人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册 4.2.3　二项分布与超几何分布（共40张PPT）

4.2.3　二项分布与超几何分布
课标阐释
思维脉络
1.理解n次独立重复试验的模型,掌握二项分布,并能利用它们解决一些简单的实际问题.
2.理解超几何分布的意义,能够利用超几何分布的概率公式解决实际问题.
3.通过本节的学习,体会模型化思想在解决问题中的作用,感受概率在生活中的作用,提高数学应用能力.

激趣诱思
知识点拨
解放军部队打仗前总要召开“诸葛亮”会,战役指挥共同研究作战方案,力争百战百胜.
不少企业成立智囊团,帮助企业发展.日本松下公司鼓励员工提出合理化建议,谁提得多而有成效的建议,就给予谁奖励.这大大调动了职工的积极性,充分发挥员工的聪明才智,助力公司飞跃发展.
“三个臭皮匠顶个诸葛亮”是中国民间广为流传的一句谚语,从上面的事实来看,这句谚语是很有道理的,下面我们从概率的角度来探讨一下这个问题.
假如刘备手下有诸葛亮和9名谋士组成的智囊团,假定对某事进行决策时,每名谋士决策正确的概率为0.7,诸葛亮决策正确的概率为0.85.现在为某事能否可行而征求每位谋士的意见,并按多数人的意见做出决策.试比较诸葛亮和智囊团决策正确的概率.
激趣诱思
知识点拨
一、n次独立重复试验与二项分布
1.n次独立重复试验
在相同条件下重复n次伯努利试验时,人们总是约定这n次试验是相互独立的,此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.
2.二项分布
一般地,如果一次伯努利试验中,出现“成功”的概率为p,记q=1-p,且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X,则X的取值范围是{0,1,…,k,…,n},而且P(X=k)= pkqn-k,k=0,1,…,n.
因此X的分布列如下表所示
X
0
1
…
k
…
n
P
p0qn
p1qn-1
…
pkqn-k
…
pnq0
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知识点拨
此称X服从参数n,p的二项分布,记作X~B(n,p).
名师点析 (1)二项分布是n次独立重复试验在k取遍0,1,2,…,n各种情况下的一个分布列.
(2)在X~B(n,p)中,X可以取0,1,2,…,n中的任意值,而在n次独立重复试验中,X却是一个具体结果;注意掌握表示符号n,p的具体含义,并习惯用符号表示具体的分布列.
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知识点拨
微思考1
独立重复试验满足什么条件?
提示:(1)每次试验是在相同的条件下进行的;
(2)各次试验的结果互不影响,即每次试验是相互独立的;
(3)每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生.
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微思考2
二项分布与两点分布有什么关系?
提示:(1)两点分布的试验次数只有一次,试验结果只有两种:事件A发生(X=1)或不发生(X=0);二项分布是指在n次独立重复试验中事件A发生的次数X的分布列,试验次数为n次,每次试验的结果也只有两种:事件A发生或不发生,试验结果有n+1种:事件A恰好发生0次,1次,2次,…,n次.
(2)二项分布是两点分布的一般形式,两点分布是一种特殊的二项分布,即n=1的二项分布.
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二、超几何分布
1.定义:一般地,若有总数为N件的甲、乙两类物品,其中甲类有M件(M激趣诱思
知识点拨
2.超几何分布列
如果X~H(N,n,M)且n+M-N≤0,则X能取所有不大于s的自然数,此时X的分布列如下表:



名师点析 求超几何分布列的步骤
(1)验证随机变量是否服从超几何分布,并确定参数N,M,n;
(2)确定X的所有可能取值;
(3)利用超几何分布公式计算P(X=k);
(4)写出分布列(用表格或式子表示).
X
0
1
…
k
…
s
P
?
?
…
?
…
?
探究一
探究二
探究三
探究四
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n次独立重复试验概率的求法
例1现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率.
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探究一
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反思感悟 n次独立重复试验概率求法的三个步骤
(1)判断:依据n次独立重复试验的特征,判断所给试验是否为独立重复试验;
(2)分拆:判断所求事件是否需要拆分;
(3)计算:就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式计算.
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变式训练1某气象站天气预报的准确率为70%,计算(结果保留到小数点后面第2位):
(1)5次预报中恰有2次准确的概率;
(2)5次预报中至少有2次准确的概率.
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二项分布
例2某公司招聘员工,先由两位专家面试,若两位专家都同意通过,则视作通过初审予以录用;若这两位专家都未同意通过,则视作未通过初审不予录用;当这两位专家意见不一致时,再由第三位专家进行复审,若能通过复审则予以录用,否则不予录用.设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为 ,复审能通过的概率为 ,各专家评审的结果相互独立.
(1)求某应聘人员被录用的概率;
(2)若4人应聘,设X为被录用的人数,试求随机变量X的分布列.
分析解答本题可根据二项分布的概率计算方法解答,同时注意互斥事件概率公式的应用.
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反思感悟 1.本例属于二项分布,当X服从二项分布时,应弄清X~B(n,p)中的试验次数n与成功概率p.
2.解决二项分布问题的关键
对于公式P(X=k)= pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用,否则不能应用该公式.
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变式训练2在一次数学考试中,第14题和第15题为选做题.规定每位考生必须且只需在其中选做一题.设4名考生选做这两题的可能性均为 .
(1)求其中甲、乙两名考生选做同一道题的概率;
(2)设这4名考生中选做第15题的考生数为ξ,求ξ的分布列.
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超几何分布
例3在一次购物抽奖活动中,假设10张奖券中有一等奖奖券1张,可获价值50元的奖品,有二等奖奖券3张,每张可获价值10元的奖品,其余6张没有奖品.
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张,求中奖次数X的分布列;
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张,
①求顾客乙中奖的概率;
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元,求Y的分布列.
分析(1)从10张奖券中抽取1张,其结果有中奖和不中奖两种,故X服从两点分布.(2)从10张奖券中任意抽取2张,其中含有中奖的奖券的张数服从超几何分布.
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因此随机变量Y的分布列为
反思感悟 解决超几何分布问题的两个关键点
(1)超几何分布是概率分布的一种形式,一定要注意公式中字母的范围及其意义,解决问题时可以直接利用公式求解,但不能机械地记忆.
(2)超几何分布中,只要知道M,N,n,就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X=k),从而求出X的分布列.
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变式训练3老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵,规定至少要背出其中2篇才能及格.某同学只能背诵其中的6篇,试求:
(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列;
(2)该同学能及格的概率.
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概率的综合应用





(1)求随机变量ξ的分布列;
(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求P(AB).
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延伸探究 在本例条件下,试若求事件“甲、乙两队总得分之和大于4”的概率.
解:用E表示“甲、乙两队总得分之和大于4”这一事件,包括“总得分之和等于5”与“总得分之和等于6”.
用F表示“甲、乙两队总得分之和等于5”这一事件,包括“甲队3
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判断随机变量服从二项分布的方法
典例 1下面三个随机变量:
①随机变量X表示重复投掷一枚硬币n次,正面向上的次数;
②有一批产品共有N件,其中M件是次品,采用有放回抽取的方法,X表示n次抽取中出现次品的件数;
③随机变量X表示n次射击命中目标的次数.
其中,服从二项分布的是　　　　　.?
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答案:①②③
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典例 2气温的变化已引起人们的关注,据某地气象部门统计,该地区每年最低气温在-2 ℃以下的概率是 .设X为该地区从2020年到2025年最低气温在-2 ℃以下的年数,求X的分布列.
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方法点睛 判断随机变量是否服从二项分布的方法,关键是看它是否服从二项分布的三个特点:
(1)独立性:即试验之间互不影响且一次试验中,事件发生与否二者必居其一.
(2)重复性:即试验在相同条件下独立重复地进行了n次.
(3)稳定性:每次试验,事件发生与否的概率是不变的.
满足上述三个特点,该随机变量就服从二项分布.
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1.有8件产品,其中3件是次品,从中任取3件,若X表示取得次品的件数,则P(X≤1)=(　　)
答案:B
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3.某处有水龙头3个,调查表明每个水龙头被打开的可能性是0.1,随机变量X表示同时被打开的水龙头的个数,则P(X=2)=　　　　　(用数字作答).?
解析:由于每个龙头被打开的概率为0.1,根据二项分布概率计算公式有P(X=2)= ×(0.1)2×0.9=0.027.
答案:0.027
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4.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.
(1)求ξ的分布列;
(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.
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