人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册 3.3　第一课时　二项式定理（共26张PPT）

第一课时　二项式定理
课标阐释
思维脉络
1.理解二项式定理是代数乘法公式的推广.
2.理解并掌握二项式定理,能利用计数原理证明二项式定理.
3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

激趣诱思
知识点拨
我们在初中学习了(a+b)2=a2+2ab+b2,试用多项式的乘法推导(a+b)3,(a+b)4的展开式?上述两个等式的右侧有何特点?你能用组合的观点说明(a+b)4是如何展开的吗?
激趣诱思
知识点拨
二项式定理
激趣诱思
知识点拨
名师点析 二项式定理形式上的特点
(1)二项展开式有n+1项,而不是n项.

(4)在排列方式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,次数由n次逐项减少1次直到0次,同时字母b按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到n次.
激趣诱思
知识点拨
微思考
(a+b)n与(b+a)n展开式相同吗?
探究一
探究二
探究三
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二项式定理的应用
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反思感悟 运用二项式定理的解题策略
(1)正用:求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开,展开时注意二项展开式的特点:前一个字母是降幂,后一个字母是升幂.形如(a-b)n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子,先化简再用二项式定理展开.
(2)逆用:逆用二项式定理可将多项式化简,对于这类问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.
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变式训练1化简(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1的结果为(　　)
A.x4 B.(x-1)4
C.(x+1)4 D.x4-1



答案:A
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二项式系数与项的系数问题
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反思感悟 二项式系数与项的系数的求解策略
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延伸探究 本例问题(1)条件不变,问题改为“求第4项的二项式系数和第4项的系数”.
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求展开式中的特定项


(1)求n;
(2)求含x2项的系数;
(3)求展开式中所有的有理项.
分析写出通项Tk+1→令k=5,x的指数为零→(1)求出n值→修正通项公式→(2)求x2项的系数→考察x指数为整数→分析求出k值→(3)写出有理项
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反思感悟 1.求二项展开式的特定项的常见题型

(2)求含xk的项(或xpyq的项);
(3)求常数项;
(4)求有理项.
2.求二项展开式的特定项的常用方法
(1)对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次项);
(2)对于有理项,一般是先写出通项公式,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解;
(3)对于二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致.
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答案:(1)207　(2)4
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构造法的应用
可通过构造不同的二项式,利用二项式的不同展开方法证明组合恒等式问题;
可通过构造函数,利用二项式定理的相关知识来证明等式或不等式问题.
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分析观察等式右边的组合数的特征,联想二项式定理可知它是(1+x)2n的展开式中xn-1的系数,这样问题就转化为等式左边也应该是(1+x)2n的展开式中xn-1的系数,而等式左边每一项的各因式又都是(1+x)n展开式中各项的系数,所以想到要将(1+x)2n转化为(1+x)n(1+x)n再分别展开.
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方法点睛 证明组合恒等式关键在于构造二项式,利用二项展开式比较系数得到相应的恒等式.有时取二项式中的字母为某些特殊值也可得到相应的组合等式,故在解题时要注意合理赋值.
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1.二项式(a+b)2n的展开式的项数是(　　)
A.2n B.2n+1
C.2n-1 D.2(n+1)
解析:根据二项式定理可知,展开式共有2n+1项.
答案:B
答案:C
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(1)展开式中第4项的二项式系数;
(2)展开式中第4项的系数;
(3)展开式的第4项.