人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.2.5 空间中的距离word含答案
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| 名称 | 人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.2.5 空间中的距离word含答案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 374.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-08-10 18:19:58 | ||
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文档简介
1.2.5 空间中的距离
课后篇巩固提升
基础达标练
1.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=2,E,F分别是平面A1B1C1D1,平面BCC1B1的中心,则E,F两点间的距离为( )
A.1 B.52 C.62 D.32
解析以点A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则点E(1,1,2),F2,1,22,所以|EF|=(1-2)2+(1-1)2+(2-22)?2 =62,故选C.
答案C
2.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到α的距离为( )
A.10 B.3 C.83 D.103
解析由已知得PA=(1,2,-4),故点P到平面α的距离d=|PA·n||n|=|-2-4-4|3=103.
答案D
3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是A1B1的中点,则点A到直线BE的距离是( )
A.655 B.455 C.255 D.55
解析建立空间直角坐标系如图所示,B(0,0,0),A(0,2,0),E(0,1,2),
则BA=(0,2,0),BE=(0,1,2),
设∠ABE=θ,则cos θ=|BA·BE||BA||BE| =225=55,
sin θ=1-cos2θ=255.
故A到直线BE的距离d=|AB|sin θ=2×255=455.
答案B
4.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,A1A=5,AB=12,则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是( )
A.5
B.8
C.6013
D.133
解析方法一 以D为坐标原点,DA,DC,DD1的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
则C(0,12,0),D1(0,0,5).
设B(x,12,0),B1(x,12,5)(x>0),BC=(-x,0,0),CD1=(0,-12,5),B1B=(0,0,-5).
设平面A1BCD1的法向量为n=(a,b,c),由n⊥BC,n⊥CD1,得n·BC=(a,b,c)·(-x,0,0)=-ax=0,n·CD1=(a,b,c)·(0,-12,5)=-12b+5c=0,
所以a=0,b=512c,所以可取n=(0,5,12).
又B1B=(0,0,-5),所以点B1到平面A1BCD1的距离为|B1B·n||n|=6013.
因为B1C1∥平面A1BCD1,所以B1C1到平面A1BCD1的距离为6013.
方法二 因为B1C1∥BC,所以B1C1∥平面A1BCD1,从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求.
如图,过点B1作B1E⊥A1B于点E.
因为BC⊥平面A1ABB1,且B1E?平面A1ABB1,
所以BC⊥B1E.
又BC∩A1B=B,所以B1E⊥平面A1BCD1,B1E的长即为点B1到平面A1BCD1的距离.
在Rt△A1B1B中,B1E=A1B1·B1BA1B=12×552+122 =6013,所以直线B1C1到平面A1BCD1的距离为6013.
答案C
5.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是A1C1的中点,则O到平面ABC1D1的距离为( )
A.32 B.24 C.12 D.33
解析以DA,DC,DD1为正交基底建立空间直角坐标系,
则A1(1,0,1),C1(0,1,1),C1O=12C1A1=12,-12,0,平面ABC1D1的一个法向量DA1=(1,0,1),点O到平面ABC1D1的距离
d=|DA1·C1O||DA1| =122=24.故选B.
答案B
6.在直角坐标系中,A(-2,3),B(3,-2),沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角,则AB的长度为 .?
解析过A,B作x轴的垂线,垂足分别为A',B',
则|AA'|=3,|BB'|=2,|A'B'|=5,
又AB=AA'+A'B'+B'B,
∴|AB|2=32+52+22+2×3×2×12=44,
∴|AB|=211.
答案211
7.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别是AB,CC1的中点,则点D1到直线GF的距离为 .?
解析如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则D1(0,0,2),F(1,1,0),G(0,2,1),于是有GF=(1,-1,-1),GD1=(0,-2,1),
所以|GF·GD1||GF| =2-13=13,|GD1|=5,所以点D1到直线GF的距离为5-13=423.
答案423
8.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则点B1到平面ABC1的距离为 .?
解析建立如图所示的空间直角坐标系,
则A32,12,0,B(0,1,0),B1(0,1,1),C1(0,0,1),
则C1A=32,12,-1,C1B1=(0,1,0),C1B=(0,1,-1).设平面ABC1的一个法向量为n=(x,y,1),
则有C1A·n=32x+12y-1=0,C1B·n=y-1=0,
解得n=33,1,1,则所求距离为|C1B1·n||n|=113+1+1=217.
答案217
9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,M为BB1的中点,N为BC的中点.
(1)求点M到直线AC1的距离;
(2)求点N到平面MA1C1的距离.
解(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),A1(0,0,2),M(2,0,1),C1(0,2,2),直线AC1的一个单位方向向量为s0=0,22,22,AM=(2,0,1),故点M到直线AC1的距离d=|AM|2-|AM·s0|2 =5-12=322.
(2)设平面MA1C1的法向量为n=(x,y,z),A1C1=(0,2,0),A1M=(2,0,-1),则n·A1C1=0,且n·A1M=0,即(x,y,z)·(0,2,0)=0,且(x,y,z)·(2,0,-1)=0,即y=0,且2x-z=0,取x=1,得z=2,故n=(1,0,2)为平面MA1C1的一个法向量,因为N(1,1,0),所以MN=(-1,1,-1),故点N到平面MA1C1的距离d=|MN·n||n|=|-1-2|12+22 =355.
能力提升练
1.(多选)如图,在三棱锥A-BCD中,DA,DB,DC两两垂直,且长度均为1,E为BC中点,则下列结论不正确的是( )
A.AE=32
B.∠EAD为AE与平面ABD所成的角
C.DE为点D到平面ABC的距离
D.∠AED为二面角A-BC-D的平面角
解析由于DA,DB,DC两两垂直,且长度均为1,则△ABC为边长是2的等边三角形.
又E为BC中点,
则AE=AB2-BE2 =(2)2-(22)?2 =32≠32,故A错;
由于DE与平面ABD不垂直,故∠EAD不是AE与平面ABD所成的角,故B错;若DE为点D到平面ABC的距离,则DE⊥平面ABC,故∠AED为直角,而在三角形ADE中,∠ADE为直角,矛盾,故C错;
由于E为BC中点,则AE⊥BC,DE⊥BC,故∠AED为二面角A-BC-D的平面角,故D正确.
答案ABC
2.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,则点B1到平面AD1C的距离为( )
A.83 B.223 C.423 D.43
解析如图,以D为原点,DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B1(2,2,4),∴AC=(-2,2,0),AD1=(-2,0,4),B1D1=(-2,-2,0).
设平面AD1C的法向量为n=(x,y,z),
则n·AC=0,n·AD1=0,即-2x+2y=0,-2x+4z=0,取z=1,则x=y=2,所以n=(2,2,1),所以点B1到平面AD1C的距离为|n·B1D1||n|=83,故选A.
答案A
3.在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,则AD到平面PBC的距离为 .?
解析AD到平面PBC的距离等于A到平面PBC的距离.由已知可知AB,AD,AP两两垂直.以A为坐标原点,AB,AD,AP的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略),
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),
则PB=(2,0,-2),BC=(0,2,0).
设平面PBC的法向量为n=(a,b,c),则n⊥PB,n⊥BC,即2a-2c=0,b=0,
取a=1,得n=(1,0,1).又AB=(2,0,0),所以d=|AB·n||n|=2.
答案2
4.在直三棱柱A1B1C1-ABC中,底面ABC为直角三角形,∠BAC=π2,AB=AC=AA1=1.已知G与E分别为A1B1和CC1的中点,D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GD⊥EF,则线段DF的长度的最小值为 .?
解析以A为坐标原点,AB为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系,设F(t1,0,0)(0 D(0,t2,0)(0 ∴EF=t1,-1,-12,GD=-12,t2,-1.
∵GD⊥EF,∴t1+2t2=1,由此推出0 ∴当t2=25时,|DF|min=55.
答案55
5.直三棱柱ABC - A1B1C1的侧棱AA1=3,在底面ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,求点B1到平面A1BC的距离.
解如图,建立空间直角坐标系,
由已知得直三棱柱各顶点坐标为A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),A1(1,0,3),B1(0,1,3),C1(0,0,3),则A1B1=(-1,1,0),BC=(0,-1,0),A1C=(-1,0,-3).
设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z),
则n·A1C=0,n·BC=0,
即-x-3z=0,-y=0.令x=-3,则y=0,z=1,
所以平面A1BC的一个法向量为n=(-3,0,1),
所以点B1到平面A1BC的距离d=|n·A1B1||n|=32.
6.如图,在五面体ABCDEF中,AB∥DC,∠BAD=π2,CD=AD=2.四边形ABFE为平行四边形,FA⊥平面ABCD,FC=3,ED=7,求直线AB到平面EFCD的距离.
解如图,以A点为坐标原点,AB,AD,AF的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0).
设F(0,0,z0)(z0>0),可得FC=(2,2,-z0).
由|FC|=3,得22+22+(-z0)2 =3,
解得z0=1,则F(0,0,1).
因为AB∥DC,CD?平面EFCD,所以直线AB到平面EFCD的距离等于点A到平面EFCD的距离.
设A点在平面EFCD上的射影为G(x1,y1,z1),
则AG=(x1,y1,z1).
所以AG·DF=0,且AG·CD=0,
而DF=(0,-2,1),CD=(-2,0,0),
所以-2y1+z1=0,①-2x1=0,②解得x1=0,③
所以G点在yOz平面上,故G点在FD上,且GF∥DF.又GF=(-x1,-y1,-z1+1),
故有y12=-z1+1.④
联立①③④,解得G0,25,45.
所以|AG|为直线AB到平面EFCD的距离.
而AG=0,25,45,所以|AG|=255,
即直线AB到平面EFCD的距离为255.
素养培优练
1.已知二面角α-l-β为60°,动点P,Q分别在平面α,β内,点P到β的距离为3,点Q到α的距离为23,则P,Q两点之间距离的最小值为( )
A.2 B.2 C.23 D.4
解析作PM⊥β,QN⊥α,垂足分别为M,N.
分别在平面α,β内作PE⊥l,QF⊥l,垂足分别为E,F,如图所示,
连接ME,NF,则ME⊥l,∴∠PEM为二面角α-l-β的平面角.∴∠PEM=60°.
在Rt△PME中,|PE|=|PM|sin60°=3sin60°=2,
同理|QF|=4.又PQ=PE+EF+FQ,
∴|PQ|2=4+|EF|2+16+2PE·EF+2PE·FQ+2EF·FQ=20+|EF|2+2×2×4cos 120°=12+|EF|2.
∴当|EF|2取最小值0时,|PQ|2最小,
此时|PQ|=23.
答案C
2.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=22,∠ABC=90°,如图①把△ABD沿BD翻折,使得平面ABD⊥平面BCD(如图②).
(1)求证:CD⊥AB;
(2)若点M为线段BC的中点,求点M到平面ACD的距离;
(3)在线段BC上是否存在点N,使得AN与平面ACD所成的角为60°?若存在,求出BNBC的值;若不存在,请说明理由.
(1)证明由已知条件可得BD=2,CD=2,CD⊥BD.因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,又因为AB?平面ABD,所以CD⊥AB.
(2)解以点D为原点,DB所在的直线为x轴,DC所在的直线为y轴,建立空间直角坐标系,如图,由已知可得A(1,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0),M(1,1,0),
所以CD=(0,-2,0),AD=(-1,0,-1),MC=(-1,1,0).
设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),
则CD⊥n,AD⊥n,所以y=0,x+z=0,令x=1,得平面ACD的一个法向量为n=(1,0,-1),所以点M到平面ACD的距离d=|n·MC||n|=22.
(3)解假设在线段BC上存在点N,使得AN与平面ACD所成角为60°,设BN=λBC,0≤λ≤1,则N(2-2λ,2λ,0),所以AN=(1-2λ,2λ,-1),又因为平面ACD的一个法向量为n=(1,0,-1),且直线AN与平面ACD所成的角为60°,所以sin 60°=|AN·n||AN||n|=32,可得8λ2+2λ-1=0,所以λ=14或λ=-12(舍去).
综上,在线段BC上存在点N,使AN与平面ACD所成角为60°,此时BNBC=14.
课后篇巩固提升
基础达标练
1.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=2,E,F分别是平面A1B1C1D1,平面BCC1B1的中心,则E,F两点间的距离为( )
A.1 B.52 C.62 D.32
解析以点A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则点E(1,1,2),F2,1,22,所以|EF|=(1-2)2+(1-1)2+(2-22)?2 =62,故选C.
答案C
2.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到α的距离为( )
A.10 B.3 C.83 D.103
解析由已知得PA=(1,2,-4),故点P到平面α的距离d=|PA·n||n|=|-2-4-4|3=103.
答案D
3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是A1B1的中点,则点A到直线BE的距离是( )
A.655 B.455 C.255 D.55
解析建立空间直角坐标系如图所示,B(0,0,0),A(0,2,0),E(0,1,2),
则BA=(0,2,0),BE=(0,1,2),
设∠ABE=θ,则cos θ=|BA·BE||BA||BE| =225=55,
sin θ=1-cos2θ=255.
故A到直线BE的距离d=|AB|sin θ=2×255=455.
答案B
4.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,A1A=5,AB=12,则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是( )
A.5
B.8
C.6013
D.133
解析方法一 以D为坐标原点,DA,DC,DD1的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
则C(0,12,0),D1(0,0,5).
设B(x,12,0),B1(x,12,5)(x>0),BC=(-x,0,0),CD1=(0,-12,5),B1B=(0,0,-5).
设平面A1BCD1的法向量为n=(a,b,c),由n⊥BC,n⊥CD1,得n·BC=(a,b,c)·(-x,0,0)=-ax=0,n·CD1=(a,b,c)·(0,-12,5)=-12b+5c=0,
所以a=0,b=512c,所以可取n=(0,5,12).
又B1B=(0,0,-5),所以点B1到平面A1BCD1的距离为|B1B·n||n|=6013.
因为B1C1∥平面A1BCD1,所以B1C1到平面A1BCD1的距离为6013.
方法二 因为B1C1∥BC,所以B1C1∥平面A1BCD1,从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求.
如图,过点B1作B1E⊥A1B于点E.
因为BC⊥平面A1ABB1,且B1E?平面A1ABB1,
所以BC⊥B1E.
又BC∩A1B=B,所以B1E⊥平面A1BCD1,B1E的长即为点B1到平面A1BCD1的距离.
在Rt△A1B1B中,B1E=A1B1·B1BA1B=12×552+122 =6013,所以直线B1C1到平面A1BCD1的距离为6013.
答案C
5.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是A1C1的中点,则O到平面ABC1D1的距离为( )
A.32 B.24 C.12 D.33
解析以DA,DC,DD1为正交基底建立空间直角坐标系,
则A1(1,0,1),C1(0,1,1),C1O=12C1A1=12,-12,0,平面ABC1D1的一个法向量DA1=(1,0,1),点O到平面ABC1D1的距离
d=|DA1·C1O||DA1| =122=24.故选B.
答案B
6.在直角坐标系中,A(-2,3),B(3,-2),沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角,则AB的长度为 .?
解析过A,B作x轴的垂线,垂足分别为A',B',
则|AA'|=3,|BB'|=2,|A'B'|=5,
又AB=AA'+A'B'+B'B,
∴|AB|2=32+52+22+2×3×2×12=44,
∴|AB|=211.
答案211
7.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别是AB,CC1的中点,则点D1到直线GF的距离为 .?
解析如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则D1(0,0,2),F(1,1,0),G(0,2,1),于是有GF=(1,-1,-1),GD1=(0,-2,1),
所以|GF·GD1||GF| =2-13=13,|GD1|=5,所以点D1到直线GF的距离为5-13=423.
答案423
8.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则点B1到平面ABC1的距离为 .?
解析建立如图所示的空间直角坐标系,
则A32,12,0,B(0,1,0),B1(0,1,1),C1(0,0,1),
则C1A=32,12,-1,C1B1=(0,1,0),C1B=(0,1,-1).设平面ABC1的一个法向量为n=(x,y,1),
则有C1A·n=32x+12y-1=0,C1B·n=y-1=0,
解得n=33,1,1,则所求距离为|C1B1·n||n|=113+1+1=217.
答案217
9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,M为BB1的中点,N为BC的中点.
(1)求点M到直线AC1的距离;
(2)求点N到平面MA1C1的距离.
解(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),A1(0,0,2),M(2,0,1),C1(0,2,2),直线AC1的一个单位方向向量为s0=0,22,22,AM=(2,0,1),故点M到直线AC1的距离d=|AM|2-|AM·s0|2 =5-12=322.
(2)设平面MA1C1的法向量为n=(x,y,z),A1C1=(0,2,0),A1M=(2,0,-1),则n·A1C1=0,且n·A1M=0,即(x,y,z)·(0,2,0)=0,且(x,y,z)·(2,0,-1)=0,即y=0,且2x-z=0,取x=1,得z=2,故n=(1,0,2)为平面MA1C1的一个法向量,因为N(1,1,0),所以MN=(-1,1,-1),故点N到平面MA1C1的距离d=|MN·n||n|=|-1-2|12+22 =355.
能力提升练
1.(多选)如图,在三棱锥A-BCD中,DA,DB,DC两两垂直,且长度均为1,E为BC中点,则下列结论不正确的是( )
A.AE=32
B.∠EAD为AE与平面ABD所成的角
C.DE为点D到平面ABC的距离
D.∠AED为二面角A-BC-D的平面角
解析由于DA,DB,DC两两垂直,且长度均为1,则△ABC为边长是2的等边三角形.
又E为BC中点,
则AE=AB2-BE2 =(2)2-(22)?2 =32≠32,故A错;
由于DE与平面ABD不垂直,故∠EAD不是AE与平面ABD所成的角,故B错;若DE为点D到平面ABC的距离,则DE⊥平面ABC,故∠AED为直角,而在三角形ADE中,∠ADE为直角,矛盾,故C错;
由于E为BC中点,则AE⊥BC,DE⊥BC,故∠AED为二面角A-BC-D的平面角,故D正确.
答案ABC
2.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,则点B1到平面AD1C的距离为( )
A.83 B.223 C.423 D.43
解析如图,以D为原点,DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B1(2,2,4),∴AC=(-2,2,0),AD1=(-2,0,4),B1D1=(-2,-2,0).
设平面AD1C的法向量为n=(x,y,z),
则n·AC=0,n·AD1=0,即-2x+2y=0,-2x+4z=0,取z=1,则x=y=2,所以n=(2,2,1),所以点B1到平面AD1C的距离为|n·B1D1||n|=83,故选A.
答案A
3.在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,则AD到平面PBC的距离为 .?
解析AD到平面PBC的距离等于A到平面PBC的距离.由已知可知AB,AD,AP两两垂直.以A为坐标原点,AB,AD,AP的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略),
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),
则PB=(2,0,-2),BC=(0,2,0).
设平面PBC的法向量为n=(a,b,c),则n⊥PB,n⊥BC,即2a-2c=0,b=0,
取a=1,得n=(1,0,1).又AB=(2,0,0),所以d=|AB·n||n|=2.
答案2
4.在直三棱柱A1B1C1-ABC中,底面ABC为直角三角形,∠BAC=π2,AB=AC=AA1=1.已知G与E分别为A1B1和CC1的中点,D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GD⊥EF,则线段DF的长度的最小值为 .?
解析以A为坐标原点,AB为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系,设F(t1,0,0)(0
∵GD⊥EF,∴t1+2t2=1,由此推出0
答案55
5.直三棱柱ABC - A1B1C1的侧棱AA1=3,在底面ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,求点B1到平面A1BC的距离.
解如图,建立空间直角坐标系,
由已知得直三棱柱各顶点坐标为A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),A1(1,0,3),B1(0,1,3),C1(0,0,3),则A1B1=(-1,1,0),BC=(0,-1,0),A1C=(-1,0,-3).
设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z),
则n·A1C=0,n·BC=0,
即-x-3z=0,-y=0.令x=-3,则y=0,z=1,
所以平面A1BC的一个法向量为n=(-3,0,1),
所以点B1到平面A1BC的距离d=|n·A1B1||n|=32.
6.如图,在五面体ABCDEF中,AB∥DC,∠BAD=π2,CD=AD=2.四边形ABFE为平行四边形,FA⊥平面ABCD,FC=3,ED=7,求直线AB到平面EFCD的距离.
解如图,以A点为坐标原点,AB,AD,AF的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0).
设F(0,0,z0)(z0>0),可得FC=(2,2,-z0).
由|FC|=3,得22+22+(-z0)2 =3,
解得z0=1,则F(0,0,1).
因为AB∥DC,CD?平面EFCD,所以直线AB到平面EFCD的距离等于点A到平面EFCD的距离.
设A点在平面EFCD上的射影为G(x1,y1,z1),
则AG=(x1,y1,z1).
所以AG·DF=0,且AG·CD=0,
而DF=(0,-2,1),CD=(-2,0,0),
所以-2y1+z1=0,①-2x1=0,②解得x1=0,③
所以G点在yOz平面上,故G点在FD上,且GF∥DF.又GF=(-x1,-y1,-z1+1),
故有y12=-z1+1.④
联立①③④,解得G0,25,45.
所以|AG|为直线AB到平面EFCD的距离.
而AG=0,25,45,所以|AG|=255,
即直线AB到平面EFCD的距离为255.
素养培优练
1.已知二面角α-l-β为60°,动点P,Q分别在平面α,β内,点P到β的距离为3,点Q到α的距离为23,则P,Q两点之间距离的最小值为( )
A.2 B.2 C.23 D.4
解析作PM⊥β,QN⊥α,垂足分别为M,N.
分别在平面α,β内作PE⊥l,QF⊥l,垂足分别为E,F,如图所示,
连接ME,NF,则ME⊥l,∴∠PEM为二面角α-l-β的平面角.∴∠PEM=60°.
在Rt△PME中,|PE|=|PM|sin60°=3sin60°=2,
同理|QF|=4.又PQ=PE+EF+FQ,
∴|PQ|2=4+|EF|2+16+2PE·EF+2PE·FQ+2EF·FQ=20+|EF|2+2×2×4cos 120°=12+|EF|2.
∴当|EF|2取最小值0时,|PQ|2最小,
此时|PQ|=23.
答案C
2.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=22,∠ABC=90°,如图①把△ABD沿BD翻折,使得平面ABD⊥平面BCD(如图②).
(1)求证:CD⊥AB;
(2)若点M为线段BC的中点,求点M到平面ACD的距离;
(3)在线段BC上是否存在点N,使得AN与平面ACD所成的角为60°?若存在,求出BNBC的值;若不存在,请说明理由.
(1)证明由已知条件可得BD=2,CD=2,CD⊥BD.因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,又因为AB?平面ABD,所以CD⊥AB.
(2)解以点D为原点,DB所在的直线为x轴,DC所在的直线为y轴,建立空间直角坐标系,如图,由已知可得A(1,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0),M(1,1,0),
所以CD=(0,-2,0),AD=(-1,0,-1),MC=(-1,1,0).
设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),
则CD⊥n,AD⊥n,所以y=0,x+z=0,令x=1,得平面ACD的一个法向量为n=(1,0,-1),所以点M到平面ACD的距离d=|n·MC||n|=22.
(3)解假设在线段BC上存在点N,使得AN与平面ACD所成角为60°,设BN=λBC,0≤λ≤1,则N(2-2λ,2λ,0),所以AN=(1-2λ,2λ,-1),又因为平面ACD的一个法向量为n=(1,0,-1),且直线AN与平面ACD所成的角为60°,所以sin 60°=|AN·n||AN||n|=32,可得8λ2+2λ-1=0,所以λ=14或λ=-12(舍去).
综上,在线段BC上存在点N,使AN与平面ACD所成角为60°,此时BNBC=14.