(共20张PPT)
14.2 三角形全等的判定
第14章 全等三角形
第5课时 两个直角三角形全等的判定
第14章 全等三角形
知识点1 判定两直角三角形全等的方法——“HL”
1.如图所示,已知△ABC与△ABD中,∠C=∠D=90°,要利用“HL”判定△ABC≌△ABD,还需添加的条件是(
B
)
?
A.∠BAC=∠BAD
B.BC=BD或AC=AD
C.∠ABC=∠ABD
D.AB为公共边
2.如图,已知AD⊥BC于点O,且O是BC的中点,增加一个条件后可利用“HL”证明△AOB≌△DOC,则所增加的条件是
AB=CD .?
知识点2 “HL”的简单实际应用
3.如图,有两个长度相等的滑梯(即BC=EF),左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向上的长度DF相等.若∠ABC=32°,则∠DFE的度数为(
C
)
?
A.32°
B.28°
C.58°
D.45°
知识点3 “HL”的简单推理证明的应用
4.如图,在△ABC中,AB=AC,AE是经过点A的一条直线,且B,C在AE的两侧,BD⊥AE于点D,CE⊥AE于点E,AD=CE,则∠BAC的度数(
C
)
?
A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
5.(泰州中考)如图,∠A=∠D=90°,AC=DB,AC与DB相交于点O.求证:OB=OC.
?
证明:∵∠A=∠D=90°,AC=DB,BC=CB,
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL),∴AB=DC.
又∵∠AOB=∠DOC,∴△ABO≌△DCO(AAS),∴OB=OC.
知识点4 判定两个直角三角形全等的方法综合
6.如图,已知AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,如果AD=AF,AC=AE,求证:BC=BE.?
证明:∵在Rt△ADC和Rt△AFE中,
AD=AF,AC=AE,
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL),∴CD=EF.
∵AD=AF,AB=AB,
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL),
∴BD=BF,
∴BD-CD=BF-EF,即BC=BE.
7.(安庆太湖期末)下列条件不能判定两个直角三角形全等的是(
B
)
A.斜边和一直角边对应相等
B.两个锐角对应相等
C.斜边和一锐角对应相等
D.两条直角边对应相等
8.如图,两棵大树间相距13
m,小华从点B沿BC走向点C,行走一段时间后他到达点E,此时他仰望两棵大树的顶点A和D,两条视线的夹角正好为90°,且EA=ED.已知大树AB的高为5
m,小华行走的速度为1
m/s,则这时小华行走的时间是(
B
)
A.13
s
B.8
s
C.6
s
D.5
s
9.(合肥蜀山区期末)如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,BD,CE相交于点F.则图中共有几对全等三角形(
B
)
A.6
B.5
C.4
D.3
10.如图,MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D在直线MN上,点B,C在直线PQ上,点E在AB上,AD+BC=7,AD=EB,DE=EC,则AB= 7 .?
11.在平面直角坐标系中,已知点A(0,4),B(-2,0),C(2,0),作△DOC,使得△DOC与△AOB全等.则点D的坐标可以为
(0,4)或(0,-4)或(2,4)或(2,-4) .?
【变式拓展】如图,CA⊥AB,垂足为A,AB=24,AC=12,射线BM⊥AB,垂足为B,一个动点E从A点出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AN运动,D为射线BM上一个动点,随着E点运动而运动,且始终保持ED=CB,当点E运动 0或4或12或16 秒时,△DEB与△BCA全等.?
12.在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF;
(2)若∠CAE=30°,求∠ACF的度数.
解:(1)∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中,
∵AE=CF,AB=BC,∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).
(2)∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠CAB=∠ACB=45°,
∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.
由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF,
∴∠BCF=∠BAE=15°,
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.
13.如图,在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E.
(1)若点B,C在DE的同侧(如图1),且AD=CE,求证:AB⊥AC.
(2)若点B,C在DE的两侧(如图2),且AD=CE,其他条件不变,AB与AC仍垂直吗?若是,请给出证明;若不是,请说明理由.
解:(1)∵BD⊥DE,CE⊥DE,∴∠ADB=∠AEC=90°.
∴Rt△ABD≌Rt△CAE,∴∠DBA=∠EAC.
∵∠DAB+∠DBA=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°,
∴∠BAC=90°,∴AB⊥AC.
(2)AB⊥AC.理由如下:同(1)证得Rt△ABD≌Rt△CAE,
∴∠DAB=∠ECA,∠DBA=∠EAC.
∵∠CAE+∠ECA=90°,∴∠CAE+∠BAD=90°,
即∠BAC=90°,∴AB⊥AC.
14.如图,AB=AC,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE与CD相交于点O.
(1)求证:AD=AE;
(2)连接OA,BC,试判断直线OA与BC的位置关系并说明理由.
解:(1)在△ACD与△ABE中,
∵∠A=∠A,∠ADC=∠AEB=90°,AB=AC,
∴△ACD≌△ABE(AAS),∴AD=AE.
(2)互相垂直.理由:延长AO交BC于点F.
在Rt△ADO与Rt△AEO中,∵OA=OA,AD=AE,
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL),∴∠DAO=∠EAO.
∴△ABF≌△ACF(SAS),∴∠AFB=∠AFC=90°,
∴直线OA与BC互相垂直.(共20张PPT)
14.2 三角形全等的判定
第14章 全等三角形
第3课时 利用三边判定三角形全等
第14章 全等三角形
知识点1 判定三角形全等的方法——“SSS”
1.如图,下列三角形中,与△ABC全等的是(
C
)
2.如图,在方格纸中,以AB为一边作△ABP,使△ABC与△ABP全等,P1,P2,P3,P4四个点中符合条件的点P的个数为 3 .?
知识点2 全等三角形的判定方法“SSS”的简单实际应用
3.“三月三,放风筝”,如图是小明制作的风筝,他根据DE=DF,
EH=FH,不用度量,就知道∠DEH=∠DFH,小明是通过全等三角形的识别得到的结论,请问小明用的识别方法是 SSS .
(用字母表示)?
知识点3 三角形的稳定性
4.(合肥包河区期末)空调安装在墙上时,一般都会采用如图所示的方法固定,这种方法应用的几何原理是
三角形的稳定性
.
知识点4 全等三角形的判定方法“SSS”的推理证明的应用
5.(教材P105练习T3变式)如图,在△ABC中,AB=AC,BE=CD,
AD=AE.若∠BAD=30°,∠DAE=50°,则∠BAC的度数为
110° .?
6.如图,在△ABC和△BDE中,点C在边BD上,边AC交边BE于点F.若AC=BD,AB=ED,BC=BE,求证:∠ACB=∠EBD.
7.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图,则要说明∠D'O'C'=∠DOC,需要证明△D'O'C'≌△DOC,则这两个三角形全等的依据是(
B
)
?
?
?
?
A.SAS
B.SSS
C.ASA
D.AAS
8.如图,在△ABC中,AB=AC,BD=DC,则下列结论错误的是
(
A
)
?
A.∠BAC=∠B
B.∠BAD=∠CAD
C.AD⊥BC
D.∠B=∠C
9.在如图所示的5×5方格中,每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC是格点三角形(即顶点恰好是正方形的顶点),则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是
(
D
)
?
?
?
?
A.1
B.2
C.3
D.4
10.如图所示,一扇窗户打开后,用窗钩AB可将其固定,这里所运用的几何原理是 三角形的稳定性 .?
11.小聪用刻度尺画已知角的平分线,如图,在∠MAN的两边上分别量取AB=AC,AE=AF,连接FC,EB,交于点D,作射线AD,则图中共有 4 对全等三角形.?
12.(蚌埠期末)一个三角形的三边长为6,10,x,另一个三角形的三边长为y,6,12.若这两个三角形全等,则x+y= 22 .?
13.如图,已知AB=AC,BD=CD.
(1)求证:∠B=∠C;
(2)若∠A=2∠B,求证:∠BDC=4∠C.
证明:(1)连接AD并延长至点E.
∴△ABD≌△ACD(SSS),∴∠B=∠C.
(2)在△ABD中,∠BDE=∠BAD+∠B,
在△ACD中,∠CDE=∠CAD+∠C,
∴∠BDE+∠CDE=∠BAD+∠CAD+∠B+∠C,
即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.
∵∠BAC=2∠B,∠B=∠C,∴∠BDC=4∠C.
14.如图,C,F是线段BE上的两点,△ABF≌△DEC,且AC=DF.
(1)你在图中还能找到几对全等的三角形?并说明理由.
(2)∠ACE=∠BFD吗?试说明你的理由.
解:(1)还能找到2对全等三角形,分别是△ACF≌△DFC,△ABC≌△DEF.理由如下:
∵△ABF≌△DEC,∴AB=DE,BF=EC,AF=DC.
∴BF+FC=EC+FC,即BC=EF.
在△ACF和△DFC中,
∵AC=DF,AF=DC,FC=CF,
∴△ACF≌△DFC(SSS).
在△ABC和△DEF中,
∵AB=DE,AC=DF,BC=EF,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
(2)∠ACE=∠BFD.
理由:∵△ABC≌△DEF,
∴∠ACB=∠DFE.
∵∠ACB+∠ACE=180°,∠DFE+∠BFD=180°,
∴∠ACE=∠BFD.
15.(桂林中考)如图,点A,D,C,F在同一条直线上,AD=CF,
AB=DE,BC=EF.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)若∠A=55°,∠B=88°,求∠F的度数.
解:(1)∵AD=CF,
∴AD+DC=DC+CF,即AC=DF.
∴△ABC≌△DEF(SSS).
(2)∵∠A=55°,∠B=88°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-55°-88°=37°.
∵△ABC≌△DEF,∴∠F=∠ACB=37°.(共20张PPT)
14.2 三角形全等的判定
第14章 全等三角形
第2课时 利用两角及其夹边判定三角形全等
第14章 全等三角形
知识点1 判定三角形全等的方法——“ASA”
1.如图所示,已知∠C=∠E,AC=AE,欲证明△ABC≌△ADE,依据是“ASA”,只需补充一个条件,这个条件可以是(
C
)
A.AB=AD
B.BC=DE
C.∠1=∠2
D.以上都不对
2.如图,若利用“ASA”来判定△ACD≌△ABE,则可以添加的条件是(
D
)?
A.∠AEB=∠ADC,∠C=∠B
B.∠AEB=∠ADC,CD=BD
C.AC=AB,AD=AE
D.AC=AB,∠C=∠B
知识点2 全等三角形的判定方法“ASA”的简单实际应用
3.如图,在△ABC和△EBD中,AB=BE=8,∠A=∠E,BD=3,则CE的长是(
B
)
A.4
B.5
C.6
D.7
4.如图,要测量河岸相对两点A,B之间的距离,已知AB垂直于河岸BF,先在BF上取两点C,D,使CD=CB,再过点D作BF的垂线段DE,使点A,C,E在一条直线上,测出BD=10,ED=4,则AB的长是
(
C
)
?
A.5
B.10
C.4
D.以上都不对
知识点3 全等三角形的判定方法“ASA”的推理证明的应用
5.如图,已知AB∥CF,E为DF的中点.若AB=9
cm,CF=6
cm,则BD= 3 cm.?
6.(改编)如图,AE和BD相交于点C,∠A=∠E,AC=EC.求证:
AB=ED.
7.如图,点B,E在线段CD上,若∠C=∠D,则添加下列条件,不一定能使△ABC≌△EFD的是(
C
)
A.BC=FD,AC=ED
B.∠A=∠DEF,AC=ED
C.AC=ED,AB=EF
D.∠ABC=∠EFD,BC=FD
8.如图,已知AB=AC,∠B=∠C,CF⊥AB于点F,BE⊥AC于点E,则图中的全等三角形共有(
D
)
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
9.如图,A,B,C三点在同一条直线上,∠A=∠EBD=∠C=90°,
AB=CD=5,AE=12,则AC= 17 .?
11.如图,已知E,F为AC上两点,AD∥BC,∠1=∠2,AE=CF,求证:
△ADF≌△CBE.
证明:∵AD∥BC,∴∠A=∠C.
∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE.
∴△ADF≌△CBE(ASA).
12.如图,在△ABC中,MN⊥AC,垂足为N,且MN平分∠AMC,
△ABM的周长为9
cm,AN=2
cm,求△ABC的周长.
解:∵MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠CMN.
∵MN⊥AC,∴∠MNC=∠MNA=90°.
∴△AMN≌△CMN(ASA),∴AN=CN,AM=CM.
∵AN=2
cm,∴AC=2×2=4(cm).
∵AB+BM+AM=9
cm,
∴AB+BM+CM=AB+BC=9
cm,
∴AB+BC+AC=9+4=13(cm),
即△ABC的周长为13
cm.
13.如图,小强在河的一边,要测河面的一只船B与对岸码头A的距离,他的做法如下:
①在岸边确定一点C,使C与A,B在同一直线上;
②在AC的垂直方向画线段CD,取其中点O;
③画DF⊥CD,使F,O,A在同一直线上;
④在线段DF上找一点E,使E与O,B共线.
他说测出的线段EF的长就是船B与码头A的距离.他这样做有道理吗?为什么?
14.如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,∠ABC的平分线BD交AC于点D,CE⊥BD,垂足为E.试猜想CE与BD的数量关系,并说明理由.
解:BD=2CE.
理由:延长BA,CE相交于点F.
∵BD平分∠ABC,∴∠CBE=∠FBE.
∴△BCE≌△BFE(ASA),∴CE=EF.
∵∠BAC=90°,CE⊥BD,
∴∠ACF+∠F=90°,∠ABD+∠F=90°,
∴∠ABD=∠ACF.
∴△ABD≌△ACF(ASA),∴BD=CF.
∵CF=CE+EF=2CE,∴BD=2CE.(共20张PPT)
14.2 三角形全等的判定
第14章 全等三角形
第1课时 利用两边及其夹角判定三角形全等
第14章 全等三角形
知识点1 判定三角形全等的方法——“SAS”
1.如图,已知△ABC的三条边和三个角,则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是(
B
)
?
A.甲和乙
B.甲和丙
C.乙和丙
D.只有乙
2.(衢州中考)如图,在△ABC和△DEF中,点B,F,C,E在同一直线上,BF=CE,AB∥DE,请添加一个条件,使△ABC≌△DEF,这个添加的条件可以是 AB=ED(答案不唯一) .(只需写一个,不添加辅助线)?
知识点2 全等三角形的判定方法“SAS”的简单实际应用
3.要测量圆形工件的外径,工人师傅设计了如图所示的卡钳,O为卡钳两柄交点,且有OA=OB=OC=OD,如果圆形工件恰好通过卡钳AB,则这个工件的外径必是CD之长了,其中的依据是全等三角形的判定方法(
C
)
A.ASA
B.AAS
C.SAS
D.SSS
4.如图,有一个池塘,要测量池塘两端A,B间的距离,可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C,连接AC并延长至点D,使CD=CA,连接BC并延长至点E,使CE=CB,连接ED.若量出DE=58米,则A,B间的距离为(
B
)
?
A.29米
B.58米
C.60米
D.116米
知识点3 全等三角形的判定方法“SAS”的推理证明的应用
5.(广州中考)如图,AB与CD相交于点E,AE=CE,DE=BE.求证:
∠A=∠C.
6.如图,点A,B,C,D在一条直线上,且AC=BD,若∠1=∠2,
CE=BF,求证:△ACE≌△DBF.
?
证明:∵∠1=∠2,∴∠FBD=∠ECA.
∵BF=CE,BD=AC,
∴△ACE≌△DBF(SAS).
7.如图,点E在AB上,点F在AC上,且AE=AF,AB=AC,BF=5,
DE=1,则DC的长为(
B
)
?
?
?
?
A.1
B.4
C.5
D.6
8.(合肥长丰期末)如图,点A,E,F,D在同一直线上,AB∥CD,
AB=CD,AE=DF,则图中全等三角形共有(
C
)
?
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
9.如图,AD=AE,BE=CD,∠ADB=∠AEC=110°,∠BAE=80°,下列说法:①△ABE≌△ACD;②△ABD≌△ACE;
③∠DAE=40°;④∠C=40°.其中正确的说法有(
A
)
?
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
10.在如图所示的3×3的正方形网格中,∠1+∠2+∠3的度数为 135° .?
11.如图,AB=4
cm,AC=BD=3
cm,∠CAB=∠DBA=60°,点P在线段AB上以1
cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D匀速运动.它们运动的时间为t
s.设点Q的运动速度为x
cm/s,若使得△ACP与△BPQ全等,则x的值为
1或1.5 .?
12.如图,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE,点E在BC上,AB,DE相交于点F.求证:
(1)△ABC≌△ADE;
(2)∠BEF=∠CAE.
证明:(1)∵∠BAD=∠CAE,
∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE,
即∠DAE=∠BAC.
∴△ABC≌△ADE(SAS).
(2)∵△ABC≌△ADE,∴∠B=∠D.
∵∠BFE=∠DFA,∴∠BEF=∠BAD,
∴∠BEF=∠CAE.
13.两个大小不同的等腰直角三角板如图1放置,图2是由它抽象出的几何图形,点B,C,E在同一条直线上,连接DC.
?
?
?
?
(1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明(结论中不得含有未标识的字母);
(2)证明:DC⊥BE.
解:(1)△BAE≌△CAD,
证明:∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,
即∠BAE=∠CAD.
∴△BAE≌△CAD(SAS).
(2)∵△BAE≌△CAD,∴∠ACD=∠B=45°.
又∵∠ACB=45°,
∴∠DCB=∠ACB+∠ACD=90°,∴DC⊥BE.
14.如图1,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α.
(1)求证:BE=AD;
(2)当α=90°时,取AD,BE的中点分别为点P,Q,连接CP,CQ,PQ,如图2,判断△CPQ的形状,并加以证明.
解:(1)∵∠ACB=∠DCE,
∴∠ACD=∠BCE.
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴BE=AD.
(2)△CPQ为等腰直角三角形.
由(1)可得BE=AD.
∵AD,BE的中点分别为点P,Q,∴AP=BQ.
∵△ACD≌△BCE,∴∠CAP=∠CBQ.
∴△ACP≌△BCQ(SAS),∴CP=CQ,且∠ACP=∠BCQ.
又∵∠ACP+∠PCB=90°,∴∠BCQ+∠PCB=90°,
∴∠PCQ=90°,∴△CPQ为等腰直角三角形.(共20张PPT)
14.2 三角形全等的判定
第14章 全等三角形
第4课时 其他判定两个三角形全等的条件
第14章 全等三角形
知识点1 判定两三角形全等的方法——“AAS”
1.如图所示,已知△ABC的六个元素,则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是(
D
)
?
?
?
?
A.甲
B.乙
C.丙
D.乙、丙
2.如图,点A,B,C,D在同一条直线上,∠AEC=∠DFB,AB=DC,请补充一个条件: ∠A=∠D(或∠ACE=∠DBF) ,能使用“AAS”的方法判定△ACE≌△DBF.?
知识点2 全等三角形的判定方法“AAS”的简单实际应用
3.如图,课间小明拿着老师的等腰三角板玩,不小心掉到两张凳子之间(凳子与地面垂直).已知DC=a,CE=b,则两张凳子的高度之和为 a+b .?
4.如图,A,B两建筑物位于河的两岸,要测得它们之间的距离,可以从B点向右出发沿河岸画一条射线,在射线上截取BC=CD,过点D作DE∥AB,使点E,C,A在同一直线上,则DE的长就是A,B之间的距离,请你说明道理.
解:如图,∵DE∥AB,
∴∠A=∠E,
在△ABC和△EDC中,
∴△ABC≌△EDC(AAS),∴DE=BA,
∴DE的长就是A,B之间的距离.
知识点3 全等三角形的判定方法“AAS”的推理证明的应用
5.如图,已知在四边形ABCD中,点E在AD上,∠BCE=∠ACD
=90°,∠BAC=∠D,BC=EC,求证:△ABC≌△DEC.?
证明:∵∠BCE=∠ACD=90°,
∴∠BCA+∠ACE=∠ACE+∠ECD,
∴∠BCA=∠ECD.
又∵∠BAC=∠D,BC=EC,
∴△ABC≌△DEC(AAS).
6.如图,已知∠ABC=∠BAD,在不作辅助线的情况下,添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是(
D
)
A.BC=AD
B.∠CAB=∠DBA
C.∠C=∠D
D.AC=BD
7.如图,在△ADF和△BCE中,点A,C,D,B在同一条直线上,AC=
BD,EC∥DF,添加下列哪个条件无法证明△ADF≌△BCE
(
D
)
A.AF∥BE
B.DF=CE
C.∠E=∠F
D.AF=BE
8.(南京中考)如图,AB⊥CD,且AB=CD,E,F是AD上两点,
CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为(
D
)
A.a+c
B.b+c
C.a-b+c
D.a+b-c
9.(蚌埠期末)把等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内,如图,已知直角顶点A的坐标为(0,1),另一个顶点B的坐标为(-5,5),则点C的坐标为 (-4,-4) .?
10.如图,在△ACD中,AB⊥CD,BD=AB,∠DEB=∠ACB.求证:
(1)DE=AC;
(2)DE⊥AC.
证明:(1)∵AB⊥CD,∴∠ABC=∠DBE=90°,
又∵∠ACB=∠DEB,AB=DB,
∴△ACB≌△DEB(AAS),∴DE=AC.
(2)延长DE交AC于点F.
∵△ACB≌△DEB,∴∠CAB=∠EDB.
∵∠EBD=90°,∴∠BED+∠EDB=90°.
∵∠AEF=∠BED,∴∠AEF+∠CAB=90°,
∴∠AFE=90°,∴DE⊥AC.
11.如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C在△ABC外作直线MN,AM⊥MN于点M,BN⊥MN于点N.
(1)求证:MN=AM+BN.
(2)如图2,若过点C作直线MN与线段AB相交,AM⊥MN于点M,BN⊥MN于点N(AM>BN),(1)中的结论是否仍成立?请说明理由.
解:(1)∵∠ACB=90°,∴∠ACM+∠BCN=90°.
又∵AM⊥MN,BN⊥MN,∴∠AMC=∠CNB=90°,
∴∠BCN+∠CBN=90°,∴∠ACM=∠CBN,
又∵AC=BC,
∴△ACM≌△CBN(AAS),∴MC=NB,MA=NC,
∵MN=MC+NC,∴MN=AM+BN.
(2)(1)中的结论不成立,结论为MN=AM-BN.
理由如下:同理可证△ACM≌△CBN(AAS)
,
∴CM=BN,AM=CN,
∵MN=CN-CM,∴MN=AM-BN.
12.【问题情境】如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,可知∠BAD=∠C(不需要证明).
【特例探究】如图2,∠MAN=90°,射线AE在这个角的内部,点B,C在∠MAN的边AM,AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.证明:△ABD≌△CAF.
解:∵CF⊥AE,BD⊥AE,∠MAN=90°,
∴∠BDA=∠AFC=90°,
∴∠ABD+∠BAD=90°,∠BAD+∠CAF=90°,
∴∠ABD=∠CAF.
∴△ABD≌△CAF(AAS).
【归纳证明】如图3,点B,C在∠MAN的边AM,AN上,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,∠1,∠2分别是△ABE,△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF.
解:∵∠1=∠2=∠BAC,∠1=∠BAE+∠ABE,
∠BAC=∠BAE+∠CAF,
∴∠ABE=∠CAF,∠AEB=∠CFA.
∴△ABE≌△CAF(AAS).
【拓展应用】如图4,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E,F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15,则△ACF与△BDE的面积之和为 5 .?
