人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册 3.1.3　第二课时　组合数的应用（共28张PPT）

第二课时　组合数的应用
课标阐释
思维脉络
1.学会运用组合的概念,分析简单的实际问题.
2.能够运用排列、组合知识解决相关问题.

激趣诱思
知识点拨
某校开展冬季校运会,招募了20名志愿者,他们的编号分别是1号,2号,…,19号,20号.若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作,其中两个编号较小的人在一组,两个编号较大的在另一组.那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取方法有多少种?
激趣诱思
知识点拨
应用组合知识解决实际问题的基本步骤
1.判断:判断实际问题是否是组合问题.
2.方法:选择利用直接法还是间接法解题.
3.计算:利用组合数公式结合两个计数原理解题.
4.结论:根据计算结果写出方案个数.
名师点析 有限制条件的组合问题的求解策略
(1)解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除法)”.若用直接法求解,则应坚持“特殊元素优先选取”的原则.用间接法求解的原则是“正难则反”.
(2)在具体计算组合数时,要注意灵活选择组合数的两个公式以及两个性质.
激趣诱思
知识点拨
微练习
某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案种数为(　　)
A.14 B.24 C.28 D.48




答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
无限制条件的组合问题
例1现有10名学生,男生6人,女生4人.
(1)要选2名男生去参加乒乓球赛,有多少种不同选法?
(2)要选男、女生各2人参加乒乓球赛,有多少种不同选法?
(3)要选2人去参加乒乓球赛,有多少种不同选法?
分析分清是组合还是排列问题,与顺序有关即为排列,与顺序无关即为组合,一定要理解清楚题意.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟 无限制条件组合问题的求解策略
解简单的组合应用题时,要先判断它是不是组合问题,取出的元素只是组成一组,与顺序无关则是组合问题;取出的元素排成一列,与顺序有关则是排列问题.只有当该问题能构成组合模型时,才能运用组合数公式求出其种数.在解题时还应注意两个计数原理的运用,在分类和分步时,注意有无重复或遗漏.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练1若7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人,则不同的安排方案共有　　　　　种.(用数字作答)?



答案:140
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
有限制条件的组合问题
例2某地区发生了特别重大的交通事故.某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员.已知这10名医疗专家中有4名是外科专家.问:
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种?
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种?
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种?
分析本题属于组合问题,解答本题的关键是分清“恰有”“至多”“至少”的含义,正确地分类或分步解决.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟 常见的有限制条件的组合问题及解题方法
1.特殊元素:若要选取的元素中有特殊元素,则要以有无特殊元素,特殊元素的多少作为分类依据.
2.含有“至多”“至少”等限制语句:要分清限制语句中所包含的情况,可以以此作为分类依据,或采用间接法求解.
3.分类讨论思想:解题的过程中要善于利用分类讨论思想,将复杂问题分类表达,逐类求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究 例题条件不变,所求问题改为:
(1)抽调的6名专家中都不是外科专家的抽调方法有多少种?
(2)抽调的6名专家中不都是非外科专家的抽调方法有多少种?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
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分组(分配)问题
例36本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法:
(1)分给甲、乙、丙三人,每人两本;
(2)分为三份,每份两本;
(3)分为三份,一份一本,一份两本,一份三本;
(4)分给甲、乙、丙三人,一人一本,一人两本,一人三本;
(5)分给甲、乙、丙三人,每人至少一本.
分析(1)是平均分组问题,与顺序无关,相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人,可以理解为一个人一个人地来取;(2)是“均匀分组问题”;(3)是“不均匀分组问题”,分三步进行;(4)分组后再分配;(5)明确“至少一本”包括“2,2,2型”、“1,2,3型”、“1,1,4型”.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
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探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
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反思感悟 分组(分配)问题的求解策略
1.分清是分组问题还是分配问题,是解题的关键.
2.分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种:
(1)完全均匀分组,每组的元素个数均相等.
(2)部分均匀分组,应注意不要重复,有n组均匀,最后必须除以n!.
(3)完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
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变式训练2将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有　　　　　种(用数字作答).?
答案:36
探究一
探究二
探究三
探究四
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排列、组合的综合应用
例4有5个男生和3个女生,从中选出5人担任5门不同学科的课代表,求分别符合下列条件的选法数:
(1)有女生但人数必须少于男生;
(2)某女生一定担任语文课代表;
(3)某男生必须包括在内,但不担任数学课代表;
(4)某女生一定要担任语文课代表,某男生必须担任课代表,但不担任数学课代表.
分析(1)按选中女生的人数多少分类选取.(2)采用先选后排的方法.(3)先安排该男生,再选出其他人担任四科课代表.(4)先安排语文课代表的女生,再安排“某男生”课代表,最后选其他人担任余下三科的课代表.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟 解决排列、组合综合问题要遵循两个原则
1.按事情发生的过程进行分步.
2.按元素的性质进行分类.解决时通常从以下三个角度考虑:
(1)以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;
(2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置;
(3)先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列或组合数.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练3某班举行班会,准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言,要求甲、乙两名同学至少有一人参加,且若甲、乙同时参加,则他们发言时不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为(　　)
A.360 B.520
C.600 D.720




答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
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构建模型法解应用题
典例 上一个有10级的台阶,每步可上一级或两级,共有多少种上台阶的方法?
方法点睛 利用台阶总数为定值10,步数可变,分别设出每步上一级台阶的步数x和每步上两级台阶的步数y,找出等量关系,列出方程.构建方程模型的关键是正确设出相关变量,找到等量关系.用赋值法讨论每种情况,正确求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
A.7
B.4或7
C.7或11
D.4或7或11
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
2.有5名同学站成一排拍毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两位同学不能相邻,则不同的站法有(　　)
A.8种 B.16种
C.32种 D.48种




答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:190
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
4.(2018全国Ⅰ)从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有　　　　　种.(用数字填写答案)?






答案:16
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
5.要从6名男生4名女生中选出5人参加一项活动,按下列要求,各有多少种不同的选法?
(1)甲当选且乙不当选;
(2)至多有3名男生当选.