(-5,m)和Q(3,m)是二次函数y=2x2+bx+1图象上的两点.
(1)求b的值;
(2)将二次函数y=2x2+bx+1的图象沿y轴向上平移k(k>0)个单位,使平移后的图象与x轴无交点,求k的取值范围.
解:(1)因为点P,Q是二次函数y=2x2+bx+1图象上的两点,所以此抛物线的对称轴是直线x=-1.
因为二次函数的解析式为y=2x2+bx+1,所以有-=-1,所以b=4.
(2)平移后抛物线的解析式为y=2x2+4x+1+k=2(x+1)2+k-1.要使平移后的图象与x轴无交点,则k-1>0,所以k>1.
16.二次函数的解析式为y=ax2+bx+a-5(a,b为常数,a≠0),且2a+b=3.
(1)若该二次函数的图象经过点(-1,4),求该二次函数的解析式;
(2)已知点P(x0,m)和Q(1,n)都在二次函数的图象上.若x0<1,且m>n,求x0的取值范围.(用含a的代数式表示)
解:(1)∵函数y=ax2+bx+a-5的图象经过点(-1,4),且2a+b=3,∴解得
∴该二次函数的解析式为y=3x2-3x-2.
(2)∵y=ax2+(3-2a)x+a-5,∴对称轴为x=-.
∵x0<1,且m>n,
∴当a>0时,--x0>1+,解得x0<1-;
当a<0时,--x0<1+,解得x0>1-(不符合题意,舍去),
∴x0的取值范围为x0<1-.
拓展探究突破练
17.若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数.
(2)已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=x2+bx+c,其中y1的图象经过点A(1,1).若y1+y2与y1为“同簇二次函数”,求函数y2的解析式,并求当0≤x≤3时,y2的取值范围.
解:(1)符合要求的两个“同簇二次函数”可以为y=2(x-3)2+4与y=3(x-3)2+4.(答案不唯一)
(2)因为y1的图象经过点A(1,1),所以2×12-4×m×1+2m2+1=1,整理得m2-2m+1=0,解得m1=m2=1,
所以y1=2x2-4x+3=2(x-1)2+1,
所以y1+y2=2x2-4x+3+x2+bx+c=3x2+(b-4)x+(c+3).
因为y1+y2与y1为“同簇二次函数”,
所以y1+y2=3(x-1)2+1=3x2-6x+4,即b-4=-6,c+3=4,解得b=-2,c=1,
所以函数y2的解析式为y2=x2-2x+1=(x-1)2,
所以函数y2的图象的对称轴为x=1.
因为1>0,所以函数y2的图象开口向上,所以当0≤x≤3时,y2的取值范围为0≤y2≤4.第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
知识要点基础练
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的互化
1.用配方法将函数y=x2-2x+2写成y=a(x-h)2+k的形式( )
A.y=(x-1)2+1
B.y=(x-1)2-1
C.y=(x-1)2-3
D.y=(x+1)2-1
2.将二次函数y=x2-4x+5化为y=(x-h)2+k的形式,那么h+k= .?
知识点2 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
3.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表,则该抛物线的对称轴是直线( )
x
-1
1
5
y
2
5
2
A.x=3
B.x=2
C.x=1.5
D.x=1
4.二次函数y=2x2+bx+3的图象的对称轴是直线x=1,则常数b的值为 .?
知识点3 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与a,b,c的关系
5.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则有( )
A.a>0,b>0
B.a>0,c>0
C.b>0,c>0
D.a,b,c都小于0
6.已知二次函数y=ax2-2x+c的图象如图所示,则点P(a,c)在第 象限.?
综合能力提升练
7.已知抛物线y=x2-4x+3,当0≤x≤m时,y的最小值为-1,最大值为3,则m的取值范围为( )
A.m≥2
B.0≤m≤2
C.2≤m≤4
D.m≤4
8.已知二次函数y=x2+(m-1)x+2,当x>1时,y随x的增大而增大,则m的取值范围是( )
A.m=1
B.m=2
C.m≤-1
D.m≥-1
9.已知函数y=ax2-2ax-1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是( )
A.当a=1时,函数图象经过点(-1,1)
B.当a=-2时,函数图象与x轴没有交点
C.若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而减小
D.若a<0,则当x≤1时,y随x的增大而增大
10.在平面直角坐标系xOy中,四条抛物线如图所示,其解析式中的二次项系数一定小于1的是( )
A.y1
B.y2
C.y3
D.y4
11.在抛物线y=ax2-2ax-3a上有A(-0.5,y1),B(2,y2),C(3,y3)三点.若抛物线与y轴的交点在正半轴上,则y1,y2和y3的大小关系为( )
A.y1>y2>y3
B.y2>y1>y3
C.y3>y1>y2
D.y2>y3>y1
12.(原创)我们把与抛物线y=ax2(a≠0)的开口大小一样且开口方向相反的抛物线,称之为原抛物线的“同口反向抛物线”.如果抛物线y=x2的一个“同口反向抛物线”的顶点在直线y=x上,且与抛物线y=x2的顶点距离为,那么它的“同口反向抛物线”的解析式是
.?
13.若抛物线y=x2-2x+3不动,将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1个单位,再沿铅直方向向上平移3个单位,则原抛物线图象的解析式应变为
.?
14.如图,抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C,点D的坐标为(0,1),点P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为
.?
15.已知P(-5,m)和Q(3,m)是二次函数y=2x2+bx+1图象上的两点.
(1)求b的值;
(2)将二次函数y=2x2+bx+1的图象沿y轴向上平移k(k>0)个单位,使平移后的图象与x轴无交点,求k的取值范围.
16.二次函数的解析式为y=ax2+bx+a-5(a,b为常数,a≠0),且2a+b=3.
(1)若该二次函数的图象经过点(-1,4),求该二次函数的解析式;
(2)已知点P(x0,m)和Q(1,n)都在二次函数的图象上.若x0<1,且m>n,求x0的取值范围.(用含a的代数式表示)
拓展探究突破练
17.若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数.
(2)已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=x2+bx+c,其中y1的图象经过点A(1,1).若y1+y2与y1为“同簇二次函数”,求函数y2的解析式,并求当0≤x≤3时,y2的取值范围.22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么下列结论中正确的是
(D)
A.ac>0
B.b>0
C.a+c<0
D.a+b+c=0
2.已知关于x的二次函数y=mx2+x+m(m-2)的图象经过原点,则m的值为
(C)
A.0或2
B.0
C.2
D.无法确定
3.如果抛物线y=-2x2+bx+c的对称轴在y轴的左侧,那么b < 0.(填“<”或“>”)?
4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(0,-5),C(2,3),则这个二次函数的解析式是 y=-x2+6x-5 .?
5.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的x和y满足下表:
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
-1
0
m
…
(1)观察上表可求得m的值为 3 ;?
(2)试求出这个二次函数的解析式;
(3)若点A(n+2,y1),B(n,y2)在该抛物线上,且y1>y2,请直接写出n的取值范围.
解:(2)由表格可得,二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标是(1,-1),∴y=a(x-1)2-1.
又∵当x=0时,y=0,∴a=1,∴这个二次函数的解析式为y=(x-1)2-1.
(3)∵点A(n+2,y1),B(n,y2)在该抛物线上,且y1>y2,∴n>0.(共17张PPT)
第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第二十二章 二次函数
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的互化
1.用配方法将函数y=x2-2x+2写成y=a(x-h)2+k的形式为( )
A.y=(x-1)2+1
B.y=(x-1)2-1
C.y=(x-1)2-3
D.y=(x+1)2-1
2.将二次函数y=x2-4x+5化为y=(x-h)2+k的形式,那么h+k=
__________.?
A
3
知识点2 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
3.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表,则该抛物线的对称轴是直线
( )
A.x=3
B.x=2
C.x=1.5
D.x=1
4.二次函数y=2x2+bx+3的图象的对称轴是直线x=1,则常数b的值为__________.?
B
-4
知识点3 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与a,b,c的关系
5.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则有( )
?
A.a>0,b>0
B.a>0,c>0
C.b>0,c>0
D.a,b,c都小于0
C
6.已知二次函数y=ax2-2x+c的图象如图所示,则点P(a,c)在第__________象限.?
二
7.已知抛物线y=x2-4x+3,当0≤x≤m时,y的最小值为-1,最大值为3,则m的取值范围为( )
A.m≥2
B.0≤m≤2
C.2≤m≤4
D.m≤4
8.已知二次函数y=x2+(m-1)x+2,当x>1时,y随x的增大而增大,则m的取值范围是( )
A.m=1
B.m=2
C.m≤-1
D.m≥-1
C
D
9.已知函数y=ax2-2ax-1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是
( )
A.当a=1时,函数图象经过点(-1,1)
B.当a=-2时,函数图象与x轴没有交点
C.若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而减小
D.若a<0,则当x≤1时,y随x的增大而增大
D
10.在平面直角坐标系xOy中,四条抛物线如图所示,其解析式中的二次项系数一定小于1的是( )
?
A.y1
B.y2
C.y3
D.y4
A
11.在抛物线y=ax2-2ax-3a上有A(-0.5,y1),B(2,y2),C(3,y3)三点.若抛物线与y轴的交点在正半轴上,则y1,y2和y3的大小关系为
( )
A.y1>y2>y3
B.y2>y1>y3
C.y3>y1>y2
D.y2>y3>y1
B
12.(原创)我们把与抛物线y=ax2(a≠0)的开口大小一样且开口方向相反的抛物线,称之为原抛物线的“同口反向抛物线”.如果抛物线y=x2的一个“同口反向抛物线”的顶点在直线y=x上,且与抛物线y=x2的顶点距离为
,那么它的“同口反向抛物线”的解析式是________________________.?
13.若抛物线y=x2-2x+3不动,将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1个单位,再沿铅直方向向上平移3个单位,则原抛物线图象的解析式应变为____________________.?
y=-(x-1)2+1或y=-(x+1)2-1
y=x2-1
14.如图,抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C,点D的坐标为(0,1),点P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为____________________.?
15.已知P(-5,m)和Q(3,m)是二次函数y=2x2+bx+1图象上的两点.
(1)求b的值;
(2)将二次函数y=2x2+bx+1的图象沿y轴向上平移k(k>0)个单位,使平移后的图象与x轴无交点,求k的取值范围.
解:(1)因为点P,Q是二次函数y=2x2+bx+1图象上的两点,所以此抛物线的对称轴是直线x=-1.
因为二次函数的解析式为y=2x2+bx+1,所以有
,所以b=4.
(2)平移后抛物线的解析式为y=2x2+4x+1+k=2(x+1)2+k-1.要使平移后的图象与x轴无交点,则k-1>0,所以k>1.
16.二次函数的解析式为y=ax2+bx+a-5(a,b为常数,a≠0),且2a+b=3.
(1)若该二次函数的图象经过点(-1,4),求该二次函数的解析式;
(2)已知点P(x0,m)和Q(1,n)都在二次函数的图象上.若x0<1,且m>n,求x0的取值范围.(用含a的代数式表示)
17.若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数.
(2)已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=x2+bx+c,其中y1的图象经过点A(1,1).若y1+y2与y1为“同簇二次函数”,求函数y2的解析式,并求当0≤x≤3时,y2的取值范围.
解:(1)符合要求的两个“同簇二次函数”可以为y=2(x-3)2+4与y=3(x-3)2+4.(答案不唯一)
(2)因为y1的图象经过点A(1,1),所以2×12-4×m×1+2m2+1=1,整理得m2-2m+1=0,解得m1=m2=1,
所以y1=2x2-4x+3=2(x-1)2+1,
所以y1+y2=2x2-4x+3+x2+bx+c=3x2+(b-4)x+(c+3).
因为y1+y2与y1为“同簇二次函数”,
所以y1+y2=3(x-1)2+1=3x2-6x+4,即b-4=-6,c+3=4,
解得b=-2,c=1,
所以函数y2的解析式为y2=x2-2x+1=(x-1)2,
所以函数y2的图象的对称轴为x=1.
因为1>0,所以函数y2的图象开口向上,
所以当0≤x≤3时,y2的取值范围为0≤y2≤4.
