人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系word含答案

1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1),则b等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(2,-4,2)
B.(-2,4,-2)
C.(-2,0,-2)
D.(2,1,-3)
答案B
2.向量a=(1,2,x),b=(2,y,-1),若|a|=5,且a⊥b,则x+y的值为(　　)
A.-2 B.2
C.-1 D.1
解析由题意得12+22+x2　=5,2+2y-x=0,
即x=0,y=-1,
∴x+y=-1.
答案C
3.若△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k的值为(　　)
A.10 B.-10
C.25 D.±10
解析 CB=(-6,1,2k),CA=(-3,2,-k),
则CB·CA=(-6)×(-3)+2+2k(-k)=-2k2+20=0,∴k=±10.
答案D
4.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则(　　)
A.x=12,y=-4
B.x=12,y=4
C.x=2,y=-14
D.x=1,y=-1
解析∵a+2b=(1+2x,4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2),且(a+2b)∥(2a-b),∴3(1+2x)=4(2-x),且3(4-y)=4(-2y-2),解得x=12,y=-4.
答案A
5.若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是(　　)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
解析 AB=(3,4,2),AC=(5,1,3),BC=(2,-3,1).
由AB·AC>0,得A为锐角;由CA·CB>0,得C为锐角;由BA·BC>0,得B为锐角.所以△ABC为锐角三角形.
答案A
6.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=14,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为(　　)
A.π6 B.π3
C.2π3 D.5π6
解析a+b=(-1,-2,-3)=-a,故(a+b)·c=-a·c=7,得a·c=-7,而|a|=12+22+32=14,所以cos=a·c|a||c|=-12,又因为∈[0,π],所以=2π3.
答案C
7.已知向量a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y),并且a,b同向,则x+y的值为　　　　.?
解析由题意知a∥b,
所以x1=x2+y-22=y3,
即y=3x,①x2+y-2=2x,②
把①代入②得x2+x-2=0,即(x+2)(x-1)=0,
解得x=-2或x=1.
当x=-2时,y=-6;
当x=1时,y=3.
则当x=-2,y=-6时,b=(-2,-4,-6)=-2a,
向量a,b反向,不符合题意,故舍去.
当x=1,y=3时,b=(1,2,3)=a,
a与b同向,符合题意,此时x+y=4.
答案4
8.已知向量a=(5,3,1),b=-2,t,-25,若a与b的夹角为钝角,则实数t的取值范围为　　　　.?
解析由已知得a·b=5×(-2)+3t+1×-25=3t-525,因为a与b的夹角为钝角,所以a·b<0,
即3t-525<0,所以t<5215.
若a与b的夹角为180°,则存在λ<0,使a=λb(λ<0),
即(5,3,1)=λ-2,t,-25,
所以5=-2λ,3=tλ,1=-25λ,解得λ=-52,t=-65,
故t的取值范围是-∞,-65∪-65,5215.
答案-∞,-65∪-65,5215
9.已知O为坐标原点,OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当QA·QB取得最小值时,求Q的坐标.
解设OQ=λOP,则QA=OA-OQ=OA-λOP=(1-λ,2-λ,3-2λ),QB=OB-OQ=OB-λOP=(2-λ,1-λ,2-2λ),所以QA·QB=(1-λ,2-λ,3-2λ)·(2-λ,1-λ,2-2λ)=2(3λ2-8λ+5)=23λ-432-13.
当λ=43时,QA·QB取得最小值,此时点Q的坐标为43,43,83.
10.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长AB=2,AB1⊥BC1,点O,O1分别是棱AC,A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.

(1)求该三棱柱的侧棱长;
(2)若M为BC1的中点,试用向量AA1,AB,AC表示向量AM;
(3)求cos
解(1)设该三棱柱的侧棱长为h,由题意得A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),B1(3,0,h),C1(0,1,h),则AB1=(3,1,h),BC1=(-3,1,h),因为AB1⊥BC1,
所以AB1·BC1=-3+1+h2=0,所以h=2.
(2)AM=AB+BM=AB+12BC1=AB+12(BB1+BC)=AB+12(AA1+AC-AB)=12AB+12AC+12AA1.
(3)由(1)可知AB1=(3,1,2),BC=(-3,1,0),
所以AB1·BC=-3+1=-2,|AB1|=6,|BC|=2,
所以cos =-226=-66.
能力提升练
1.(多选)已知点P是△ABC所在的平面外一点,若AB=(-2,1,4),AP=(1,-2,1),AC=(4,2,0),则(　　)
A.AP⊥AB
B.AP⊥BP
C.BC=53
D.AP∥BC
解析 AP·AB=-2-2+4=0,∴AP⊥AB,即AP⊥AB,故A正确;
BP=BA+AP=(2,-1,-4)+(1,-2,1)=(3,-3,-3),BP·AP=3+6-3=6≠0,∴AP与BP不垂直,故B不正确;
BC=AC-AB=(4,2,0)-(-2,1,4)=(6,1,-4),∴|BC|=62+12+(-4)2　=53,故C正确;
假设AP=kBC,则1=6k,-2=k,1=-4k,无解,因此假设不成立,即AP与BC不平行,故D不正确.
答案AC
2.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),若OA+λOB与OB(O为坐标原点)的夹角为120°,则λ的值为(　　)
A.66 B.-66
C.±66 D.±6
解析∵OB=(0,-1,1),OA+λOB=(1,-λ,λ),
cos 120°=(OA+λAB)·OB|OA+λOB||OB|　=2λ2λ2+1×2=-12,可得λ<0,解得λ=-66.故选B.
答案B
3.已知A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AB在AC上的投影为　　　　.?
解析∵AB=(5,-6,2)-(1,-1,2)=(4,-5,0),
AC=(1,3,-1)-(1,-1,2)=(0,4,-3),
∴cos=0-20+042+(-5)2　×42+(-3)2　
=-20541,
AB在AC上的投影为|AB|cos
=42+(-5)2　×-20541=-4.
答案-4
4.已知点A,B,C的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,-1),(2,1,1),点P的坐标为(x,0,z),若PA⊥AB,PA⊥AC,则P点的坐标为　　　　　.?
解析 PA=(-x,1,-z),
AB=(-1,-1,-1),AC=(2,0,1),
∴x-1+z=0,-2x-z=0,
∴x=-1,z=2,
∴P(-1,0,2).
答案(-1,0,2)
5.已知A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),AP=12(AB-AC),则点P的坐标是　　　　.?
解析∵CB=(6,3,-4),设P(a,b,c),
则(a-2,b+1,c-2)=3,32,-2,
∴a=5,b=12,c=0,∴P5,12,0.
答案5,12,0
6.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=3,BC=1,PA=2,E为PD的中点.建立空间直角坐标系,

(1)求cos;
(2)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥平面PAC,求N点的坐标.
解(1)由题意,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(3,0,0),C(3,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),E0,12,1,从而AC=(3,1,0),PB=(3,0,-2).

则cos=AC·PB|AC|·|PB|　=327=3714.
∴的余弦值为3714.
(2)由于N点在侧面PAB内,故可设N点坐标为(x,0,z),则NE=-x,12,1-z,由NE⊥平面PAC可得NE·AP=0,NE·AC=0,
即(-x,12,1-z)·(0,0,2)=0,(-x,12,1-z)·(3,1,0)=0,
化简得z-1=0,-3x+12=0,∴x=36,z=1,即N点的坐标为36,0,1.
7.已知点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)求以AB,AC为边的平行四边形的面积;
(2)若|a|=3,且a分别与AB,AC垂直,求向量a.
解(1)AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),
设θ为AB,AC的夹角,
则cos θ=AB·AC|AB||AC|　=-2+3+64+1+9·1+9+4=12,∴sin θ=32.
∴S?=|AB||AC|sin θ=73.
∴以AB,AC为边的平行四边形面积为73.
(2)设a=(x,y,z),
由题意,得-2x-y+3z=0,x-3y+2z=0,x2+y2+z2=3.
解得x=1,y=1,z=1或x=-1,y=-1,z=-1.
∴a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).
素养培优练
1.P是平面ABC外的点,四边形ABCD是平行四边形,AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1).
(1)求证:PA⊥平面ABCD;
(2)对于向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3),定义一种运算:(a×b)·c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1,试计算(AB×AD)·AP的绝对值;说明其与几何体P-ABCD的体积关系,并由此猜想向量这种运算(AB×AD)·AP的绝对值的几何意义.
(1)证明 AP·AB=(2,-1,-4)·(-1,2,-1)=-2+(-2)+4=0,
∴AP⊥AB,即AP⊥AB.同理,AP·AD=(-1,2,-1)·(4,2,0)=-4+4+0=0,∴AP⊥AD,即PA⊥AD.又AB?平面ABCD,AD?平面ABCD,AB∩AD=A,
∴PA⊥平面ABCD.
(2)解|(AB×AD)·AP|=48,又cos=3105,
|AB|=21,|AD|=25,|AP|=6,
V=13|AB|·|AD|·sin·|AP|=16,可得|(AB×AD)·AP|=3VP-ABCD.
猜测:|(AB×AD)·AP|在几何上可表示以AB,AD,AP为棱的平行六面体的体积(或以AB,AD,AP为棱的四棱柱的体积).
2.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为4的正方形,A1C1与B1D1交于点N,BC1与B1C交于点M,且AM⊥BN,建立空间直角坐标系.
(1)求AA1的长;
(2)求;
(3)对于n个向量a1,a2,…,an,如果存在不全为零的n个实数λ1,λ2,…,λn,使得λ1a1+λ2a2+…+λnan=0成立,则这n个向量a1,a2,…,an叫做线性相关,不是线性相关的向量叫线性无关,判断AM,BN,CD是否线性相关,并说明理由.

解(1)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设AA1的长为a,
则B(4,4,0),N(2,2,a),
BN=(-2,-2,a),A(4,0,0),M2,4,a2,AM=-2,4,a2,由BN⊥AM,得BN·AM=0,即a=22,即AA1=22.
(2)BN=(-2,-2,22),AD1=(-4,0,22),
cos=BN·AD1|BN||AD1|　=63,
=arccos63.
(3)由AM=(-2,4,2),BN=(-2,-2,22),CD=(0,-4,0),
λ1(-2,4,2)+λ2(-2,-2,22)+λ3(0,-4,0)=(0,0,0),
得λ1=λ2=λ3=0,则AM,BN,CD 线性无关.