22.2 二次函数与一元二次方程
知识要点基础练
知识点1 二次函数与一元二次方程的关系
1.若抛物线y=x2+bx+c的顶点在第一象限,则方程x2+bx+c=0的根的情况是( C )
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.无法判断
2.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点分别为(-1,0),(-5,0),那么一元二次方程ax2+bx+c=0的解为 x1=-1,x2=-5 .?
知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似值
3.如图,点A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54)在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上,则方程ax2+bx+c=0的一个近似值可能是( D )
A.2.18
B.2.68
C.-0.51
D.2.45
4.由下表的对应值知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)的一个根的十分位上的数字是 1 .?
x
1.1
1.2
1.3
1.4
ax2+bx+c
-0.59
0.84
2.29
3.76
知识点3 利用二次函数的图象解不等式
5.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示.当y>0时,x的取值范围是( D )
A.-1B.x>2
C.x<-1
D.x<-1或x>2
6.(改编)下表列出了函数y=ax2+bx+c(a≠0)中自变量x与函数y的部分对应值.根据表中数据,判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解在哪两个相邻的整数之间( D )
x
-2
-1
0
1
2
y
1
2
1
-2
-7
A.1与2之间
B.-2与-1之间
C.-1与0之间
D.0与1之间
综合能力提升练
7.若抛物线y=x2-2x+m与x轴有两个交点,则m的取值范围为( C )
A.m>1
B.m=1
C.m<1
D.m<4
8.若关于x的一元二次方程x2-x-n=0没有实数根,则抛物线y=x2-x-n的顶点在( A )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
9.已知二次函数y=(x+m)2+n的图象与x轴的交点的横坐标分别为-1和3,则y=(x+m-2)2+n的图象与x轴的交点的横坐标分别为( A )
A.1和5
B.-3和1
C.-3和5
D.3和5
10.将抛物线y=(x-2)2+3向下平移k个单位后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点,则k的值为( D )
A.-2
B.2
C.-3
D.3
11.若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线,则关于x的方程x2+bx=5的解( D )
A.x1=0,x2=4
B.x1=1,x2=5
C.x1=1,x2=-5
D.x1=-1,x2=5
12.下列关于二次函数y=ax2-2ax+1(a>1)的图象与x轴交点的判断,正确的是( D )
A.没有交点
B.只有一个交点,且它位于y轴左侧
C.有两个交点,且它们均位于y轴左侧
D.有两个交点,且它们均位于y轴右侧
13.在平面直角坐标系中,某二次函数图象的顶点为(-2,1),此函数图象与x轴交于P,Q两点,且PQ=6.若此函数图象经过(-3,a),(-1,b),(3,c),(1,d)四点,则实数a,b,c,d中为负数的( C )
A.a
B.b
C.c
D.d
14.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1,点P,Q是抛物线与x轴的两个交点.若点P的坐标为(-1,0),则点Q的坐标为 (3,0) .?
15.(改编)已知抛物线y=x2-3x-2019与x轴的一个交点为(a,0),则代数式a2-3a-2020的值为 -1 .?
16.已知二次函数y=x2+3x+m的图象与x轴交于点A(-4,0).
(1)求m的值;
(2)求该函数图象与坐标轴其余交点的坐标.
解:(1)m=-4.
(2)当x=0时,y=-4,∴函数图象与y轴的交点为(0,-4).
令y=0,得x2+3x-4=0,解得x1=1,x2=-4,
∴函数图象与x轴的另一个交点为(1,0).
17.设二次函数y=ax2+bx-b-a(a,b是常数,a≠0).
(1)判断该二次函数的图象与x轴的交点的个数,并说明理由;
(2)若该二次函数图象的对称轴是直线x=-1,求这个函数图象与x轴交点的坐标.
解:(1)令y=0,即0=ax2+bx-b-a,
∵Δ=b2-4a[-(a+b)]=b2+4ab+4a2=(2a+b)2≥0,
∴方程有两个不相等的实数根或两个相等的实数根,
∴二次函数的图象与x轴的交点的个数为一或二.
(2)∵该二次函数图象的对称轴是直线x=-1,
∴-=-1,∴b=2a,∴二次函数为y=ax2+2ax-3a.
令y=0,得ax2+2ax-3a=0(a≠0),解得x1=-3,x2=1,
∴这个函数图象与x轴交点的坐标为(-3,0),(1,0).
拓展探究突破练
18.在如图所示的平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2+bx+c经过A,C两点,与x轴的另一个交点为B,其对称轴是x=-.
(1)求抛物线的解析式.
(2)抛物线上是否存在点M(点M不与点C重合),使△MAB与△ABC的面积相等?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)易得A(-4,0),C(0,2),且抛物线的对称轴是x=-,所以解得a=-,b=-,c=2,
所以抛物线的解析式是y=-x2-x+2.
(2)存在.理由:设△ABM的边AB上的高为h,
因为点C的坐标为(0,2),所以OC=2.
因为△MAB与△ABC的面积相等,
所以×AB×h=×AB×2,所以h=2.
当点M在x轴的上方时,把y=2代入y=-x2-x+2,得x=0或-3,因为点M和点C不重合,点C的坐标为(0,2),所以点M的坐标为(-3,2);
当点M在x轴的下方时,把y=-2代入y=-x2-x+2,解得x=,此时点M的坐标为,-2或.
综上,抛物线上存在点M(点M不与点C重合),点M的坐标是(-3,2)或.22.2 二次函数与一元二次方程
知识要点基础练
知识点1 二次函数与一元二次方程的关系
1.若抛物线y=x2+bx+c的顶点在第一象限,则方程x2+bx+c=0的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.无法判断
2.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点分别为(-1,0),(-5,0),那么一元二次方程ax2+bx+c=0的解为
.?
知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似值
3.如图,点A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54)在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上,则方程ax2+bx+c=0的一个近似值可能是( )
A.2.18
B.2.68
C.-0.51
D.2.45
4.由下表的对应值知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)的一个根的十分位上的数字是 .?
x
1.1
1.2
1.3
1.4
ax2+bx+c
-0.59
0.84
2.29
3.76
知识点3 利用二次函数的图象解不等式
5.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示.当y>0时,x的取值范围是( )
A.-1B.x>2
C.x<-1
D.x<-1或x>2
6.(改编)下表列出了函数y=ax2+bx+c(a≠0)中自变量x与函数y的部分对应值.根据表中数据,判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解在哪两个相邻的整数之间( )
x
-2
-1
0
1
2
y
1
2
1
-2
-7
A.1与2之间
B.-2与-1之间
C.-1与0之间
D.0与1之间
综合能力提升练
7.若抛物线y=x2-2x+m与x轴有两个交点,则m的取值范围为( )
A.m>1
B.m=1
C.m<1
D.m<4
8.若关于x的一元二次方程x2-x-n=0没有实数根,则抛物线y=x2-x-n的顶点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
9.已知二次函数y=(x+m)2+n的图象与x轴的交点的横坐标分别为-1和3,则y=(x+m-2)2+n的图象与x轴的交点的横坐标分别为( )
A.1和5
B.-3和1
C.-3和5
D.3和5
10.将抛物线y=(x-2)2+3向下平移k个单位后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点,则k的值为( )
A.-2
B.2
C.-3
D.3
11.若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线,则关于x的方程x2+bx=5的解( )
A.x1=0,x2=4
B.x1=1,x2=5
C.x1=1,x2=-5
D.x1=-1,x2=5
12.下列关于二次函数y=ax2-2ax+1(a>1)的图象与x轴交点的判断,正确的是( )
A.没有交点
B.只有一个交点,且它位于y轴左侧
C.有两个交点,且它们均位于y轴左侧
D.有两个交点,且它们均位于y轴右侧
13.在平面直角坐标系中,某二次函数图象的顶点为(-2,1),此函数图象与x轴交于P,Q两点,且PQ=6.若此函数图象经过(-3,a),(-1,b),(3,c),(1,d)四点,则实数a,b,c,d中为负数的( )
A.a
B.b
C.c
D.d
14.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1,点P,Q是抛物线与x轴的两个交点.若点P的坐标为(-1,0),则点Q的坐标为
.?
15.(改编)已知抛物线y=x2-3x-2019与x轴的一个交点为(a,0),则代数式a2-3a-2020的值为
.?
16.已知二次函数y=x2+3x+m的图象与x轴交于点A(-4,0).
(1)求m的值;
(2)求该函数图象与坐标轴其余交点的坐标.
17.设二次函数y=ax2+bx-b-a(a,b是常数,a≠0).
(1)判断该二次函数的图象与x轴的交点的个数,并说明理由;
(2)若该二次函数图象的对称轴是直线x=-1,求这个函数图象与x轴交点的坐标.
拓展探究突破练
18.在如图所示的平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2+bx+c经过A,C两点,与x轴的另一个交点为B,其对称轴是x=-.
(1)求抛物线的解析式.
(2)抛物线上是否存在点M(点M不与点C重合),使△MAB与△ABC的面积相等?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.22.2 二次函数与一元二次方程
1.二次函数y=x2-2x+1与x轴交点的情况是
(B)
A.没有交点
B.有一个交点
C.有两个交点
D.有三个交点
2.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是
(D)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个同号的实数根
D.没有实数根
3.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交点的坐标分别为(-1,0),(3,0),则一元二次方程x2+bx+c=0的根为 -1或3 .?
4.已知二次函数y=x2+bx+c的图象的对称轴为x=1,与x轴的其中一个交点为(3,0),则关于x的方程x2+bx+c=0的解为x1=3,x2= -1 .?
5.已知抛物线y=x2-2(m+1)x+2(m-1).
(1)求证:不论m取何值,抛物线必与x轴相交于两点;
(2)若抛物线与x轴的一个交点为(3,0),试求m的值及另一个交点的坐标.
解:(1)∵Δ=4(m+1)2-8(m-1)=4m2+12>0,
∴不论m取何值,抛物线必与x轴相交于两点.
(2)把(3,0)代入y=x2-2(m+1)x+2(m-1),得9-6(m+1)+2(m-1)=0,解得m=,
∴抛物线的解析式为y=x2-x-.
当y=0时,x2-x-=0,解得x1=3,x2=-,
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(-,0).(共17张PPT)
22.2 二次函数与一元二次方程
第二十二章 二次函数
知识点1 二次函数与一元二次方程的关系
1.若抛物线y=x2+bx+c的顶点在第一象限,则方程x2+bx+c=0的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.无法判断
2.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点分别为(-1,0),(-5,0),那么一元二次方程ax2+bx+c=0的解为__________________.
C
x1=-1,x2=-5
知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似值
3.如图,点A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54)在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上,则方程ax2+bx+c=0的一个近似值可能是( )
?
A.2.18
B.2.68
C.-0.51
D.2.45
D
4.由下表的对应值知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,
a≠0)的一个根的十分位上的数字是__________.?
1
知识点3 利用二次函数的图象解不等式
5.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示.当y>0时,x的取值范围是( )
?
A.-1B.x>2
C.x<-1
D.x<-1或x>2
D
6.(改编)下表列出了函数y=ax2+bx+c(a≠0)中自变量x与函数y的部分对应值.根据表中数据,判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解在哪两个相邻的整数之间( )
A.1与2之间
B.-2与-1之间
C.-1与0之间
D.0与1之间
D
7.若抛物线y=x2-2x+m与x轴有两个交点,则m的取值范围为
( )
A.m>1
B.m=1
C.m<1
D.m<4
8.若关于x的一元二次方程x2-x-n=0没有实数根,则抛物线y=x2-x-n的顶点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
A
9.已知二次函数y=(x+m)2+n的图象与x轴的交点的横坐标分别为-1和3,则y=(x+m-2)2+n的图象与x轴的交点的横坐标分别为( )
A.1和5
B.-3和1
C.-3和5
D.3和5
10.将抛物线y=(x-2)2+3向下平移k个单位后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点,则k的值为( )
A.-2
B.2
C.-3
D.3
A
D
11.若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线,则关于x的方程x2+bx=5的解是( )
A.x1=0,x2=4
B.x1=1,x2=5
C.x1=1,x2=-5
D.x1=-1,x2=5
12.下列关于二次函数y=ax2-2ax+1(a>1)的图象与x轴交点的判断,正确的是( )
A.没有交点
B.只有一个交点,且它位于y轴左侧
C.有两个交点,且它们均位于y轴左侧
D.有两个交点,且它们均位于y轴右侧
D
D
13.在平面直角坐标系中,某二次函数图象的顶点为(-2,1),此函数图象与x轴交于P,Q两点,且PQ=6.若此函数图象经过(-3,a),
(-1,b),(3,c),(1,d)四点,则实数a,b,c,d中为负数的是( )
A.a
B.b
C.c
D.d
C
14.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1,点P,Q是抛物线与x轴的两个交点.若点P的坐标为(-1,0),则点Q的坐标为__________.?
15.(改编)已知抛物线y=x2-3x-2019与x轴的一个交点为(a,0),则代数式a2-3a-2020的值为__________.?
(3,0)
-1
16.已知二次函数y=x2+3x+m的图象与x轴交于点A(-4,0).
(1)求m的值;
(2)求该函数图象与坐标轴其余交点的坐标.
解:(1)m=-4.
(2)当x=0时,y=-4,∴函数图象与y轴的交点为(0,-4).
令y=0,得x2+3x-4=0,解得x1=1,x2=-4,
∴函数图象与x轴的另一个交点为(1,0).
17.设二次函数y=ax2+bx-b-a(a,b是常数,a≠0).
(1)判断该二次函数的图象与x轴的交点的个数,并说明理由;
(2)若该二次函数图象的对称轴是直线x=-1,求这个函数图象与x轴交点的坐标.
解:(1)令y=0,即0=ax2+bx-b-a,
∵Δ=b2-4a[-(a+b)]=b2+4ab+4a2=(2a+b)2≥0,
∴方程有两个不相等的实数根或两个相等的实数根,
∴二次函数的图象与x轴的交点的个数为一或二.
(2)∵该二次函数图象的对称轴是直线x=-1,
∴二次函数为y=ax2+2ax-3a.
令y=0,得ax2+2ax-3a=0(a≠0),解得x1=-3,x2=1,
∴这个函数图象与x轴交点的坐标为(-3,0),(1,0).
18.在如图所示的平面直角坐标系中,直线
与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2+bx+c经过A,C两点,与x轴的另一个交点为B,其对称轴是
.
(1)求抛物线的解析式.
(2)抛物线上是否存在点M(点M不与点C重合),使△MAB与△ABC的面积相等?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
