(共20张PPT)
15.4 角的平分线
第15章 轴对称图形与等腰三角形
第1课时 角的平分线的作法与性质
第15章 轴对称图形与等腰三角形
知识点1 角平分线的尺规作图
1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图,则能说明∠AOC=∠BOC的依据是(
A
)
?
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.角平分线上的点到角两边的距离相等
2.尺规作图:如图,已知∠AOB和C,D两点,求作一点P,使PC=PD,且点P在∠AOB的平分线上.(不写作法,保留作图痕迹)
解:如图所示,点P即为所求.
知识点2 过一点作已知直线的垂线
3.如图,已知点A和直线MN,过点A用尺规作图画出直线MN的垂线,下列画法中正确的是(
B
)
知识点3 角平分线的性质
4.如图,P是∠BAC的平分线AD上一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,下列结论中不正确的是(
D
)
A.PE=PF
B.AE=AF
C.△APE≌△APF
D.AP=PE+PF
5.(滁州期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AD是△ABC的一条角平分线.若CD=3,则△ABD的面积为 15 .?
6.(蚌埠期末)如图,OP平分∠MON,PA⊥ON,垂足为A,Q是射线OM上的一个动点.若P,Q两点间的最小距离为8,则PA= 8 .?
7.如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是(
D
)?
A.PA=PB
B.PO平分∠APB
C.OA=OB
D.AB垂直平分OP
8.如图,在平面直角坐标系中,以O为圆心、适当长为半径画弧,交x轴于点M,交y轴于点N,再分别以点M,N为圆心、大于
的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点P.若点P的坐标为(2x,y+1),则y关于x的函数关系为(
B
)
A.y=x
B.y=-2x-1
C.y=2x-1
D.y=1-2x
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的平分线AD分对边BD,CD的长度比为3∶2,且BC=20
cm,则点D到AB的距离是 8 cm.?
10.如图,∠AOB=30°,OP平分∠AOB,PC∥OB交OA于点C,
PD⊥OB于点D.如果PC=8
cm,那么PD= 4 cm.?
11.如图,BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD于点M,PN⊥CD于点N.
求证:PM=PN.
证明:∵BD为∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠CBD.
∴△ABD≌△CBD(SAS),∴∠ADB=∠CDB.
∵点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,
∴PM=PN.
12.如图,△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于点P,PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E.
(1)求证:BD=CE;
(2)若AB=6
cm,AC=10
cm,求AD的长.
解:(1)连接BP,CP.
∵点P在BC的垂直平分线上,∴BP=CP.
∵AP是∠DAC的平分线,PD⊥AB,PE⊥AC,∴DP=EP.
∴Rt△ADP≌Rt△AEP(HL),∴AD=AE.
∵AB=6
cm,AC=10
cm,∴6+AD=10-AE,即6+AD=10-AD,
解得AD=2
cm.
13.如图,在△ABC中,D是BC边上一点,P是AD上一点,∠1=∠2.
(1)若△ABP与△ACP的面积相等,求证:AB=AC;
(2)在(1)的条件下,求证:AD⊥BD.
14.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AG⊥BC于点G,BD平分∠ABC,AE⊥BD于点H,交BC于点E,AG与BD相交于点F.求证:
AD=EF.
证明:∵BD平分∠ABC,AE⊥BD,
∴BH为AE的垂直平分线.
∵点F在BD上,∴AF=EF.
∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABD.
∵∠BAC=90°,AG⊥BC,
∴∠ABD+∠ADB=90°,∠DBC+∠BFG=90°,
∴∠ADB=∠BFG.
∵∠AFD=∠BFG,
∴∠ADB=∠AFD,∴AF=AD.
又∵AF=EF,∴AD=EF.(共20张PPT)
15.4 角的平分线
第15章 轴对称图形与等腰三角形
第2课时 角的平分线的判定
第15章 轴对称图形与等腰三角形
知识点1 角的平分线的判定
1.如图,M,N分别是OA,OB边上的点,点P在射线OC上,则下列条件不能说明OC平分∠AOB的是(
D
)
A.PM⊥OA,PN⊥OB,PM=PN
B.PM⊥OA,PN⊥OB,OM=ON
C.PM=PN,OM=ON
D.PM=PN,∠PMO=∠PNO
2.小明在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图,一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说:“射线OP就是∠BOA的平分线.”他这样做的依据是(
B
)
A.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D.以上均不正确
知识点2 三角形三条内角平分线的交点的性质
3.如图,三条公路把A,B,C三个村庄连成一个三角形区域,政府决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场,要使集贸市场到三条公路的距离相等,则这个集贸市场应建在(
D
)
A.AC,BC两边中线的交点处
B.AC,BC两边高线的交点处
C.AC,BC两边垂直平分线的交点处
D.∠A,∠B两内角平分线的交点处
4.如图,O是△ABC内一点,且点O到三边AB,BC,CA的距离OF=OD=OE.若∠BAC=70°,则∠BOC= 125° .?
知识点3 角平分线的判定和性质的综合运用
5.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是中线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则下列四个结论:①AB上任意一点与AC上任意一点到D的距离相等;②AD上任意一点到AB,AC的距离相等;③∠BDE=∠CDF;④∠1=∠2.其中正确的有(
C
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以点A为圆心、任意长为半径画弧,分别交AB,AC于点M,N,再分别以点M,N为圆心、大于
的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D,则下列结论:①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=
60°;③点D在AB的中垂线上;④S△ADC∶S△ABC=1∶3.其中正确结论的序号有 ①②③④ .?
7.如图,BF,CF是△ABC的外角平分线,连接AF,则下列结论正确的是(
B
)
A.AF平分BC
B.AF平分∠BAC
C.AF⊥BC
D.以上结论都正确
8.如图,直线l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路,现计划建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有
(
D
)
?
A.一处
B.二处
C.三处
D.四处
9.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=2∠C,BE平分∠ABC交AC于点E,AD⊥BE于点D,下列结论:①AC-BE=AE;②∠DAE
=∠C;③BC=5AD;④点E在线段BC的垂直平分线上.其中正确结论的个数是(
B
)
?
A.4
B.3
C.2
D.1
10.如图,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别为40,50,60,其三条角平分线交于点O,则S△ABO∶SBCO∶S△CAO= 4∶5∶6 .?
11.如图,在△ABC中,AB+AC=20,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD=3,则图中阴影部分的面积等于
30 .?
12.如图,△ABC的角平分线AP和外角平分线BP相交于点P.求证:点P也在∠BCD的平分线上.
证明:作PF⊥AB于点F,PG⊥BC于点G,PH⊥AC于点H.
∵BP是∠EBC的平分线,PF⊥AB,PG⊥BC,
∴PF=PG.
∵AP是∠BAC的平分线,PH⊥AC,PF⊥AB,
∴PH=PF,∴PG=PH.
又∵PG⊥BC,PH⊥AC,
∴点P在∠BCD的平分线上.
13.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,点E,F分别在AB和AC上,∠AED+∠AFD=180°.求证:DE=DF.
证明:过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N.
∵AD平分∠BAC,∴DM=DN.
∵∠AED+∠AFD=180°,∠AFD+∠DFN=180°,
∴∠DFN=∠AED.
∴△DME≌△DNF(AAS),∴DE=DF.
14.在△ABC中,D是BC边上的点(不与点B,C重合),连接AD.
(1)如图1,当D是BC边上的中点时,S△ABD∶S△ACD= 1∶1 ;?
(2)如图2,当AD是∠BAC的平分线时,若AB=m,AC=n,求S△ABD∶S△ACD的值;(用含m,n的代数式表示)
解:过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.
∵AD是∠BAC的平分线,∴DE=DF.
∵AB=m,AC=n,∴S△ABD∶S△ACD=m∶n.
(3)如图3,AD平分∠BAC,延长AD到点E,使得AD=DE,连接BE.如果AC=2,AB=4,S△BDE=6,那么S△ABC= 9 .?
