第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
知识要点基础练
知识点1 三点式确定二次函数的解析式
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则其函数解析式是( B )
A.y=x2-4x+5
B.y=-x2-4x+5
C.y=x2+4x+5
D.y=-x2+4x+5
2.已知某二次函数的图象过(0,1),(1,0),(-2,0)三点,则这个二次函数的解析式是 y=-x+1 .?
知识点2 顶点式确定二次函数的解析式
3.某抛物线的形状、开口方向与抛物线y=3x2完全相同,顶点坐标是(-2,4),则该抛物线的解析式为( B )
A.y=-3(x+2)2+4
B.y=3(x+2)2+4
C.y=-(2x+1)2+4
D.y=-3(2x-1)2+4
【变式拓展】抛物线的对称轴为直线x=3,y的最大值为-5,且与y=x2的图象开口大小相同,则这条抛物线的解析式为( B )
A.y=-(x+3)2+5
B.y=-(x-3)2-5
C.y=(x+3)2+5
D.y=(x-3)2-5
知识点3 交点式确定二次函数的解析式
4.抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1,且过点(2,8),则它对应的二次函数的解析式为( D )
A.y=2x2-2x-4
B.y=-2x2+2x-4
C.y=x2+x-2
D.y=2x2+2x-4
5.已知抛物线与x轴交点的横坐标分别为3,1,与y轴交点的纵坐标为6,则该二次函数的解析式为 y=2x2-8x+6 .?
综合能力提升练
6.已知某抛物线的顶点坐标为M(-2,1),且经过原点,则该抛物线对应的函数解析式为( B )
A.y=(x-2)2+1
B.y=-(x+2)2+1
C.y=(x+2)2+1
D.y=(x+2)2+1
7.当k取任意实数时,抛物线y=3(x-k-1)2+k2+2的顶点所在的函数图象的解析式( C )
A.y=x2+2
B.y=x2-2x+1
C.y=x2-2x+3
D.y=x2+2x-3
8.如图是某个二次函数的图象,根据图象可知,该二次函数的解析式是( D )
A.y=x2-x-2
B.y=-x2-x+2
C.y=-x2-x+1
D.y=-x2+x+2
9.如果将二次函数y=-6(x-1)2的图象沿x轴对折,得到的函数图象的解析式是 y=6(x-1)2 ;如果沿y轴对折,得到的函数图象的解析式是 y=-6(x+1)2 .?
10.已知抛物线y=4x2+mx-48,当x>-2时,y随x的增大而增大;当x<-2时,y随x的增大而减小.则当x=3时,y= 36 .?
11.如图,抛物线的顶点M在y轴上,抛物线与直线y=x+1相交于A,B两点,且点A在x轴上,点B的横坐标为2,那么抛物线的函数解析式为 y=x2-1 .?
12.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:
x
-1
0
1
3
y
-1
3
5
3
下列结论:①ac<0;②当x>1时,y随x的增大而减小;③当x=2时,y=5;④3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根.
其中正确的结论有 ①③④ .(填写序号)?
13.(原创)已知抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=4x2-2x+5的形状相同,且抛物线y=a(x-h)2+k经过点(0,0),其最大值为16,求此抛物线的解析式.
解:把点(0,0)代入y=a(x-h)2+k,得ah2+k=0.
∵抛物线y=a(x-h)2+k的最大值为16,
∴函数图象的开口向下,即a<0,其顶点的纵坐标k=16.
∵抛物线y=a(x-h)2+k的形状与抛物线y=4x2-2x+5相同,∴a=-4,
把a=-4,k=16代入ah2+k=0中,得h=±2,
∴此抛物线的解析式为y=-4(x-2)2+16或y=-4(x+2)2+16.
14.已知二次函数图象的对称轴是直线x=-3,图象经过点(1,6),且与y轴的交点为.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值y随x的增大而增大?
解:(1)这个二次函数的解析式为y=x2+3x+.
(2)∵y=x2+3x+,
∴a=>0,开口向上,对称轴是直线x=-3,
∴当x>-3时,这个函数的函数值y随x的增大而增大.
15.如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)设(1)中的抛物线交y轴于点C,在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△MAC的周长最小?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)把点A(1,0),B(-3,0)代入y=-x2+bx+c,
得解得
∴该抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.
(2)存在.连接BC交对称轴于点M,则此时△MAC的周长最小.在y=-x2-2x+3中,令x=0,得y=3,∴点C(0,3).
设直线BC的解析式为y=kx+b,
∴解得∴直线BC的解析式为y=x+3.
∵抛物线y=-x2-2x+3的对称轴为直线x=-1,
∴当x=-1时,y=2,∴点M的坐标为(-1,2).
拓展探究突破练
16.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知矩形ABCD的顶点坐标A(-1,0),B(3,0),C(3,-2),抛物线经过A,B两点,且顶点在线段CD上.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)若点E(3,1),将△DCE向上平移直至CD边与AB边重合,在此过程中,线段CD与抛物线的交点为P(x1,y1),Q(x2,y2),线段DE与AB交于点M(x3,y3),求x1+x2+x3的取值范围.
解:(1)由题意可知抛物线的对称轴为直线x==1,顶点为(1,-2).
设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-2,把A(-1,0)代入得4a-2=0,∴a=,
∴这条抛物线的解析式为y=(x-1)2-2.
(2)易知D(-1,-2),E(3,1),可求得直线DE的解析式为y=x-.
令y=0,则0=x-,解得x=,∴x3=;
至CD边与AB边重合时,线段DE与AB交于A(-1,0),
∴x3=-1,∴-1≤x3≤.
∵对称轴为直线x=1,∴x1+x2=2,
∴x1+x2+x3的取值范围是-1+2≤x1+x2+x3≤2+,即1≤x1+x2+x3≤.第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
知识要点基础练
知识点1 三点式确定二次函数的解析式
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则其函数解析式是( )
A.y=x2-4x+5
B.y=-x2-4x+5
C.y=x2+4x+5
D.y=-x2+4x+5
2.已知某二次函数的图象过(0,1),(1,0),(-2,0)三点,则这个二次函数的解析式是
.?
知识点2 顶点式确定二次函数的解析式
3.某抛物线的形状、开口方向与抛物线y=3x2完全相同,顶点坐标是(-2,4),则该抛物线的解析式为( )
A.y=-3(x+2)2+4
B.y=3(x+2)2+4
C.y=-(2x+1)2+4
D.y=-3(2x-1)2+4
【变式拓展】抛物线的对称轴为直线x=3,y的最大值为-5,且与y=x2的图象开口大小相同,则这条抛物线的解析式为( )
A.y=-(x+3)2+5
B.y=-(x-3)2-5
C.y=(x+3)2+5
D.y=(x-3)2-5
知识点3 交点式确定二次函数的解析式
4.抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1,且过点(2,8),则它对应的二次函数的解析式为( )
A.y=2x2-2x-4
B.y=-2x2+2x-4
C.y=x2+x-2
D.y=2x2+2x-4
5.已知抛物线与x轴交点的横坐标分别为3,1,与y轴交点的纵坐标为6,则该二次函数的解析式为
.?
综合能力提升练
6.已知某抛物线的顶点坐标为M(-2,1),且经过原点,则该抛物线对应的函数解析式为( )
A.y=(x-2)2+1
B.y=-(x+2)2+1
C.y=(x+2)2+1
D.y=(x+2)2+1
7.当k取任意实数时,抛物线y=3(x-k-1)2+k2+2的顶点所在的函数图象的解析式( )
A.y=x2+2
B.y=x2-2x+1
C.y=x2-2x+3
D.y=x2+2x-3
8.如图是某个二次函数的图象,根据图象可知,该二次函数的解析式是( )
A.y=x2-x-2
B.y=-x2-x+2
C.y=-x2-x+1
D.y=-x2+x+2
9.如果将二次函数y=-6(x-1)2的图象沿x轴对折,得到的函数图象的解析式是
;如果沿y轴对折,得到的函数图象的解析式是
.?
10.已知抛物线y=4x2+mx-48,当x>-2时,y随x的增大而增大;当x<-2时,y随x的增大而减小.则当x=3时,y=
.?
11.如图,抛物线的顶点M在y轴上,抛物线与直线y=x+1相交于A,B两点,且点A在x轴上,点B的横坐标为2,那么抛物线的函数解析式为
.?
12.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:
x
-1
0
1
3
y
-1
3
5
3
下列结论:①ac<0;②当x>1时,y随x的增大而减小;③当x=2时,y=5;④3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根.
其中正确的结论有
.(填写序号)?
13.(原创)已知抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=4x2-2x+5的形状相同,且抛物线y=a(x-h)2+k经过点(0,0),其最大值为16,求此抛物线的解析式.
14.已知二次函数图象的对称轴是直线x=-3,图象经过点(1,6),且与y轴的交点为.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值y随x的增大而增大?
15.如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)设(1)中的抛物线交y轴于点C,在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△MAC的周长最小?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
拓展探究突破练
16.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知矩形ABCD的顶点坐标A(-1,0),B(3,0),C(3,-2),抛物线经过A,B两点,且顶点在线段CD上.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)若点E(3,1),将△DCE向上平移直至CD边与AB边重合,在此过程中,线段CD与抛物线的交点为P(x1,y1),Q(x2,y2),线段DE与AB交于点M(x3,y3),求x1+x2+x3的取值范围.第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
1.已知二次函数y=ax2-1的图象经过点(1,-2),那么a的值为
(D)
A.-2
B.2
C.1
D.-1
2.已知二次函数y=ax2+4x+c,当x=-2时,函数值y=-1;当x=1时,函数值y=5,则此二次函数的解析式为
(A)
A.y=2x2+4x-1
B.y=x2+4x-2
C.y=-2x2+4x+1
D.y=2x2+4x+1
3.二次函数的图象经过点(4,-3),且当x=3时,有最大值-1,则该二次函数解析式为 y=-2(x-3)2-1 .?
4.已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(-2,0),C(0,-3),则该抛物线的解析式为 y=x2-x-3 .?
5.已知抛物线与x轴的交点是A(-3,0),B(1,0),经过点C(0,-3).
(1)求该抛物线的函数解析式;
(2)设该抛物线的顶点为M,求△ABM的面积.
解:(1)设该抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1),把点C(0,-3)代入,得a·3·(-1)=-3,解得a=1,
∴该抛物线的函数解析式为y=(x+3)(x-1),即y=x2+2x-3.
(2)∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4,∴M(-1,-4),∴S△ABM=×(1+3)×4=8.(共16张PPT)
第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
第二十二章 二次函数
知识点1 三点式确定二次函数的解析式
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则其函数解析式是( )
?
A.y=x2-4x+5
B.y=-x2-4x+5
C.y=x2+4x+5
D.y=-x2+4x+5
2.已知某二次函数的图象过(0,1),(1,0),(-2,0)三点,则这个二次函数的解析式是____________________ .?
B
知识点2 顶点式确定二次函数的解析式
3.某抛物线的形状、开口方向与抛物线y=3x2完全相同,顶点坐标是(-2,4),则该抛物线的解析式为( )
A.y=-3(x+2)2+4
B.y=3(x+2)2+4
C.y=-(2x+1)2+4
D.y=-3(2x-1)2+4
B
B
知识点3 交点式确定二次函数的解析式
4.抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1,且过点(2,8),则它对应的二次函数的解析式为( )
A.y=2x2-2x-4
B.y=-2x2+2x-4
C.y=x2+x-2
D.y=2x2+2x-4
5.已知抛物线与x轴交点的横坐标分别为3,1,与y轴交点的纵坐标为6,则该二次函数的解析式为____________________.?
D
y=2x2-8x+6
6.已知某抛物线的顶点坐标为M(-2,1),且经过原点,则该抛物线对应的函数解析式为( )
7.当k取任意实数时,抛物线y=3(x-k-1)2+k2+2的顶点所在的函数图象的解析式是( )
A.y=x2+2
B.y=x2-2x+1
C.y=x2-2x+3
D.y=x2+2x-3
B
C
8.如图是某个二次函数的图象,根据图象可知,该二次函数的解析式是( )
D
9.如果将二次函数y=-6(x-1)2的图象沿x轴对折,得到的函数图象的解析式是__________;如果沿y轴对折,得到的函数图象的解析式是__________.?
10.已知抛物线y=4x2+mx-48,当x>-2时,y随x的增大而增大;当x<-2时,y随x的增大而减小.则当x=3时,y=__________.?
y=6(x-1)2
y=-6(x+1)2
36
11.如图,抛物线的顶点M在y轴上,抛物线与直线y=x+1相交于A,B两点,且点A在x轴上,点B的横坐标为2,那么抛物线的函数解析式为__________.?
y=x2-1
12.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:
下列结论:①ac<0;②当x>1时,y随x的增大而减小;③当x=2时,
y=5;④3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根.
其中正确的结论有__________.(填写序号)?
①③④
13.(原创)已知抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=4x2-2x+5的形状相同,且抛物线y=a(x-h)2+k经过点(0,0),其最大值为16,求此抛物线的解析式.
解:把点(0,0)代入y=a(x-h)2+k,得ah2+k=0.
∵抛物线y=a(x-h)2+k的最大值为16,
∴函数图象的开口向下,即a<0,其顶点的纵坐标k=16.
∵抛物线y=a(x-h)2+k的形状与抛物线y=4x2-2x+5相同,
∴a=-4,
把a=-4,k=16代入ah2+k=0中,得h=±2,
∴此抛物线的解析式为y=-4(x-2)2+16或y=-4(x+2)2+16.
14.已知二次函数图象的对称轴是直线x=-3,图象经过点(1,6),且与y轴的交点为
.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值y随x的增大而增大?
15.如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)设(1)中的抛物线交y轴于点C,在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△MAC的周长最小?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
16.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知矩形ABCD的顶点坐标A(-1,0),B(3,0),C(3,-2),抛物线经过A,B两点,且顶点在线段CD上.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)若点E(3,1),将△DCE向上平移直至CD边与AB边重合,在此过程中,线段CD与抛物线的交点为P(x1,y1),Q(x2,y2),线段DE与AB交于点M(x3,y3),求x1+x2+x3的取值范围.
