第1课时 几何图形的面积问题
知识要点基础练
知识点1 利用二次函数求几何图形面积的最值
1.如图,小明想用长为12米的栅栏(虚线部分),借助围墙围成一个矩形花园ABCD,则矩形ABCD的最大面积是( B )
A.16平方米
B.18平方米
C.20平方米
D.24平方米
2.已知一个直角三角形的两直角边之和为20
cm2,则这个直角三角形的最大面积为( B )
A.25
cm2
B.50
cm2
C.100
cm2
D.不确定
3.如图,用总长度为12米的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架,所有横档和竖档分别与AD,AB平行,则矩形框架ABCD的最大面积为 4 平方米.?
知识点2 利用二次函数求动点图形面积的最值
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10
cm,BC=8
cm,点P从点A沿AC向点C以1
cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2
cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止).在运动过程中,四边形PABQ面积的最小值为( C )
A.19
cm2
B.16
cm2
C.15
cm2
D.12
cm2
5.如图,在等腰直角△ABC中,∠C=90°,AB=10,F是AB的中点,点D,E分别在AC,BC边上运动,且始终保持DF⊥EF,求△CDE面积的最大值.
解:连接CF.
在等腰直角△ABC中,∵∠C=90°,AB=10,F是AB的中点,∴CF=AF,∠A=∠FCE,AC=BC=10×=5,
易得∠AFD=∠CFE,∴△ADF≌△CEF(ASA).
设AD=x(0综合能力提升练
6.某种商品每件进价为18元,调查表明:在某段时间内,若以每件x元(18≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,则每件商品的售价应为( D )
A.18元
B.20元
C.22元
D.24元
7.在综合实践活动中,同学们借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用24
m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD,则矩形花园ABCD的最大面积为 144 m2.?
8.如图,有一块边长为a的正三角形纸板,在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形,再沿图中虚线折起,做成一个无盖的直三棱柱纸盒.若该纸盒侧面积的最大值是
cm2,则a的值为 3 cm.?
【变式拓展】一种包装盒的设计方法如图所示,ABCD是边长为80
cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四点重合于图中的点O,形成一个底面为正方形的长方体包装盒.设BE=CF=x
cm,要使包装盒的侧面积最大,则x应取( C )
A.30
B.25
C.20
D.15
9.如图,B船位于A船正东25
km处,现在A,B两船同时出发,A船以6
km/h的速度朝正北方向行驶,B船以8
km/h的速度朝正西方向行驶,则两船相距最近是 15 km.?
10.如图所示,在矩形ABCD中,AB=6
cm,BC=12
cm,点P从点A出发,沿AB边向点B以1
cm/s的速度移动,同时点Q从点B出发,沿BC边向点C以2
cm/s的速度移动.如果P,Q两点在分别到达B,C两点后就停止移动,回答下列问题:
(1)运动开始后第多少秒时,△PBQ的面积等于8
cm2?
(2)设运动开始后第t
s时,五边形PQCDA的面积为S
cm2,写出S与t的函数关系式,并指出自变量t的取值范围.
(3)在(2)的条件下,当t为何值时S最小?求出S的最小值.
解:(1)设运动开始后第x
s时,△PBQ的面积等于8
cm2,
∴AP=x,QB=2x,∴PB=6-x,
∴×(6-x)×2x=8,解得x1=2,x2=4,
∴运动开始后第2
s或第4
s时,△PBQ的面积等于8
cm2.
(2)第t
s时,AP=t
cm,PB=(6-t)
cm,BQ=2t
cm,
∴S△PBQ=·(6-t)·2t=-t2+6t.
∵S矩形ABCD=6×12=72,
∴S=72-S△PBQ=t2-6t+72(0≤t≤6).
(3)∵S=t2-6t+72=(t-3)2+63,
∴当t=3
s时,S有最小值63
cm2.
11.手工课上,小明准备做一个形状是菱形的风筝,这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60
cm,菱形的面积S(单位:cm2)随其中一条对角线的长x(单位:cm)的变化而变化.
(1)请直接写出S与x之间的函数关系式;
(2)当x是多少时,菱形风筝的面积S最大?最大面积是多少?
(3)请说明(2)中的函数S随x的变化情况.
解:(1)S=x(60-x)=-x2+30x.
(2)由(1)得S=-x2+30x=-(x-30)2+450,故当x是30
cm时,菱形风筝的面积S最大,最大面积是450
cm2.
(3)当0拓展探究突破练
12.工人师傅用一块长为10
dm、宽为6
dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个小正方形.(厚度不计)
(1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕,并求长方体底面积为12
dm2时,裁掉的正方形边长为多少?
(2)要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理(内、外两面都要处理).若侧面每平方分米的费用为0.25元,底面每平方分米的费用为2元,则裁掉的正方形边长为多少时,防锈处理的总费用最低?最低总费用为多少?
解:(1)如图所示,设裁掉的正方形的边长为x
dm,
由题意可得(10-2x)(6-2x)=12,
即x2-8x+12=0,
解得x=2或x=6(舍去),
答:裁掉的正方形的边长为2
dm.
(2)因为长不大于宽的五倍,所以10-2x≤5(6-2x),解得0设总费用为w元,由题意可知w=0.25×4x(16-4x)+2(10-2x)(6-2x)=4x2-48x+120=4(x-6)2-24,
因为对称轴为x=6,开口向上,所以当0答:当裁掉边长为2.5
dm的正方形时,防锈处理的总费用最低,最低总费用为25元.第1课时 几何图形的面积问题
知识要点基础练
知识点1 利用二次函数求几何图形面积的最值
1.如图,小明想用长为12米的栅栏(虚线部分),借助围墙围成一个矩形花园ABCD,则矩形ABCD的最大面积是( )
A.16平方米
B.18平方米
C.20平方米
D.24平方米
2.已知一个直角三角形的两直角边之和为20
cm2,则这个直角三角形的最大面积为( )
A.25
cm2
B.50
cm2
C.100
cm2
D.不确定
3.如图,用总长度为12米的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架,所有横档和竖档分别与AD,AB平行,则矩形框架ABCD的最大面积为 平方米.?
知识点2 利用二次函数求动点图形面积的最值
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10
cm,BC=8
cm,点P从点A沿AC向点C以1
cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2
cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止).在运动过程中,四边形PABQ面积的最小值为( )
A.19
cm2
B.16
cm2
C.15
cm2
D.12
cm2
5.如图,在等腰直角△ABC中,∠C=90°,AB=10,F是AB的中点,点D,E分别在AC,BC边上运动,且始终保持DF⊥EF,求△CDE面积的最大值.
综合能力提升练
6.某种商品每件进价为18元,调查表明:在某段时间内,若以每件x元(18≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,则每件商品的售价应为( )
A.18元
B.20元
C.22元
D.24元
7.在综合实践活动中,同学们借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用24
m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD,则矩形花园ABCD的最大面积为 m2.?
8.如图,有一块边长为a的正三角形纸板,在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形,再沿图中虚线折起,做成一个无盖的直三棱柱纸盒.若该纸盒侧面积的最大值是
cm2,则a的值为 cm.?
【变式拓展】一种包装盒的设计方法如图所示,ABCD是边长为80
cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四点重合于图中的点O,形成一个底面为正方形的长方体包装盒.设BE=CF=x
cm,要使包装盒的侧面积最大,则x应取( )
A.30
B.25
C.20
D.15
9.如图,B船位于A船正东25
km处,现在A,B两船同时出发,A船以6
km/h的速度朝正北方向行驶,B船以8
km/h的速度朝正西方向行驶,则两船相距最近是 km.?
10.如图所示,在矩形ABCD中,AB=6
cm,BC=12
cm,点P从点A出发,沿AB边向点B以1
cm/s的速度移动,同时点Q从点B出发,沿BC边向点C以2
cm/s的速度移动.如果P,Q两点在分别到达B,C两点后就停止移动,回答下列问题:
(1)运动开始后第多少秒时,△PBQ的面积等于8
cm2?
(2)设运动开始后第t
s时,五边形PQCDA的面积为S
cm2,写出S与t的函数关系式,并指出自变量t的取值范围.
(3)在(2)的条件下,当t为何值时S最小?求出S的最小值.
11.手工课上,小明准备做一个形状是菱形的风筝,这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60
cm,菱形的面积S(单位:cm2)随其中一条对角线的长x(单位:cm)的变化而变化.
(1)请直接写出S与x之间的函数关系式;
(2)当x是多少时,菱形风筝的面积S最大?最大面积是多少?
(3)请说明(2)中的函数S随x的变化情况.
拓展探究突破练
12.工人师傅用一块长为10
dm、宽为6
dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个小正方形.(厚度不计)
(1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕,并求长方体底面积为12
dm2时,裁掉的正方形边长为多少?
(2)要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理(内、外两面都要处理).若侧面每平方分米的费用为0.25元,底面每平方分米的费用为2元,则裁掉的正方形边长为多少时,防锈处理的总费用最低?最低总费用为多少?22.3 实际问题与二次函数
第1课时 几何图形的面积问题
1.如图,假设篱笆(虚线部分)的长度为16
m,则所围成矩形ABCD的最大面积是
(C)
A.60
m2
B.63
m2
C.64
m2
D.66
m2
2.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28
m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=x
m.若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15
m和6
m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),则花园面积S的最大值为
(C)
A.193
m2
B.194
m2
C.195
m2
D.196
m2
3.用8
m长的绳子围成矩形的最大面积为 4 m2.?
4.把一根长30
cm的铁丝分为两部分,每一部分均弯曲成一个等边三角形,它们的面积和的最小值是? cm2.?
5.将一条长为56
cm的铁丝剪成两段,并把每一段铁丝做成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于100
cm2,该怎么剪?
(2)设这两个正方形的面积之和为S
cm2,当两段铁丝长度分别为何值时,S有最小值?
解:(1)设其中一个正方形的边长为x
cm,则另一个正方形的边长为(14-x)
cm,
依题意,得x2+(14-x)2=100,解得x1=6,x2=8,
6×4=24(cm),56-24=32(cm),
∴这段铁丝剪成两段后的长度分别是24
cm,32
cm.
(2)设其中一个正方形的边长为x
cm,则另一个正方形的边长为(14-x)
cm.
依题意,得S=x2+(14-x)2=2x2-28x+196,
当x=-==7时,S有最小值,∴14-7=7,
∴当两段铁丝的长度都为28
cm时,S有最小值.(共19张PPT)
22.3 实际问题与二次函数
第二十二章 二次函数
第1课时 几何图形的面积问题
第二十二章 二次函数
知识点1 利用二次函数求几何图形面积的最值
1.如图,小明想用长为12米的栅栏(虚线部分),借助围墙围成一个矩形花园ABCD,则矩形ABCD的最大面积是( )
?
A.16平方米
B.18平方米
C.20平方米
D.24平方米
2.已知一个直角三角形的两直角边之和为20
cm2,则这个直角三角形的最大面积为( )
A.25
cm2
B.50
cm2
C.100
cm2
D.不确定
B
B
3.如图,用总长度为12米的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架,所有横档和竖档分别与AD,AB平行,则矩形框架ABCD的最大面积为__________平方米.?
4
知识点2 利用二次函数求动点图形面积的最值
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10
cm,BC=8
cm,点P从点A沿AC向点C以1
cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2
cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止).在运动过程中,四边形PABQ面积的最小值为( )
?
A.19
cm2
B.16
cm2
C.15
cm2
D.12
cm2
C
5.如图,在等腰直角△ABC中,∠C=90°,AB=10,F是AB的中点,点D,E分别在AC,BC边上运动,且始终保持DF⊥EF,求△CDE面积的最大值.
6.某种商品每件进价为18元,调查表明:在某段时间内,若以每件x元(18≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,则每件商品的售价应为( )
A.18元
B.20元
C.22元
D.24元
D
7.在综合实践活动中,同学们借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用24
m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD,则矩形花园ABCD的最大面积为__________m2.?
144
8.如图,有一块边长为a的正三角形纸板,在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形,再沿图中虚线折起,做成一个无盖的直三棱柱纸盒.若该纸盒侧面积的最大值是
,则a的值为__________cm.?
3
【变式拓展】一种包装盒的设计方法如图所示,ABCD是边长为80
cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四点重合于图中的点O,形成一个底面为正方形的长方体包装盒.设BE=CF=x
cm,要使包装盒的侧面积最大,则x应取(
)
?
A.30
B.25
C.20
D.15
C
9.如图,B船位于A船正东25
km处,现在A,B两船同时出发,A船以6
km/h的速度朝正北方向行驶,B船以8
km/h的速度朝正西方向行驶,则两船相距最近是__________km.?
15
10.如图所示,在矩形ABCD中,AB=6
cm,BC=12
cm,点P从点A出发,沿AB边向点B以1
cm/s的速度移动,同时点Q从点B出发,沿BC边向点C以2
cm/s的速度移动.如果P,Q两点在分别到达B,C两点后就停止移动,回答下列问题:
?
(1)运动开始后第多少秒时,△PBQ的面积等于8
cm2?
(2)设运动开始后第t
s时,五边形PQCDA的面积为S
cm2,写出S与t的函数关系式,并指出自变量t的取值范围.
(3)在(2)的条件下,当t为何值时S最小?求出S的最小值.
解:(1)设运动开始后第x
s时,△PBQ的面积等于8
cm2,
∴AP=x,QB=2x,∴PB=6-x,
∴
×(6-x)×2x=8,解得x1=2,x2=4,
∴运动开始后第2
s或第4
s时,△PBQ的面积等于8
cm2.
(2)第t
s时,AP=t
cm,PB=(6-t)
cm,BQ=2t
cm,
∴S△PBQ=
·(6-t)·2t=-t2+6t.
∵S矩形ABCD=6×12=72,
∴S=72-S△PBQ=t2-6t+72(0≤t≤6).
(3)∵S=t2-6t+72=(t-3)2+63,
∴当t=3
s时,S有最小值63
cm2.
11.手工课上,小明准备做一个形状是菱形的风筝,这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60
cm,菱形的面积S(单位:cm2)随其中一条对角线的长x(单位:cm)的变化而变化.
(1)请直接写出S与x之间的函数关系式;
(2)当x是多少时,菱形风筝的面积S最大?最大面积是多少?
(3)请说明(2)中的函数S随x的变化情况.
故当x是30
cm时,菱形风筝的面积S最大,最大面积是450
cm2.
(3)当012.工人师傅用一块长为10
dm、宽为6
dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个小正方形.(厚度不计)
(1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕,并求长方体底面积为12
dm2时,裁掉的正方形边长为多少??
(2)要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理(内、外两面都要处理).若侧面每平方分米的费用为0.25元,底面每平方分米的费用为2元,则裁掉的正方形边长为多少时,防锈处理的总费用最低?最低总费用为多少?
解:(1)如图所示,设裁掉的正方形的边长为x
dm,
由题意可得(10-2x)(6-2x)=12,
即x2-8x+12=0,
解得x=2或x=6(舍去),
答:裁掉的正方形的边长为2
dm.
(2)因为长不大于宽的五倍,所以10-2x≤5(6-2x),
解得0设总费用为w元,
由题意可知w=0.25×4x(16-4x)+2(10-2x)(6-2x)
=4x2-48x+120=4(x-6)2-24,
因为对称轴为x=6,开口向上,所以当0答:当裁掉边长为2.5
dm的正方形时,防锈处理的总费用最低,最低总费用为25元.
