人教版数学九年级上册《21.2.4一元二次方程的根与系数的关系》课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
21.2.4
一元二次方程的根与系数的关系
人教版数学九年级上册
第二十一章
一元二次方程
1．了解一元二次方程的根与系数的关系，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数。
2．在不解一元二次方程的情况下，会求直接(或变形后)含有两根与两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的思想。
学习目标
1.一元二次方程的求根公式是什么？
想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？
2.如何用判别式
b2
-
4ac
来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程：
ax2
+
bx
+c
=
0(a≠0)
b2
-
4ac
>
0
时,方程有两个不相等的实数根.
b2
-
4ac
=
0
时,方程有两个相等的实数根.
b2
-
4ac
<
0
时,方程无实数根.
导入新知
探索一元二次方程的根与系数的关系
算一算
解下列方程并完成填空：
（1）x2+3x-4=0;
(2)x2-5x+6=0;
(3)2x2+3x+1=0.
-4
1
2
3
-1
x1+x2=-3
x1
·
x2=-4
x1+x2=5
x1
·
x2=6
探究新知
一元二次方程
两
根
关
系
x1
x2
x2+3x-4=0
x2-5x+6=0
2x2+3x+1=0
猜一猜
（1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？
重要发现
如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2=
-p
,
x1
·x2=q.
(x-x1)(x-x2)=0.
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，
x2+px+q=0，
x1+x2=
-p
,
x1
·x2=q.
猜一猜
（2）通过上表猜想，如果一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、
x2，那么，你可以发现什么结论？
证一证：
一元二次方程的根与系数的关系
（韦达定理）
如果
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、
x2，那么
注意
满足上述关系的前提条件
b2-4ac≥0.
归纳新知
一元二次方程的根与系数的关系的应用
例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2
+
7x
+
6
=
0;
解：这里
a
=
1
,
b
=
7
,
c
=
6.
Δ
=
b2
-
4ac
=
72
–
4
×
1
×
6
=
25
>
0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是
x1,
x2,
那么
x1
+
x2
=
-7
,
x1
x2
=
6.
典例精析
（2）2x2
-
3x
-
2
=
0.
解：这里
a
=
2
,
b
=
-3
,
c
=
-2.
Δ=
b2
-
4ac
=
（-
3）2
–
4
×
2
×
(-2)
=
25
>
0,
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是
x1,
x2,
那么
x1
+
x2
=
,
x1
x2
=
-1
.
例2
已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2
.
所以：x1
·
x2=2x2=
即：x2=
由于x1+x2=2+
=
得：k=－7.
答：方程的另一个根是
，k=－7.
变式：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m
的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.
所以：x1
+
x2=1+x2=6，
即：x2=5
.
由于x1·x2=1×5=
得：m=15.
答：方程的另一个根是5，m=15.
例3
不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.
解：根据根与系数的关系可知：
设x1,
x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:
（1）x1+x2=
,
(2)x1·x2=
,
(3)
,
(4)
.
4
1
14
12
巩固练习
例4：设x1，x2是方程
x2
-2(k
-
1)x
+
k2
=0
的两个实数根，且x12
+x22
=4，求k的值.
解：由方程有两个实数根，得Δ=
4（k
-
1）2
-
4k2
≥
0
即
-8k
+
4
≥
0.
由根与系数的关系得x1
+
x2
=
2(k
-1)
,x1
x2
=k
2.
∴
x12
+
x22
=
(x1
+
x2)2
-
2x1x2
=
4(k
-1)2
-2k2
=
2k2
-8k
+
4.
由
x12
+
x22
=
4，得
2k2
-
8k
+
4
=
4,
解得
k1=
0
,
k2
=
4
.
经检验，
k2
=
4
不合题意，舍去.
典例精析
总结常见的求值:
归纳
求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
探究新知
1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m
=____.
2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2
和
1
，则：p
=
,
q=
.
1
-2
-3
课堂检测
3.已知方程
3x2
-19x
+
m=0的一个根是1，求它的另一个根及m
的值.
解：将x
=
1代入方程中：3
-19
+
m
=
0.
解得
m
=
16,
设另一个根为x1,则：
1
×
x1
=
∴x1
=
4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根,（x1+1)(x2+1)=4；（1）求k的值；
（2）求(x1-x2)2的值.
解：(1)根据根与系数的关系：
所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=
解得：k=-7；
（2）因为k=-7,所以
则：
5.设x1,x2是方程3x2
+
4x
–
3
=
0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.
(1)
(x1
+
1)(x2
+
1);
(2)
解:根据根与系数的关系得：
（1）(x1
+
1)(x2
+
1)
=
x1
x2
+
x1
+
x2
+
1=
（2）
6.
当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1
∵
(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1
由根与系数的关系，得