人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册 4.1.2　乘法公式与全概率公式　4.1.3　独立性与条件概率的关系（共30张PPT）

4.1.2　乘法公式与全概率公式　
4.1.3　独立性与条件概率的关系
课标阐释
思维脉络
1.结合古典概型,会用乘法公式计算概率.
2.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率.
*了解贝叶斯公式.
3.结合古典概型,了解条件概率与独立性的关系.

激趣诱思
知识点拨
某班有两个课外活动小组,第一小组有足球票6张,排球票4张;第二小组有足球票4张,排球票6张.事件A为“甲从第一小组的10张票中任抽1张”,事件B为“乙从第二小组的10张票中任抽1张”.事件A,B之间有怎样的关系?
激趣诱思
知识点拨
一、乘法公式与全概率公式
1.乘法公式:由条件概率的计算公式P(B|A)= 可知,
P(BA)=P(A)P(B|A),这就是说,根据事件A发生的概率,以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率,可以求出A与B同时发生的概率.一般地,这个结论称为乘法公式.
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知识点拨
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微练习1
已知P(A)=0.3,P(B|A)=0.2,则P(BA)=　　　　　.?
解析:P(BA)=P(A)·P(B|A)=0.3×0.2=0.06.
答案:0.06
微练习2
已知P(A)=0.5,P(B|A)=0.3,P(B| )=0.4,则P(B)=　　　　　.?
解析:P(B)=P(A)·P(B|A)+P( )·P(B| )=0.5×0.3+0.5×0.4=0.35.
答案:0.35
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微练习3
已知P(A)=0.6,P(B|A)=0.4,P(B| )=0.3,则P(B)=(　　)
A.0.36
B.0.24
C.0.18
D.0.30
解析:P(B)=P(A)P(B|A)+P( )P(B| )=0.6×0.4+0.4×0.3=0.36.
答案:A
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二、独立性与条件概率的关系
1.事件的相互独立性:一般地,当P(AB)=P(A)P(B)时,就称事件A与B相互独立(简称独立).事件A与B相互独立的直观理解是,事件A是否发生不会影响事件B发生的概率,事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率.
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2.独立性与条件概率的关系:当P(B)>0且P(AB)=P(A)P(B)时,由条件概率的计算公式有 ,即P(A|B)=P(A).这就是说,此时事件A发生的概率与已知事件B发生时事件A发生的概率相等,也就是事件B的发生,不会影响事件A发生的概率.
类似地,可以看出,如果P(A|B)=P(A),那么一定有P(AB)=P(A)P(B).
因此,当P(B)>0时,A与B独立的充要条件是P(A|B)=P(A).
这也就同时说明,当P(A|B)≠P(A)时,事件B的发生会影响事件A发生的概率,此时A与B是不独立的.事实上,“A与B独立”也经常被说成“A与B互不影响”等.
探究一
探究二
探究三
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乘法公式与全概率公式
例11号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球.问从2号箱取出红球的概率是多少?
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反思感悟 复杂事件概率的求法
求复杂事件的概率,往往可以把它分解成若干个互不相容的简单事件之并,然后利用条件概率和乘法公式,求出这些简单事件的概率,最后利用概率的可加性,得到最终结果,这一方法的一般化就是全概率公式.
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变式训练1甲、乙、丙三人向同一飞机射击,设甲、乙、丙射中的概率分别为0.4,0.5,0.7,又设只有一人射中,飞机坠落的概率为0.2,若有二人射中,飞机坠落的概率为0.6,若有三人射中,飞机必坠落.求飞机坠落的概率.
解:记A={飞机坠落},Bi={i个人射中飞机},i=1,2,3.
B1={甲射中,乙、丙未射中}+{乙射中,甲、丙未射中}+{丙射中,甲、乙未射中},
∴P(B1)=0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7=0.36.
同理P(B2)=0.6×0.5×0.7+0.4×0.5×0.7+0.4×0.5×0.3=0.41.
P(B3)=0.4×0.5×0.7=0.14.
再由题设,P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6,P(A|B3)=1.利用全概率公式,
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事件独立性的判断
例2把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次,判断下列各组事件是否独立?
(1)A={掷出偶数点},B={掷出奇数点};
(2)A={掷出偶数点},B={掷出3的倍数点};
(3)A={掷出偶数点},B={掷出的点数小于4}.
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反思感悟 两个事件是否独立的判断
(1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
(2)定义法:当P(AB)=P(A)P(B)时,事件A,B独立.
(3)条件概率法:当P(A)>0时,可用P(B|A)=P(B)判断.
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变式训练2判断下列事件是否独立.
(1)甲组有3名男生,2名女生;乙组有2名男生,3名女生.现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”.
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”.
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解:(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响,所以两个事件独立.
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相互独立事件概率的计算
例3小王某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求:
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率;
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
分析(1)这三列火车之间是否正点到达互不影响,因此本题是相互独立事件同时发生的概率问题,注意两列正点到达所包含的情况.
(2)这三列火车至少有一列正点到达的对立事件是三列火车都没正点到达,这种情况比正面列举简单些,因此利用对立事件的概率公式求解.
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反思感悟 与相互独立事件有关的概率问题求解策略
明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.
一般地,已知两个事件A,B,它们的概率分别为P(A),P(B),那么:
(1)A,B中至少有一个发生为事件A+B.
(2)A,B都发生为事件AB.
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它们之间的概率关系如表所示:
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延伸探究 本例条件下,求恰有一列火车正点到达的概率.
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方程(组)思想在概率中的应用





(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率;
(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个是一等品的概率.
分析设甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品为事件A,B,C,由题意可建立关于P(A),P(B),P(C)的方程组,从而确定P(A),P(B),
P(C);再由对立事件和独立事件同时发生的概率公式求解.
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解:(1)设甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品为事件A,B,C.
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方法点睛 已知基本事件的概率求与其有关的事件的概率时,通常分析相关事件的性质,利用条件概率公式、相互独立事件公式直接求解;若已知基本事件的相关概率求基本事件的概率,则需要在分析相关事件的性质后,构建方程(组)求解.
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1.掷一枚硬币两次,记事件A=“第一次出现正面”,B=“第二次出现反面”,则有(　　)
A.A与B相互独立 B.P(A∪B)=P(A)+P(B)
C.A与B互斥 D.P(AB)=
解析:事件A的发生与否对事件B的发生没有影响,故A正确;
由于A与B可以同时发生,所以事件A与B不互斥,故B,C错误;
对于选项D,∵A,B相互独立,
∴P(AB)=P(A)·P(B)= ,∴D错误.
答案:A
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答案:C
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3.在一只布袋中有形状大小一样的32颗棋子,其中有16颗红棋子,16颗绿棋子.某人无放回地依次从中摸出1颗棋子,则第1次摸出红棋子,第2次摸出绿棋子的概率是　　　　　.?
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