人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.2.3　直线与平面的夹角word含答案

1.2.3　直线与平面的夹角
课后篇巩固提升
基础达标练
1.设直线l与平面α相交,且l的方向向量为a,α的法向量为n,若=2π3,则l与α所成的角为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2π3 B.π3 C.π6 D.5π6
解析线面角的范围是0,π2.
∵=2π3,∴l与法向量所在直线所成角为π3,
∴l与α所成的角为π6.
答案C
2.若平面α的一个法向量为n=(4,1,1),直线l的一个方向向量a=(-2,-3,3),则l与α所成角的余弦值为(　　)
A.-1111 B.1111 C.-11011 D.91333
解析设α与l所成的角为θ,则sin θ=|cos|=|(-2,-3,3)·(4,1,1)|4+9+9×16+1+1=-4311=41133,故直线l与α所成角的余弦值为1-(41133)?2　=91333.
答案D
3.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面BDE所成的角为(　　)

　　　　　　　　　　　　　　　　
A.π6 B.π3 C.π2 D.5π6

解析以D为原点建立空间直角坐标系,如图,
则DB=(1,1,0),DE=0,1,12,
设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),∴DB·n=0,DE·n=0,
可得平面BDE的法向量n=(1,-1,2),
而BA1=(0,-1,1),
∴cos=1+223=32,∴=30°.
∴直线A1B与平面BDE成60°角.
答案B
4.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为94,底面是边长为3的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为(　　)
A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6
解析如图所示,由棱柱体积为94,底面正三角形的边长为3,可求得棱柱的高为3.设P在平面ABC上射影为O,则可求得AO长为1,故AP长为12+(3)2　=2.故∠PAO=π3,即PA与平面ABC所成的角为π3.

答案B
5.在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(1,-2,0),B(2,1,6),则向量AB与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为　　　　.?
解析设平面xOz的法向量为n=(0,t,0)(t≠0),AB=(1,3,6),所以cos=n·AB|n||AB|　=3t4|t|,因为∈[0,π],所以sin=1-(3t4|t|)?2　=74.
答案74
6.正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正弦值为　　　　.?
解析设正方体的棱长为1,建立空间直角坐标系,如图所示,

则D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1).平面ACD1的一个法向量为DB1=(1,1,1).又BB1=(0,0,1),
则sin=|cos|
=|DB1·BB1||DB1||BB1|　=13×1=33.
答案33
7.正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为　　　　　.?
解析设三棱柱的棱长为1,以B为原点,建立坐标系如图,

则C1(0,1,1),A32,12,0,AC1=-32,12,1,
又平面BB1C1C的一个法向量n=(1,0,0),
设AC1与平面BB1C1C的夹角为θ.
sin θ=|cos|=|AC1·n||AC1||n|=64,
∴cos θ=1-sin2θ=104.
答案104
8.

如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,A1D1的中点.
(1)求直线A1C与DE所成角的余弦值;
(2)求直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值.
解以A为坐标原点,分别以AB,AD,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Axyz.

(1)A1(0,0,a),C(a,a,0),
D(0,a,0),Ea,a2,0,∴A1C=(a,a,-a),
DE=a,-a2,0,
∴cos=A1C·DE|A1C||DE|　=1515,
故A1C与DE所成角的余弦值为1515.
(2)连接DB1,∵∠ADE=∠ADF,
∴AD在平面B1EDF内的射影在∠EDF的平分线上.
又B1EDF为菱形,∴DB1为∠EDF的平分线,
故直线AD与平面B1EDF所成的角为∠ADB1.
由A(0,0,0),B1(a,0,a),D(0,a,0),
得DA=(0,-a,0),DB1=(a,-a,a),
∴cos=DA·DB1|DA||DB1|　=33,
又直线与平面所成角的范围是0,π2,
故直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值为33.
9.(2019浙江,19)

如图,已知四棱锥P-ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.
(1)证明:CE∥平面PAB;
(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.

解(1)如图,设PA中点为F,连接EF,FB.
因为E,F分别为PD,PA中点,所以EF∥AD且EF=12AD,
又因为BC∥AD,BC=12AD,
所以EF∥BC且EF=BC,
即四边形BCEF为平行四边形,所以CE∥BF.
∵BF?平面PAB,CE?平面PAB,
因此CE∥平面PAB.
(2)分别取BC,AD的中点为M,N,连接PN交EF于点Q,连接MQ,
因为E,F,N分别是PD,PA,AD的中点,所以Q为EF中点.
在平行四边形BCEF中,MQ∥CE.
由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD.
由DC⊥AD,N是AD的中点得BN⊥AD.
所以AD⊥平面PBN.
由BC∥AD得BC⊥平面PBN,
那么平面PBC⊥平面PBN.
过点Q作PB的垂线,垂足为H,连接MH.
MH是MQ在平面PBC上的射影,
所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角.
设CD=1.
在△PCD中,由PC=2,CD=1,PD=2得CE=2,
在△PBN中,由PN=BN=1,PB=3得QH=14,
在Rt△MQH中,QH=14,MQ=2,
所以sin∠QMH=28.
所以,直线CE与平面PBC所成角的正弦值是28.
能力提升练
1.

如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)
A.63　　　　　　　　　　B.255
C.55 D.105

解析如图所示,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,1),C1(0,2,1),
设BC1与平面BB1D1D所成角的大小为θ,
∴BC1=(-2,0,1).
连接AC,易证AC⊥平面BB1D1D,
∴平面BB1D1D的一个法向量为a=AC=(-2,2,0).
∴所求角的正弦值为sin θ=|cos|=|a·BC1||a||BC1|　=48×5=105.
答案D
2.

如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ABB1⊥BC,且A1C与底面成45°角,AB=BC=2,则该棱柱体积的最小值为(　　)
A.43 B.33 C.4 D.3
解析由已知得BC⊥AB,平面A1ABB1⊥平面ABC且交线为AB,故点A1在平面ABC上的射影D在AB上.
由A1C与底面成45°角得A1D=DC,当CD最小即CD=BC时A1D最小,此时Vmin=12·AB·BC·A1D=12×2×2×2=4.
答案C
3.AB∥α,AA'⊥α, A'是垂足,BB'是α的一条斜线段,B'为斜足,若AA'=9,BB'=63,则直线BB'与平面α所成角的大小为　　　　　.?
答案60°
4.

如图,圆锥的高PO=2,底面☉O的直径AB=2,C是圆上一点,且∠CAB=30°,D为AC的中点,则直线OC和平面PAC所成角的余弦值为　　　　.?
解析设点O到平面PAC的距离为d,设直线OC和平面PAC所成角为α,则由等体积法得,VO-PAC=VP-OAC,即13S△PAC·d=13|PO|·S△OAC,
∴d=2·12·32·1234·(3)2=23,
∴sin α=d|CO|=23,则cos α=73.
答案73

5.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.求EB与底面ABCD所成角的正弦值.
解由向量加法知EB=EC+CB=12PC+CB=12(PD+DC)+CB,设|PD|=1,则|DC|=1,|CB|=1,且PD,DC,CB两两垂直,可得|EB|=62,
∴EB·DP=-12,∴cos=EB·DP|EB||DP|　=-1262=-66,∴直线EB与底面ABCD所成角的正弦值为66.
素养培优练
　在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,在侧棱CC1上求一点P,使得直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为32.
解如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

设CP=m(m>0),则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),
所以BD=(-1,-1,0),BB1=(0,0,1),AP=(-1,1,m),AC=(-1,1,0).
因为AC·BD=0,AC·BB1=0,
所以AC为平面BDD1B1的一个法向量.
设AP与平面BDD1B1所成的角为θ,
则sin θ=cosπ2-θ=|AP·AC||AP||AC|　=22·2+m2,
所以cos θ=1-sin2θ=m2+m2.
因为tan θ=sinθcosθ=2m=32,
所以m=13.
故当CP=13CC1时,直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为32.