人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册 4.2.5　正态分布（共31张PPT）

4.2.5　正态分布
课标阐释
思维脉络
1.通过实例认识分布曲线的特点及曲线所表示的意义.了解3σ原则,会求随机变量在特殊区间内的概率.
2.通过本节的学习,体会函数思想、数形结合思想在实际中的运用.

激趣诱思
知识点拨
正态分布是连续型随机变量所服从的一种重要分布,它有着广泛的应用,比如在医学领域有不少医学现象服从或近似服从正态分布,如同性别、同年龄儿童的身高和体重,同性别健康成人的红细胞数、血红蛋白含量、脉搏数等.在这类情形下,利用正态分布可以很容易地确定其数值出现在任意指定范围内的概率,尤其是医学参考值范围的估计.另外,像实验中的测量误差一般也是服从正态分布的,利用这一点,可以准确地进行误差分析和质量控制.
激趣诱思
知识点拨
一、正态曲线




2.正态曲线的性质
(1)正态曲线关于x=μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置),具有中间高、两边低的特点;
(2)正态曲线与x轴所围成的图形面积为1;
(3)σ决定正态曲线的“胖瘦”:σ越大,说明标准差越大,数据的集中程度越弱,所以曲线越“胖”;σ越小,说明标准差越小,数据的集中程度越强,所以曲线越“瘦”.
激趣诱思
知识点拨
名师点析 (1)正态曲线位于x轴上方,与x轴不相交;
(2)曲线在x=μ时处于最高点,并由此处向左右两边延伸时,曲线逐渐降低,其图像“中间高,两边低”;
(3)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;
(4)正态曲线完全由变量μ和σ确定,参数μ是反映随机变量的平均水平的特征数,所以用样本的均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本的标准差去估计.
激趣诱思
知识点拨
微思考


提示:2
激趣诱思
知识点拨
微练习
关于正态曲线特点的描述:
①曲线关于直线x=μ对称,这条曲线在x轴上方;
②曲线关于直线x=σ对称,这条曲线只有当x∈(-3σ,3σ)时才在x轴上方;
③曲线关于y轴对称,曲线对应的函数是一个偶函数;
④曲线在x=μ时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低;
⑤曲线的对称轴由μ确定,曲线的形状由σ确定;
⑥σ越大,曲线越“矮胖”,σ越小,曲线越“高瘦”.
说法正确的是(　　)
A.①④⑤⑥　 　B.②④⑤ C.③④⑤⑥ D.①⑤⑥
激趣诱思
知识点拨
解析:参照正态曲线的性质,正态曲线位于x轴上方,只有当μ=0时,正态曲线才关于y轴对称,因此A选项正确.
答案:A
激趣诱思
知识点拨
二、正态分布
1.正态分布:一般地,如果随机变量X落在区间[a,b]内的概率,总是等于φμ,σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a,b]内围成的面积,则称X服从参数为μ与σ的正态分布,记作X~N(μ,σ2).
此时φμ,σ(x)称为X的概率密度函数,此时μ是X的均值,σ是X的标准差,σ2是X的方差.
激趣诱思
知识点拨
2.随机变量X在三个特殊区间内取值的概率及3σ原则
(1)在三个特殊区间内取值的概率
若X~N(μ,σ2),则
①P(|x-μ|≤σ)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.3%,
②P(|x-μ|≤2σ)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.4%,
③P(|x-μ|≤3σ)=P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7%.
(2)3σ原则
由于随机变量X在(-∞,+∞)内取值的概率为1,又由P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7%知,X约有99.7%的可能会落在距均值3个标准差的范围之内,也就是说只有约0.3%的可能会落入这一范围之外(这样的事件可看成小概率事件),这一结论通常称为正态分布的“3σ原则”.
激趣诱思
知识点拨
名师点析 X几乎都取值于区间(μ-3σ,μ+3σ)之内,而在此区间以外取值的概率是极小的,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.这是统计中常用的假设检验方法的基本思想.
3.标准正态分布
μ=0且σ=1的正态分布称为标准正态分布,记作X~N(0,1).
激趣诱思
知识点拨
微思考
P(X≥μ)和P(X≤μ)有什么关系?各等于多少?
提示:P(X≥μ)=P(X≤μ)=0.5.
微练习1
关于正态分布N(μ,σ2),下列说法正确的是(　　)
A.随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件
B.随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件
C.随机变量落在[-3σ,3σ]之外是一个小概率事件
D.随机变量落在[μ-3σ,μ+3σ]之外是一个小概率事件
解析:∵P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997,∴P(X>μ+3σ或X<μ-3σ)=1-P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)=1-0.997=0.003.∴随机变量落在[μ-3σ,μ+3σ]之外是一个小概率事件.
答案:D
激趣诱思
知识点拨
微练习2
已知随机变量X服从正态分布,且X落在区间(0.2,+∞)内的概率为0.5,那么相应的正态曲线f(x)在x=　　　　　时达到最高点.?
解析:由正态曲线关于直线x=μ对称,且在x=μ处达到峰值和其落在区间(μ,+∞)内的概率为0.5,得μ=0.2.
答案:0.2
微练习3
正态分布N(2σ,σ2)在区间[σ,3σ]内取值的概率约为　　　　　.?
解析:在N(2σ,σ2)中,μ=2σ,P(σ≤X≤3σ)=P(2σ-σ≤X≤2σ+σ)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683.
答案:0.683
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
正态曲线及其性质
例1某次我市高三教学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多,成绩分布的直方图可视为正态分布),则由如图所示曲线可得下列说法中正确的一项是(　　)
A.甲科总体的标准差最小
B.丙科总体的平均数最小
C.乙科总体的标准差及平均数都居中
D.甲、乙、丙的总体的平均数不相同
解析:由题中图像可知三科总体的平均数(均值)相等,由正态曲线的性质,可知σ越大,正态曲线越扁平;σ越小,正态曲线越尖陡,故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.故选A.
答案:A
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
反思感悟 利用正态曲线的性质求参数μ,σ
(1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此性质结合图像求μ.


(3)由曲线的“胖瘦”区分σ的大小.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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当堂检测
正态分布下的概率计算
例2(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)=(　　)
A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2
(2)在某项测量中,测量结果服从正态分布N(1,4),求随机变量X在[-1,1]内取值的概率.
分析(1)根据正态曲线的对称性进行求解;(2)题可先求出X在[-1,3]内取值的概率,然后由正态曲线关于x=1对称知,X在[-1,1]内取值的概率就等于在[-1,3]内取值的概率的一半.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(1)解析:∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2),
∴μ=2,对称轴是x=2.∵P(ξ<4)=0.8,
∴P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2,
∴P(0<ξ<4)=0.6,∴P(0<ξ<2)=0.3.故选C.
答案:C
(2)解:由题意得μ=1,σ=2,
所以P(-1≤X≤3)=P(1-2≤X≤1+2)≈0.683.
又因为正态曲线关于x=1对称,
所以P(-1≤X≤1)=P(1≤X≤3)= P(-1≤X≤3)=0.341 5.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
反思感悟 服从正态分布的随机变量在某个区间内取值概率的求解策略
(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
(2)注意概率值的求解转化:
①P(X ②P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a);


(3)熟记P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)的值.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
变式训练2设随机变量X~N(2,9),若P(X>c+1)=P(X (1)求c的值;
(2)求P(-4≤X≤8).
解:(1)由X~N(2,9)可知,密度函数关于直线x=2对称(如图所示),
又P(X>c+1)=P(X 故有2-(c-1)=(c+1)-2,
所以c=2.
(2)P(-4≤X≤8)=P(2-2×3≤X≤2+2×3)≈0.954.
探究一
探究二
探究三
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正态分布的实际应用
例3设在一次数学考试中,某班学生的分数X~N(110,202),且知试卷满分150分,这个班的学生共54人,求这个班在这次数学考试中及格(即90分及90分以上)的人数和130分以上的人数.
分析将P(X≥90)转化为P(X-μ≥-σ),然后利用对称性及概率和为1,得到2P(X-μ<-σ)+0.683=1,进而求出P(X≥90)的值,同理可解得P(X>130)的值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:μ=110,σ=20,P(X≥90)=P(X-110≥-20)=P(X-μ≥-σ),
∵P(X-μ<-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ)
≈2P(X-μ<-σ)+0.683=1,
∴P(X-μ<-σ)=0.158 5.
∴P(X≥90)=1-P(X-μ<-σ)=1-0.158 5=0.841 5.
∴54×0.841 5≈45(人),即及格人数约为45人.
∵P(X>130)=P(X-110>20)=P(X-μ>σ),
∴P(X-μ<-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ)≈0.683+2P(X-μ>σ)=1,
∴P(X-μ>σ)=0.158 5,
即P(X>130)=0.158 5.
∴54×0.158 5≈9(人),
即130分以上的人数约为9人.
探究一
探究二
探究三
素养形成
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反思感悟 1.本题利用转化的思想方法,把普通的区间转化为3σ区间,由特殊区间的概率值求出.
2.解答正态分布的实际应用题,其关键是如何转化,同时应熟练掌握正态分布在[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]三个区间内的概率.在此过程中用到归纳思想和数形结合思想.
探究一
探究二
探究三
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延伸探究 如果把题设条件“这个班的学生共54人”换成“现已知该班同学中不及格的人数有9人”,求相应结论.
解:∵X~N(110,202),
∴μ=110,σ=20,
∴P(110-20≤X≤110+20)≈0.683,
∴X<90的概率为 ×(1-0.683)=0.158 5.
设该班学生共有x人,则0.158 5x=9,
解得x≈57(人).
∴P(X≥90)=1-0.158 5=0.841 5,
∴这个班这次数学考试中及格的人数为0.841 5×57≈48(人),又P(X<90)=P(X>130),
∴130分以上的人数有9人.
探究一
探究二
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数形结合思想与转化思想在正态分布中的应用
典例 设X~N(5,1),求P(6 分析画出正态曲线,观察可得P(6 解:μ=5,σ=1.画出正态曲线如图所示.
∵P(4≤X≤6)=P(5-1≤X≤5+1)≈0.683,
P(3 ∴P(3 =P(3 由正态曲线的对称性,可得P(3探究一
探究二
探究三
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方法点睛 利用正态曲线的对称性,将随机变量在所求区间内的概率转化为特殊区间的概率的形式,然后再由概率特殊值进一步求解是解决此类问题的一般思路.
探究一
探究二
探究三
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1.下列函数是正态分布密度函数的是(　　)
答案:B
探究一
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2.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(0,σ2).若ξ在(-∞,-1)内取值的概率为0.1,则ξ在(0,1)内取值的概率为(　　)
A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1
解析:∵ξ服从正态分布N(0,σ2),∴曲线的对称轴是直线x=0.
∵P(ξ<-1)=0.1,∴P(ξ>1)=0.1.
∴ξ在区间(0,1)内取值的概率为0.5-0.1=0.4,故选B.
答案:B
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探究二
探究三
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3.某县农民月均收入服从N(500,202)的正态分布,则此县农民月均收入在500元到520元间人数的百分比约为　　　　　.?
解析:因为月收入服从正态分布N(500,202),
所以μ=500,σ=20,μ-σ=480,μ+σ=520.
所以月均收入在[480,520]范围内的概率为0.683.
由图像的对称性可知,此县农民月均收入在500到520元间人数的百分比约为34.15%.
答案:34.15%
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探究二
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当堂检测
4.某种零件的尺寸ξ(单位:cm)服从正态分布N(3,12),则不属于区间[1,5]这个尺寸范围的零件数约占总数的　　　　　.?
解析:零件尺寸属于区间[μ-2σ,μ+2σ],
即零件尺寸在[1,5]内取值的概率约为95.4%,
故零件尺寸不属于区间[1,5]内的概率为1-95.4%=4.6%.
答案:4.6%
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
5.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,求ξ在(0,2)内取值的概率.
解:如图,易得P(0<ξ<1)=P(1<ξ<2),故P(0<ξ<2)=2P(0<ξ<1)=2×0.4=0.8.