人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册 4.2.4　第二课时　离散型随机变量的方差（共31张PPT）

第二课时　离散型随机变量的方差
课标阐释
思维脉络
1.通过实例,理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义.
2.会求离散型随机变量的方差、标准差.
3.会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.

激趣诱思
知识点拨
学校举行踢毽子大赛,某班要在甲、乙两名同学中选出一名同学参加学校的决赛.若甲、乙两名同学每分钟踢毽子个数X,Y的分布列分别为





问:该班选择哪名同学参加决赛更合适?
X
90
100
110
P
0.1
0.8
0.1
Y
95
100
105
P
0.3
0.4
0.3
激趣诱思
知识点拨
离散型随机变量的方差
激趣诱思
知识点拨
名师点析 离散型随机变量ξ的期望与方差
名词
数学期望
方差
定义
E(ξ)=ξ1p1+ξ2p2+…+ξnpn
D(ξ)=[ξ1-E(ξ)]2p1+[ξ2-E(ξ)]2p2+…+[ξn-E(ξ)]2pn
性质
(1)E(a)=a(a为常数)
(2)E(aξ)=aE(ξ)(a≠0)
(3)E(aξ+b)=aE(ξ)+b(a,b为常数,且a≠0)
(4)若ξ~B(n,p),则E(ξ)=np
(1)D(a)=0(a为常数)
(2)D(aξ)=a2D(ξ)(a≠0)
(3)D(aξ+b)=a2D(ξ)(a,b为常数,且a≠0)
(4)若ξ~B(n,p),则D(ξ)=npq(p+q=1)
数学
意义
E(ξ)是一个常数,它反映了随机变量取值的平均水平,亦称均值
D(ξ)是一个常数,它反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度
激趣诱思
知识点拨
微思考2
若随机变量X服从两点分布,则其方差D(X)的值为多少?能否利用均值不等式求方差的最大值?
激趣诱思
知识点拨
微练习
有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中有放回地任取3件,若ξ表示取到次品的个数,则ξ的标准差为　　　　.?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
求随机变量的方差与标准差
例1已知X的分布列如下:




(1)求X2的分布列;
(2)计算X的方差;
(3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟 方差的计算方法
方差的计算需要一定的运算能力,在随机变量X2的均值比较好计算的情况下,运用关系式D(X)=E(X2)-[E(X)]2不失为一种比较实用的方法.另外注意方差性质的应用,如D(aX+b)=a2D(X)(a≠0).
探究一
探究二
探究三
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变式训练1已知η的分布列为



(1)求η的方差及标准差;
(2)设Y=2η-E(η),求D(Y).
探究一
探究二
探究三
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两点分布与二项分布的方差



A.10 B.30
C.15 D.5
答案:A
探究一
探究二
探究三
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反思感悟 求离散型随机变量的均值与方差的关注点
(1)写出离散型随机变量的分布列.
(2)正确应用均值与方差的公式进行计算.
(3)对于二项分布,关键是通过题设环境确定随机变量服从二项分布,然后直接应用公式计算.
探究一
探究二
探究三
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延伸探究 本例题条件不变,求E(5X+2).
探究一
探究二
探究三
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均值、方差的实际应用
例3甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ,η,已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
(1)求ξ,η的分布列;
(2)求ξ,η的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击水平.
分析(1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率,再列出ξ,η的分布列.
(2)要比较甲、乙两射手的射击水平,需先比较两射手击中环数的均值,然后再看其方差值.
探究一
探究二
探究三
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解:(1)由题意得0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.
因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.
所以ξ,η的分布列分别为
ξ
10
9
8
7
P
0.5
0.3
0.1
0.1
η
10
9
8
7
P
0.3
0.3
0.2
0.2
探究一
探究二
探究三
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(2)由(1)得
E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2;
E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7;
D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96;
D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.
由于E(ξ)>E(η),D(ξ)探究一
探究二
探究三
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反思感悟 利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤
1.比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高.
2.在均值相等或接近的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定.
3.下结论.依据均值和方差做出结论.
探究一
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变式训练2甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量也大致相等,而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别如下,
甲保护区:


乙保护区:


试评定这两个保护区的管理水平.
X
0
1
2
3
P
0.3
0.3
0.2
0.2
Y
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4
探究一
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解:甲保护区违规次数X的数学期望和方差为
E(X)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3,
D(X)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.
乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差为
E(Y)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,
D(Y)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.
因为E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同,但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动,乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定,所以乙保护区的管理水平比甲高.
探究一
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超几何分布的均值与方差
设随机变量X服从参数为N,n,M的超几何分布.则X的均值为
探究一
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典例 设在12件同类型的零件中有2件次品,抽取3次进行检验,每次抽取1件,并且取出后不再放回,若以ξ表示取到的次品数,求ξ的分布列、均值和方差.
探究一
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变式训练从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数.
(1)求ξ的分布列;
(2)求ξ的均值与方差;
(3)求“所选3人中男生人数ξ≤1”的概率.
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1.已知X~B(n,p),E(X)=8,D(X)=1.6,则n与p的值分别是(　　)
A.n=100,p=0.08 B.n=20,p=0.4
C.n=10,p=0.2 D.n=10,p=0.8
解析:由于X~B(n,p),E(X)=8,D(X)=1.6,
所以np=8,np(1-p)=1.6,
解得n=10,p=0.8.
答案:D
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2.(2018全国Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3
解析:由题意,得D(X)=np(1-p)=10p(1-p)=2.4,
∴p(1-p)=0.24,解得p=0.4或p=0.6.

∴p>0.5,∴p=0.6(其中p=0.4舍去).
答案:B
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3.已知离散型随机变量X的分布列如下表.若E(X)=0,D(X)=1,则a=　　　　　,b=　　　　　.?
探究一
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4.学校举行定点投篮比赛,规定每人投篮4次,投中一球得2分,没有投中得0分,假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是 ,小强每次投篮投中的概率都是p(0 (1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率;
(2)求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列和期望;
(3)小强投篮4次,投中的次数为X,若期望E(X)=1,求p和X的方差D(X).
探究一
探究二
探究三
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