(共22张PPT)
13.2 命题与证明
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
第3课时 三角形的内角和的证明
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
知识点1 三角形的内角和定理的证明与辅助线
1.如图,在证明“△ABC内角和等于180°”时,延长BC至点D,过点C作CE∥AB,得到∠ABC=∠ECD,∠BAC=∠ACE,由于∠BCD=180°,可得到∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,这个证明方法体现的数学思想是(
D
)
?
A.数形结合
B.特殊到一般
C.一般到特殊
D.转化
知识点2 直角三角形的两锐角互余
2.如图,AD是Rt△ABC的斜边BC上的高,则图中与∠B互余的角有(
B
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.如图,把三角板的直角顶点放在直尺的一边上.若∠1=30°,则∠2的度数为 60° .?
知识点3 有两个角互余的三角形是直角三角形
4.三角形有一个角是36°角的余角,另一个角是144°角的补角,那么这个三角形是(
C
)
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.无法确定
5.如图,点E是△ABC中AC边上的一点,过点E作ED⊥AB,垂足为D.若∠1=∠2,则△ABC是直角三角形吗?为什么?
解:△ABC是直角三角形.理由如下:
∵ED⊥AB,
∴∠ADE=90°,△ADE是直角三角形,
∴∠1+∠A=90°.
又∵∠1=∠2,∴∠2+∠A=90°,
∴△ABC是直角三角形.
6.如图,将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后,∠1+∠2=(
C
)
?
A.225°B.235°
C.270°D.与虚线的位置有关
7.具备下列条件的△ABC中,不是直角三角形的是(
D
)
A.∠A+∠B=∠C
C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
D.∠A=2∠B=3∠C
8.将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起,则图中∠α的度数是(
C
)
A.25°
B.20°
C.15°
D.10°
【变式拓展】把一副常用的三角板按如图所示的方式拼在一起,点B在AE上,那么图中的∠ABC= 75° .?
9.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC≠AB,AD是斜边BC上的高,
DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,则图中与∠C(∠C除外)相等的角的个数是(
A
)
A.3
B.4
C.5
D.6
10.如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,
∠ABC的平分线BE分别交CD,CA于点F,E,则下列结论正确的是(
A
)
?
①∠1=∠2;②∠4=∠5;③∠A=∠4;④∠2与∠5互余.
A.①③④
B.②③④
C.①②④
D.①②③
11.当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们称此三角形为“标准三角形”,其中α为“标准角”.如果一个“标准三角形”的“标准角”为100°,那么这个“标准三角形”的最小内角的度数为(
A
)
A.30°
B.45°
C.50°
D.60°
12.将一副三角尺叠在一起按如图所示的方式放置,最小锐角的顶点D恰好在等腰直角三角尺的斜边AB上,BC与DE交于点M.如果∠ADF=100°,那么∠BMD= 85 °.?
13.如图,三角形地块中的点B在点A的北偏东35°的方向,点C在点B的北偏西65°的方向,则∠ABC的度数是 80° .?
14.如图,已知∠AOD=30°,点C是射线OD上的一个动点.在点C的运动过程中,△AOC恰好是直角三角形,则此时∠A所有可能的度数为 60°或90° .?
15.如图,在△ABC中,∠B=32°,∠C=55°,AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC交BC于点E,DF⊥AE于点F,求∠ADF的度数.
解:∵∠B=32°,∠C=55°,
∴∠BAC=93°.
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=
∠BAC=46.5°.
∵∠BAD=90°-∠B=58°,
∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=11.5°.
∵DF⊥AE,∴∠AFD=90°,
∴∠ADF=90°-∠EAD=78.5°.
16.如图1,在△ABC中,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E.
(1)猜测∠1与∠2的关系,并说明理由.
(2)如果∠ABC是钝角,如图2,(1)中的结论是否仍成立?请说明理由.
解:(1)∠1=∠2.
理由:∵AD⊥BC,CE⊥AB,
∴△ABD和△BCE都是直角三角形,
∴∠1+∠B=90°,∠2+∠B=90°,∴∠1=∠2.
(2)(1)中的结论仍成立.
理由:∵AD⊥BC,CE⊥AB,∴∠D=∠E=90°,
∴∠1+∠CBE=90°,∠2+∠DBA=90°.
又∵∠DBA=∠CBE,∴∠1=∠2.
17.如图,在△ABC中,点O是高AD和BE的交点.
(1)观察图形,试猜想∠C和∠DOE,∠C和∠AOE之间具有怎样的数量关系?请说明理由.
解:连接OC,∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴∠ACO+∠COE=90°,∠BCO+∠COD=90°,
∴∠ACO+∠COE+∠BCO+∠COD=180°,
即∠ACB+∠DOE=180°.
∵∠DOE+∠AOE=180°,∴∠ACB=∠AOE.
(2)在这个解题过程中包含这样一个规律:如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,那么这两个角的数量关系为
相等或互补 .?
提示:两种情况分别如图所示.
(3)如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,其中一个角比另一个角的3倍少60°,求这两个角的度数.
解:设较小的角为α,则另一个角为3α-60°,
∴α+3α-60°=180°或α=3α-60°,
解得α=60°或30°,
∴这两个角的度数分别为60°,120°或30°,30°.(共20张PPT)
13.2 命题与证明
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
第4课时 三角形的外角
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
知识点1 三角形外角的概念
1.如图,下列各角是△ABC的外角的是(
B
)
?
?
?
?
A.∠4
B.∠3
C.∠2
D.∠1
知识点2 三角形外角的性质
2.如图,将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,∠1=30°,
∠2=50°,则∠3的度数等于(
C
)
?
?
?
?
?
A.50°
B.30°
C.20°
D.15°
3.如图,已知D,B,C,E四点共线,∠ABD+∠ACE=230°,则∠A的度数为(
A
)
?
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
4.如图所示,则∠A,∠DOE与∠BDC之间的大小关系是(
B
)
?
A.∠A>∠DOE>∠BDC
B.∠DOE>∠BDC>∠A
C.∠DOE>∠A>∠BDC
D.无法确定
5.如图,D是AB边上一点,E是AC边上一点,BE,CD相交于点F,
∠A=62°,∠ACD=35°,∠ABE=20°.求:
(1)∠BDC的度数;
(2)∠BFC的度数.?
解:(1)∠BDC=∠A+∠ACD=62°+35°=97°.
(2)∠BFC=∠ABE+∠BDC=20°+97°=117°.
6.(眉山中考)将一副直角三角板按如图所示的位置放置,使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上,则∠α的度数是(
C
)
A.45°
B.60°
C.75°
D.85°
7.(合肥瑶海区期中)一个三角形的三个外角之比为3∶4∶5,则这个三角形的三个内角之比是(
C
)
A.5∶4∶3
B.4∶3∶2
C.3∶2∶1
D.5∶3∶1
8.如图所示,l1∥l2,则下列式子中值为180°的(
B
)
?
A.α+β+γ
B.α+β-γ
C.β+γ-α
D.α-β+γ
9.(宿州期末)如图,∠ADC=117°,则∠A+∠B+∠C的度数为
117° .?
10.如图,在五角星ABCDE中,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=
180° .?
11.如图,已知∠BCD=92°,∠A=27°,∠BED=44°.
(1)求∠B的度数;
(2)求∠BFD的度数.
解:(1)∵∠BCD=∠A+∠B,∠BCD=92°,∠A=27°,
∴∠B=∠BCD-∠A=92°-27°=65°.
(2)∵∠BFD=∠B+∠BED,∠BED=44°,∠B=65°,
∴∠BFD=44°+65°=109°.
12.星期天,小明见爸爸愁眉苦脸地在看一张图纸,他便悄悄地来到爸爸身边,想看爸爸为什么犯愁.爸爸见到他,高兴地对他说:“来帮我一个忙,你看这是一个四边形零件的平面图,它要求∠BDC等于140°才算合格.”小明通过测量得∠A=90°,
∠B=19°,∠C=40°后就下结论说此零件不合格,于是爸爸让小明解释这是为什么,小明很轻松地说出了原因,并用如下的三种方法解出此题.请你分别说出不合格的理由.
(1)如图1,连接AD并延长.
(2)如图2,延长CD交AB于点E.
(3)如图3,连接BC.
解:(1)∠BDC=∠1+∠2=∠BAC+∠B+∠C
=90°+19°+40°=149°≠140°,
∴不合格.
(2)∠BDC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B=149°≠140°,
∴不合格.
(3)∵∠1+∠2=180°-(90°+19°+40°),
∴∠BDC=180°-(∠1+∠2)=149°≠140°,
∴不合格.
13.已知△ABC.
(1)如图1,若点D是△ABC内任意一点,求证:
∠D=∠A+∠ABD+∠ACD.
(2)若点D是△ABC外一点,位置如图2所示.猜想∠D,∠A,∠ABD,∠ACD有怎样的关系?请直接写出所满足的表达式.(不需要证明)
(3)若点D是△ABC外一点,位置如图3所示,猜想∠D,∠A,∠ABD,∠ACD之间有怎样的关系?并证明你的结论.
解:(1)延长BD交AC于点E.
∵∠BDC是△CDE的外角,
∴∠BDC=∠ACD+∠CED.
∵∠CED是△ABE的外角,
∴∠CED=∠A+∠ABD,
∴∠D=∠A+∠ABD+∠ACD.
(2)∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=360°.
(3)∠D+∠ACD=∠A+∠ABD.
理由:令BD,AC交于点E,
∵∠AED是△ABE的外角,
∴∠AED=∠A+∠ABD,
∵∠AED是△CDE的外角,
∴∠AED=∠D+∠ACD,
∴∠D+∠ACD=∠A+∠ABD.
14.如图,将△ABC折叠,使点C落在点C'处,折痕为EF.
(1)若∠1=40°,∠2=20°,求∠C;
(2)探究∠1,∠2与∠C之间的数量关系.(共10张PPT)
13.2 命题与证明
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
第1课时 命 题
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
知识点1 命题及真命题、假命题的概念
1.(滁州期末)下列语句中,是命题的是(
D
)
A.醉美滁州欢迎你!
B.明天会下雪吗?
C.过点C作直线AB的平行线
D.过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线垂直
2.(合肥庐阳区期末)下列命题是真命题的是(
A
)
A.π是单项式
B.三角形中最大的角小于60°
C.两点之间,直线最短
D.同位角相等
3.(安庆外国语学校期中)命题“若
,则a>b”是 假 命题.
(填“真”或“假”)?
知识点2 命题的构成及改写
4.把命题“平行于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…,那么…”的形式为:如果 两条直线平行于同一条直线 ,那么
这两条直线平行 .?
5.下列各语句中,哪些是命题,哪些不是命题?是命题的,请先将它改写为“如果…,那么…”的形式,再指出命题的条件和结论.
(1)同号两数的和一定不是负数;
(2)若x=2,则1-5x=0;
(3)延长线段AB至点C,使B是AC的中点.
解:(1)和(2)是命题,(3)不是命题.(1)如果两个数同号,那么这两个数的和一定不是负数.条件:两个数同号,结论:这两个数的和一定不是负数.(2)如果x=2,那么1-5x=0.条件:x=2,结论:1-5x=0.
知识点3 互逆命题及反例
6.为了说明“若a≤b,则ac≤bc”是假命题,c的值可以取(
A
)
A.-1
B.0
C.1
D.
7.下列不是命题的是(
A
)
A.过一点作已知直线的垂线
B.两点确定一条直线
C.钝角大于90°
D.凡是直角都相等
8.(合肥45中期中)下列命题是假命题的是(
C
)
A.一个锐角的补角大于这个角
B.凡能被2整除的数,末位数字必是偶数
C.两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补
D.相反数等于它本身的数是0
9.(安徽中考)命题“如果a+b=0,那么a,b互为相反数”的逆命题为 如果a,b互为相反数,那么a+b=0 .?
10.命题“如果一个三角形有一个内角是钝角,那么它的另外两个内角是锐角”的逆命题是 如果一个三角形有两个内角是锐角,那么这个三角形的另一个内角是钝角 ,原命题是 真 命题,逆命题是 假 命题.?
11.如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件的否定,那么称这两个命题互为逆否命题.如命题“如果x=5,那么x+3=8”的逆否命题为“如果x+3≠8,那么x≠5”.写出下面两个命题的逆否命题,并判断每个逆否命题的真假.
(1)能被6整除的整数,一定能被2整除;
(2)若x=y,则x2=y2.
解:(1)逆否命题:不能被2整除的整数,一定不能被6整除.是真命题.
(2)逆否命题:若x2≠y2,则x≠y.是真命题.(共10张PPT)
13.2 命题与证明
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
第2课时 命题的证明
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
知识点1 基本事实与定理
1.下列命题不是基本事实的是(
C
)
A.两点之间,线段最短
B.过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C.两条平行线被第三条直线所截,内错角相等
D.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
2.命题“直角三角形的两个锐角互余”是(
D
)
A.角的定义
B.假命题
C.基本事实
D.定理
知识点2 推理与证明
3.下列推理正确的是(
B
)
A.因为∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,所以∠1+∠3=90°
B.因为∠1+∠3=90°,∠3+∠2=90°,所以∠1=∠2
C.因为∠1与∠2是对顶角,且∠2=∠3,所以∠1与∠3是对顶角
D.因为∠1与∠2是同位角,且∠2与∠3是同位角,所以∠1与∠3是同位角
4.如图所示,OA⊥OC,OB⊥OD,证明∠AOB=∠COD的理论依据是(
C
)
?
A.垂直的定义
B.同角的补角相等
C.同角的余角相等
D.角平分线的定义
5.如图,AB和CD相交于点O,∠C=∠COA,∠D=∠BOD.求证:
AC∥BD.
补全下面的证明过程,并在括号内填上适当的理由.
证明:∵∠C=∠COA,∠D=∠BOD,( 已知 )?
又∵∠COA=∠BOD,( 对顶角相等 )?
∴∠C=∠D,( 等量代换 )?
∴AC∥BD.( 内错角相等,两直线平行 )?
6.如图,AB∥CD,DB⊥BC,∠2=50°,则∠1的度数是(
A
)
?
A.40°
B.50°
C.60°
D.140°
7.已知:如图,AB⊥BC,DC⊥BC,∠1=∠2.求证:BE∥CF.
现有下列步骤:①∵∠2=∠1;②∴∠ABC=∠BCD=90°;
③∴BE∥CF;④∵AB⊥BC,DC⊥BC;⑤∴∠EBC=∠FCB.
那么正确的证明顺序是(
C
)
A.①②③④⑤
B.③④⑤②①
C.④②①⑤③
D.⑤②③①④
8.(合肥50中期中)如图,有如下三个条件:①DG∥BC,②BD∥EF,
③∠1=∠2.请选择其中两个作为“条件”,另一个作为“结论”进行推理论证,写出证明过程.
解:条件:①②,结论:③.
证明:∵DG∥BC,
∴∠1=∠DBC(两直线平行,内错角相等).
∵BD∥EF,
∴∠2=∠DBC(两直线平行,同位角相等),
∴∠1=∠2.(等量代换)
(答案不唯一,另外两种也可以)
9.如图,已知∠BAE+∠AED=180°,∠1=∠2,求证:∠M=∠N.
证明:∵∠BAE+∠AED=180°(已知),
∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行),
∴∠BAE=∠AEC(两直线平行,内错角相等).
又∵∠1=∠2(已知),
∴∠BAE-∠1=∠AEC-∠2(等式的性质),
即∠MAE=∠NEA,
∴AM∥NE(内错角相等,两直线平行),
∴∠M=∠N(两直线平行,内错角相等).
