第13讲
二次根式有意义
知识定位
讲解用时：5分钟
A、适用范围：人教版初二，基础一般；
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习二次根式，了解二次根式有意义，增强数形结合和用数学的意识。二次根式这一章节十分重要，是中考考查的一个重点，因此要好好学习并掌握。
知识梳理
讲解用时：20分钟
课堂精讲精练
【例题1】
在下列代数式中，不是二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
解：A、，是二次根式，故此选项错误；
B、，是二次根式，故此选项错误；
C、，是二次根式，故此选项错误；
D、，不是二次根式，故此选项正确；
故选：D．
讲解用时：2分钟
解题思路：此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
教学建议：一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式，熟记定义.
难度：
2
适应场景：当堂例题
例题来源：浦东新区期末
年份：2015
【练习1.1】
下列代数式能作为二次根式被开方数的是（ ）
A．3﹣π
B．a
C．a2+1
D．2x+4
【答案】C
【解析】直接利用二次根式的定义分别分析得出答案．
解：A、3﹣π＜0，则3﹣a不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；
B、a的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；
C、a2+1一定大于0，能作为二次根式被开方数，故此选项错正确；
D、2x+4的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；
故选：C．
讲解用时：2分钟
解题思路：此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．
教学建议：熟练掌握二次根式里面的被开方数为非负数.
难度：
2
适应场景：当堂练习
例题来源：怀柔区期末
年份：2017
【例题2】
如果代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣3
B．x≠0
C．x≥﹣3且x≠0
D．x≥3
【答案】C
【解析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
解：由题意可知：
∴x≥﹣3且x≠0
故选：C．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的有意义的条件，本题属于基础题型．
教学建议：二次根式有意义必须保证开方数x+3为非负数，同时要注意x作为分母不能为0.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：门头沟区一模
年份：2018
【练习2.1】
在下列二次根式中，x的取值范围是x＞3的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，再求出即可．
解：A、∵是二次根式，
∴3﹣x≥0，
∴x≤3，故本选项错误；
B、∵是二次根式，
∴x+3≥0，
∴x≥﹣3，故本选项错误；
C、∵是二次根式，
∴x﹣3≥0，
∴x≥3，故本选项错误；
D、∵是二次根式，
∴≥0，
∴x＞3，故本选项正确；
故选：D．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式的应用，能根据二次根式的定义得出关于x的不等式是解此题的关键，注意：形如（a≥0）的式子叫二次根式．
教学建议：熟练掌握二次根式里面的被开方数为非负数并灵活运用.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题3】
若二次根式有意义，则x的取值范围为
．
【答案】x≥﹣
【解析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．
解：根据题意得：1+2x≥0，
解得x≥﹣．
故答案为：x≥﹣．
讲解用时：1分钟
解题思路：本题主要考查自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
教学建议：熟练掌握二次根式有意义即被开方数为非负数.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：长沙模拟
年份：2018
【练习3.1】
分式有意义时，x的取值范围是
．
【答案】x＜2
【解析】要使代数式有意义时，必有2-x＞0，可解得x的范围．
解：根据题意得：2-x＞0，
解得：x＜2．
故答案是：x＜2．
讲解用时：2分钟
解题思路：考查了分式和二次根式有意义的条件．二次根式有意义，被开方数为非负数，分式有意义，分母不为0．
教学建议：熟练掌握二次根式有意义即被开方数为非负数，同时也要注意分母不能为0.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：博望区校级一模
年份：2018
【练习3.2】
如果代数式有意义，那么x的取值范围是
．
【答案】x≥﹣3且x≠1
【解析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
解：由题意得，x+3≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣3且x≠1．
故答案为：x≥﹣3且x≠1．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
教学建议：熟练掌握二次根式有意义即被开方数为非负数，同时也要注意分母不能为0.
难度：
4
适应场景：当堂练习
例题来源：宁津县二模
年份：2018
【例题4】
若是整数，求自然数x．
【答案】0或7或12或15或16
【解析】先根据二次根式的定义求出x的取值范围，再根据是整数这一条件对x的值进行讨论即可．
解：根据题意得：16﹣x≥0，
解得：x≤16．
则自然数x的值是：0或7或12或15或16时，是整数．
讲解用时：3分钟
解题思路：主要考查了二次根式的意义和性质及自然数的定义，解题的关键是熟记定义．
教学建议：保证被开方数是完全平方数.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习4.1】
找出二次根式：（1）（2）（3）．
【答案】都是
【解析】直接利用二次根式的定义进而判断得出即可．
解：（1），∵a2≥0，∴是二次根式；
（2），∵（﹣a）2≥0，∴是二次根式；
（3），∵x≤0，∴﹣5x≥0，故（x≤0），是二次根式．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．
教学建议：灵活运用二次根式定义法进行解题.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【练习4.2】
已知为二次根式，求x的取值范围．
【答案】x≠3
【解析】利用二次根式的定义得出x﹣3≠0进而得出答案．
解：∵为二次根式，
∴x的取值范围是：x﹣3≠0．
即x≠3.
讲解用时：2分钟
解题思路：此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的性质是解题关键．
教学建议：灵活运用二次根式定义法进行解题.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题5】
当a取什么值时，代数式取值最小？并求出这个最小值．
【答案】a=﹣，最小值是1
【解析】根据≥0，即可求得a的值，以及所求式子的最小值．
解：∵≥0，
∴当a=﹣时，有最小值，是0．
则+1的最小值是1．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了二次根式的性质，任何非负数的算术平方根是非负数．
教学建议：熟记二次根式有意义，保证被开方数为非负数.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：白云区期中
年份：2011
【练习5.1】
当x=
时，代数式有最小值．
【答案】
【解析】根据二次根式的有意义的条件即可求出答案．
解：∵4x﹣5≥0，
∴x≥
当x=时，
的最小值为0，
故答案为：
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
教学建议：熟记二次根式有意义，保证被开方数为非负数.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：鼓楼区校级期末
年份：2016
【例题6】
已知，，且x、y均为整数，求x+y的值．
【答案】25或33
【解析】先求出x的取值范围，再根据x，y均为整数，可得x的值，再分情况得到x+y的值．
解：由题意知：20≤x≤30，
又因为x，y均为整数，
所以x﹣20，30﹣x均需是一个整数的平方，
所以x﹣20=1，30﹣x=1，
故x只能取21或29，
当x=21时，y=4，x+y的值为25；
当x=29时，y=4，x+y的值为33．
故x+y的值为25或33．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题考查了二次根式的定义，解题的难点是根据x、y均为整数，得到x﹣20，30﹣x均需是一个整数的平方．
教学建议：熟记二次根式有意义，保证被开方数为非负数.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：泗阳县校级模拟
年份：2012
【练习6.1】
（2017秋?景德镇期末）请认真阅读下列这道例题的解法，并完成后面两问的作答：
例：已知y=+2018，求的值．
解：由，解得：x=2017，∴y=2018．
∴．
请继续完成下列两个问题：
（1）若x、y为实数，且y＞+2，化简：；
（2）若y?=y+2，求的值．
【答案】（1）1；（2）3
【解析】根据题意给出的方法即可求出答案．
解：（1）由，
解得：x=3，
∴y＞2．
∴；
（2）由：，
解得：x=1．y=﹣2．
∴．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
教学建议：熟记二次根式有意义，保证被开方数为非负数.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【练习6.2】
已知
x，y都是实数，且，求x+2y的平方根．
【答案】±4
【解析】根据被开方数大于等于0列不等式求出x的值，再求出y的值，然后代入代数式求解，再根据平方根的定义解答．
解：由题意得，x﹣2≥0且2﹣x≥0，
解得x≥2且x≤2，
所以，x=2，
y=7，
x+2y=2+2×7=16，
所以，x+2y的平方根是±4．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了二次根式有意义的条件，平方根的定义，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
教学建议：熟练掌握二次根式的性质并灵活运用.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：武清区期中
年份：2018
【例题7】
已知y=++4，求的值．
【答案】3
【解析】直接利用二次根式有意义的条件得出x，y的值，进而得出答案．
解：∵y=++4，
∴x=3，y=4，
=+
=1+2
=3．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x，y的值是解题关键．
教学建议：熟练掌握二次根式的性质并灵活运用.
难度：4
适应场景：当堂例题
例题来源：宁都县期中
年份：2018
【练习7.1】
已知+=b+8．
（1）求a的值；
（2）求a2﹣b2的平方根．
【答案】（1）17；（2）±15
【解析】（1）根据被开方数是非负数，即可求得a的值；
（2）根据（1）的结果即可求得b的值，然后利用平方根的定义求解．
解：根据题意得：，
解得：a=17；
（2）b+8=0，
解得：b=﹣8．
则a2﹣b2=172﹣（﹣8）2=225，
则平方根是：±15．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
教学建议：熟练掌握二次根式的性质并灵活运用.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：姑苏区期末
年份：2017
【练习7.2】
已知y=+5+2，求xy的值．
【答案】1
【解析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣1≥0，1﹣x≥0，解可得x=1，进而可得y的值，然后计算出xy的值即可．
解：由题意得：x﹣1≥0，1﹣x≥0，
解得：x=1，
则y=2，
xy=1．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
教学建议：熟练掌握二次根式的性质并灵活运用.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
课后作业
【作业1】
下列各式：，，，，，，中，一定是二次根式的个数是（ ）
A．3个
B．4个
C．5个
D．7个
【答案】B
【解析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
解：，，，，，，中，一定是二次根式的是：
，，，共4个．
故选：B．
讲解用时：1分钟
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
【作业2】
要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是
．
【答案】x≤
【解析】根据二次根式有意义的条件可得1﹣2x≥0，再解即可．
解：由题意得：1﹣2x≥0，
解得：x≤，
故答案为：x≤．
讲解用时：2分钟
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
【作业3】
已知：y=﹣﹣2016，求x+y的平方根．
【答案】±1
【解析】根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y的值，然后求出x+y，再根据平方根的定义解答．
解：∵y=﹣﹣2016，
∴x﹣2017≥0且2017﹣x≥0，
∴x≥2017且x≤2017，
∴x=2017，
y=﹣2016，
∴x+y=2017﹣2016=1，
∴x+y的平方根是±1．
讲解用时：3分钟
难度：
4
适应场景：练习题
例题来源：简阳市期末
年份：2016
【作业4】
若y=﹣2，求（x+y）y的值．
【答案】
【解析】先根据二次根式有意义的条件得出x=4，代入等式可得y=﹣2，继而代入计算可得．
解：∵，
∴x=4，
当x=4时，y=﹣2，
∴原式=（4﹣2）﹣2=．
讲解用时：3分钟
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：崇川区期末
年份：2018
【作业5】
已知|2016﹣x|+=x，求x﹣20162的值．
【答案】2017
【解析】根据被开方数大于等于0列式求出x的取值范围，然后去掉绝对值号，整理后平方即可得解．
解：由题意得，x﹣2017≥0，
所以，x≥2017，
所以，x﹣2016+=x，
=2016，
两边平方得，x﹣2017=20162，
所以，x﹣20162=2017．
讲解用时：3分钟
难度：
5
适应场景：练习题
例题来源：雁塔区校级期末
年份：2017第15讲
二次根式的加减
知识定位
讲解用时：3分钟
A、适用范围：人教版初二，基础一般；
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习二次根式的计算——二次根式的加减。掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.
知识梳理
讲解用时：20分钟
课堂精讲精练
【例题1】
下列各式中与是同类二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】先化简二次根式，再判定即可．
解：A、与不是同类二次根式，
B、=2，所以与不是同类二次根式，
C、=2，所以与是同类二次根式，
D、=2，所以与不是同类二次根式，
故选：C．
讲解用时：2分钟
解题思路：本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是二次根式的化简．
教学建议：理解同类二次根式的定义并灵活运用.
难度：2
适应场景：当堂例题
例题来源：浦东新区模拟
年份：2018
【练习1.1】
下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可．
解：A、=|a|与不是同类二次根式；
B、与不是同类二次根式；
C、=2与是同类二次根式；
D、与不是同类二次根式；
故选：C．
讲解用时：2分钟
解题思路：本题考查的是同类二次根式的定义，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
教学建议：理解同类二次根式的定义并灵活运用.
难度：3
适应场景：当堂练习
例题来源：奉贤区二模
年份：2018
【练习1.2】
下列二次根式中，能通过加减运算与合并为一个二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据同类二次根式的定义逐个判断即可．
解：=2，
A、不能和合并为一个二次根式，故本选项不符合题意；
B、能和合并为一个二次根式，故本选项符合题意；
C、不能和合并为一个二次根式，故本选项不符合题意；
D、=5不能和合并为一个二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
讲解用时：2分钟
解题思路：本题考查了同类二次根式，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键．
教学建议：理解同类二次根式的定义并灵活运用.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：中江县期末
年份：2017
【例题2】
若最简二次根式和是同类二次根式，则a的值是
．
【答案】6
【解析】根据同类二次根式的概念即可求出答案．
解：由题意可知：3a﹣4=a+8，
解得：a=6
故答案为：6
讲解用时：2分钟
解题思路：本题考查同类二次根式与最简二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式与最简二次根式的概念，本题属于基础题型．
教学建议：掌握同类二次根式的定义并灵活运用.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：大兴区期末
年份：2017
【练习2.1】
最简二次根式与能合并，则x=
．
【答案】1
【解析】根据同类二次根式的定义得出关于x的方程，求出x的值即可．
解：∵最简二次根式与能合并，
∴与是同类二次根式，
∴3﹣x2=3x﹣1，解得x1=1，x2=﹣4（舍去）．
故答案为：1．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解答此题的关键．
教学建议：只有同类二次根式才能合并.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：平阳县期末
年份：2017
【练习2.2】
若最简二次根式与是同类二次根式，则a+b的值为多少？
【答案】1
【解析】根据同类二次根式的定义得到b+3=2，7a+b=6a﹣b，求出a、b然后代入a+b中计算即可．
解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴b+3=2，7a+b=6a﹣b，
∴a=2，b=﹣1，
∴a+b=2﹣1=1.
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了同类二次根式：把各二次根式化为最简二次根式后若被开方数相同，那么这样的二次根式叫同类二次根式．
教学建议：掌握同类二次根式的定义并灵活运用.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：洪雅县期末
年份：2017
【例题3】
最简二次根式与是同类二次根式，则mn=
．
【答案】21
【解析】根据最简二次根式以及同类二次根式的定义即可求出答案．
解：由题意可知：2m﹣1=34﹣3m，n﹣1=2，
解得：m=7，n=3
∴mn=21
故答案为：21
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式以及最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
教学建议：掌握同类二次根式的定义并灵活运用.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：延庆县期末
年份：2017
【练习3.1】
二次根式与的和是一个二次根式，则正整数a的最小值为 ；其和为
．
【答案】6；﹣
【解析】如果二次根式与的和是一个二次根式，那么二次根式与是同类二次根式，所以根据同类二次根式的定义先求出a的值，再把两根式合并即可．
解：∵二次根式与的和是一个二次根式，
∴两根式为同类二次根式，
则分两种情况：
①是最简二次根式，
那么3x=2ax，
解得a=，不合题意，舍去；
②不是最简二次根式，
∵是最简二次根式，且a取最小正整数，
∵开方后为，
∴a=6．
∴当a=6时，=2，
则+=﹣3+2=﹣．
讲解用时：3分钟
解题思路：化成最简二次根式后，被开方数相同．这样的二次根式叫做同类二次根式．
教学建议：掌握同类二次根式和最简二次根式的灵活应用.
难度：
4
适应场景：当堂练习
例题来源：南开区期末
年份：2017
【例题4】
完成下列两道计算题：
（1）﹣15+；
（2）（﹣）+．
【答案】（1）；（2）4
【解析】（1）先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
（2）先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
（1）解：原式=3﹣15×+×
=3+
=；
（2）原式=（5﹣2）
=4
讲解用时：3分钟
解题思路：本题主要考查了二次根式的加减运算，二次根式化简是解决此题的关键．
教学建议：熟练掌握二次根式的加减运算.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：金乡县期末
年份：2017
【练习4.1】
计算：
（1）+﹣2（+）
（2）﹣÷．
【答案】（1）﹣；（2）
【解析】（1）根据二次根式的性质即可求出答案．
（2）根据分式的运算法则即可求出答案．
解：（1）原式=+5﹣2﹣4=﹣
（2）原式=﹣÷
=﹣?
=﹣
=
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
教学建议：熟练掌握二次根式的加减运算和乘除混合运算.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：娄星区期末
年份：2017
【例题5】
计算：
（1）
（2）
【答案】（1）5；（2）+
【解析】（1）直接利用二次根式的性质化简得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案．
解：（1）原式=×3+6×
=2+3
=5；
（2）原式=2﹣4×﹣+2
=2﹣﹣+2
=+．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
教学建议：熟练掌握二次根式的加减运算.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：硚口区期中
年份：2018
【练习5.1】
3﹣+2﹣
【答案】3
【解析】根据合并同类二次根式的法则计算可得．
解：原式=（3﹣+2﹣）×=3．
讲解用时：2分钟
解题思路：本题主要考查二次根式的加减法，二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
教学建议：熟练掌握二次根式的加减运算.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：浦东新区期中
年份：2018
【练习5.2】
计算：3﹣+﹣
【答案】
【解析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得．
解：原式=3﹣+﹣2
=（3﹣+﹣2）×
=．
讲解用时：2分钟
解题思路：本题主要考查二次根式的加减法，解题的关键是掌握二次根式的性质与合并同类二次根式的法则．
教学建议：熟练掌握二次根式的加减运算.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：奉贤区期中
年份：2018
【例题6】
（1）计算：
（2）先化简再求值：（﹣）?，其中a=8，b=32
【答案】（1）﹣2；（2）2
【解析】（1）根据二次根式的减法和除法可以解答本题；
（2）根据二次根式的乘法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．
解：（1）
=
=
=﹣2；
（2）（﹣）?
=，
当a=8，b=32时，原式===2．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式的化简求值的方法．
教学建议：熟练掌握二次根式的加减和乘除计算.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：平度市期末
年份：2018
【练习6.1】
先化简，再求值：（﹣），其中a=17﹣12，b=3+2
【答案】
【解析】将原式利用二次根式的性质和运算法则化简为，由a=17﹣12=（3﹣2）2、b=3+2=（+1）2，代入计算可得．
解：原式=（﹣）?
=[﹣]?
=?
=，
∵a=17﹣12=32﹣2××（2）2=（3﹣2）2，
b=3+2=（）2+2+1=（+1）2，
∴原式====．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．
教学建议：熟练掌握二次根式的混合计算，学会化简并代入求值.
难度：
4
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题7】
已知x=+，y=﹣．求：
（1）x2+y2；
（2）+的值．
【答案】（1）10；（2）10
【解析】（1）将x、y的值代入原式，结合完全平方公式即可求出结论；
（2）通分后，将x、y、x2+y2的值代入后即可得出结论．
解：（1）原式=（+）2+（﹣）2=5+2+（5﹣2）=10；
（2）原式===10．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了二次根式的化简求值、平方差公式以及完全平方公式，解题的关键是：（1）利用完全平方公式展开求值；（2）通分后代数求值．
教学建议：学会利用完全平方式进行计算，掌握二次根式的化简.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：新罗区校级期中
年份：2018
【练习7.1】
已知：a=+，b=﹣．
求值：（1）+；（2）a2﹣3ab+b2
【答案】（1）12；（2）18
【解析】（1）先计算出a+b、ab的值，再代入到原式==，计算可得；
（2）将a+b、ab的值代入到原式=（a+b）2﹣5ab计算可得．
解：（1）∵a=+，b=﹣，
∴a+b=2、ab=（）2﹣（）2=2，
则原式=
=
=
=
=12；
（2）原式=（a+b）2﹣5ab
=（2）2﹣5×2
=28﹣10
=18．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题主要分式和二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握分式和二次根式的运算顺序和运算法则及完全平方公式．
教学建议：掌握分式和二次根式的运算法则并灵活运用.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：禹州市期中
年份：2018
【练习7.2】
已知长方形的长为a，宽为b，且a=，b=．
（1）求长方形的周长；
（2）当S长方形=S正方形时，求正方形的周长．
【答案】（1）6；（2）8
【解析】（1）直接化简二次根式进而计算得出答案；
（2）利用二次根式乘法计算得出答案．
解：（1）∵a==2，b==，
∴长方形的周长是：2（a+b）=2（2+）=6；
（2）设正方形的边长为x，则有x2=ab，
∴r====2，
∴正方形的周长是4x=8．
讲解用时：4分钟
解题思路：此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键．
教学建议：灵活应用二次根式解决实际问题.
难度：
4
适应场景：当堂练习
例题来源：南昌期中
年份：2018
课后作业
【作业1】
若最简二次根式与是同类二次根式，则a= ．
【答案】4
【解析】根据最简同类二次根式的被开方数相同可得关于a的方程，解出即可得出答案．
解：由题意得：3a+2=4a﹣2，
解得：a=4．
故答案为：4．
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：仪征市期中
年份：2018
【作业2】
若最简二次根式与是同类二次根式，则a+b=
．
【答案】2
【解析】根据同类二次根式的定义：被开方数相同的二次根式，列方程，即可解答．
解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得：，
则a+b=2，
故答案为：2．
讲解用时：3分钟
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：西华县期中
年份：2018
【作业3】
若最简二次根式和是同类二次根式．
（1）求x，y的值；
（2）求的值．
【答案】（1）x=4，y=3；（2）5
【解析】（1）根据同类二次根式的定义：①被开方数相同；②均为二次根式；列方程解组求解；
（2）根据x，y的值和算术平方根的定义即可求解．
解：（1）根据题意知，
解得：；
（2）当x=4、y=3时，
===5．
讲解用时：3分钟
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：临洮县期中
年份：2018
【作业4】
计算
（1）（+）÷
（2）（+1）（﹣1）+（﹣2）0﹣
【答案】（1）6；（2）0
【解析】（1）首先化简二次根式进而利用二次根式混合运算法则求出答案；
直接利用乘法公式以及零指数幂的性质和立方根的性质化简求出答案；
解：（1）（+）÷
=（4+2）÷
=6÷
=6；
（2）（+1）（﹣1）+（﹣2）0﹣
=3﹣1+1﹣3
=0；
讲解用时：3分钟
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：新宾县期中
年份：2017
【作业5】
计算下面各题．
（1）（﹣2）×﹣6
（2）（+﹣1）（﹣+1）
【答案】（1）﹣6；（2）2
【解析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
解：（1）原式=3﹣6﹣3=﹣6
（2）原式=[+（﹣1）][﹣（﹣1）]
=3﹣（﹣1）2
=3﹣（2﹣2+1）
=3﹣（3﹣2）
=2
讲解用时：3分钟
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：宝丰县期末
年份：2017第14讲
二次根式的乘除
知识定位
讲解用时：3分钟
A、适用范围：人教版初二，基础一般；
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习二次根式的计算——二次根式的乘除。通过本节课的学习，我们要掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练地进行二次根式的乘除运算。
知识梳理
讲解用时：20分钟
课堂精讲精练
【例题1】
如果m＜0，化简|﹣m|的结果是（ ）
A．﹣2m
B．2m
C．0
D．﹣m
【答案】A
【解析】由m＜0，利用二次根式的性质=|a|及绝对值的性质计算可得．
解：∵m＜0，
∴原式=||m|﹣m|
=|﹣m﹣m|
=|﹣2m|
=﹣2m，
故选：A．
讲解用时：2分钟
解题思路：本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质：=|a|及绝对值的性质．
教学建议：熟练掌握二次根式的性质并化简.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：昆山市一模
年份：2018
【练习1.1】
化简得（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据二次根式化简的方法可以解答本题．
解：=，
故选：C．
讲解用时：2分钟
解题思路：本题考查二次根式的性质与化简，解答本题的关键是明确二次根式化简的方法．
教学建议：掌握最简二次根式并灵活运用.
难度：
2
适应场景：当堂练习
例题来源：揭西县期末
年份：2017
【练习1.2】
已知b＞0，化简的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】首先根据二次根式有意义的条件，判断a≤0，再根据二次根式的性质进行化简．
解：∵b＞0，﹣a3b≥0，
∴a≤0．
∴原式=﹣a．
故选：C．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的性质．
教学建议：熟记二次根式有意义的条件并灵活运用.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：吉林模拟
年份：2018
【例题2】
已知a，b，c是三角形的三边长，化简﹣|b﹣a+c|的结果是多少？
【答案】0
【解析】利用三角形三边关系得出a＜b+c，进而结合绝对值和二次根式的性质化简求出答案．
解：∵a，b，c是三角形的三边长，
∴a＜b+c，
则原式=|a﹣（b+c）|﹣|b+c﹣a|
=b+c﹣a﹣（b+c﹣a）
=0.
讲解用时：3分钟
解题思路：此题主要考查了二次根式的性质与化简以及三角形三边关系，得出a＜b+c是解题关键．
教学建议：利用二次根式的性质和三角形的三边关系解题.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：莒县期末
年份：2018
【练习2.1】
已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|﹣+﹣．
【答案】a﹣b
【解析】直接利用数轴判断得出：a＜0，a+c＜0，c﹣a＜0，b＞0，进而化简即可．
解：如图所示：a＜0，a+c＜0，c﹣a＜0，b＞0，
则原式=﹣a+a+c﹣（c﹣a）﹣b
=a﹣b．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各部分符号是解题关键．
教学建议：利用绝对值的性质和二次根式的性质进行化简.
难度：
4
适应场景：当堂练习
例题来源：天心区校级期末
年份：2018
【练习2.2】
若实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，试化简：﹣+|b+c|+|a﹣c|．
【答案】﹣a
【解析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果．
解：根据题意得：a＜b＜0＜c，且|c|＜|b|＜|a|，
∴a+b＜0，b+c＜0，a+c＜0，
则原式=|a|﹣|a+b|+|b+c|+|a﹣c|=﹣a+a+b﹣b﹣c﹣a+c=﹣a．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．
教学建议：利用绝对值的性质和二次根式的性质进行化简.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：抚州期末
年份：2017
【例题3】
把下列二次根式化为最简二次根式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）20；（2）
【解析】（1）将被开方数1200分为400×3，利用二次根式的乘法逆运算变形，再利用二次根式的化简公式化简，即可得到最简结果；
（2）根据=，进而化简求出即可．
解：（1）==20；
（2）==．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．
教学建议：熟练掌握二次根式的化简.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：元坝区校级月考
年份：2012
【练习3.1】
把下列各式化为最简二次根式：
（1）；
（2）（a＞0，b＞0）
【答案】（1）4；（2）（a+2b）
【解析】（1）根据二次根式的乘法，可化简二次根式；
（2）根据二次根式的性质，可化简二次根式．
解：（1）原式==4；
（2）原式===（a+2b）．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
教学建议：熟练掌握最简二次根式的应用.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【练习3.2】
下列式子哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？
，，，，．
【答案】只有，，是最简二次根式
【解析】根据必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式，分别进行判断可得出答案．
解：只有，，是最简二次根式．
含有能开尽方的数，含有能开尽方的数，被开方数不是整数，含有能开尽方的数，=x，被开方数不是整数．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查最简二次根式的知识，比较简单，牢记定义即可．
教学建议：熟练掌握最简二次根式的应用.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题4】
计算或化简：
（1）÷（﹣）×
（2）（﹣）÷．
【答案】（1）﹣2；（2）
【解析】（1）根据二次根式的性质即可取出答案．
（2）根据分式的运算法则即可求出答案．
解：（1）原式=×3××
=﹣2
（2）原式=（﹣）×
=×
=
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查学生的计算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
教学建议：熟练掌握二次根式的乘除法混合计算.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：江都区期末
年份：2017
【练习4.1】
计算：2．
【答案】6
【解析】根据二次根式的乘除法法则计算即可．
解：原式=2××
=××
=6．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键．
教学建议：熟练掌握二次根式的乘除法混合计算.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：顺义区期末
年份：2016
【练习4.2】
．
【答案】
【解析】直接利用二次根式乘除运算法则求出答案．
解：原式=，
=，
=．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题主要考查了二次根式的乘除运算法则，正确化简二次根式是解题关键．
教学建议：熟练掌握二次根式的乘除法混合计算.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：门头沟区期末
年份：2016
【例题5】
计算
（1）×÷
（2）（x＜2y＜0）
【答案】（1）；（2）﹣
【解析】（1）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案．
解：（1）×÷
=5×4÷3
=20÷3
=；
（2）（x＜2y＜0）
=?
=?
=﹣．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题主要考查了二次根式的乘除运算以及二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键．
教学建议：熟练掌握二次根式的乘除法混合计算及二次根式的化简.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习5.1】
÷×．
【答案】
【解析】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案．
解：原式=
=
=．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．
教学建议：熟练掌握二次根式的乘除法混合计算及二次根式的化简.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：安次区校级月考
年份：2017
【例题6】
（1）已知a2+b2=6，ab=1，求a﹣b的值；
（2）已知a=，b=，求a2+b2的值．
【答案】（1）±2；（2）2
【解析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；
（2）先分母有理化，再根据完全平方公式和平方差公式即可求解．
解：（1）由a2+b2=6，ab=1，得a2+b2﹣2ab=4，
（a﹣b）2=4，
a﹣b=±2．
（2）a===，
b===，
a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（+）2﹣2××=3﹣1=2．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了分母有理化、完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．
教学建议：灵活运用完全平方公式代入求代数式的值.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：丹江口市期末
年份：2017
【练习6.1】
已知a=2，b=2，求a2﹣2ab+b2的值．
【答案】12
【解析】根据已知先求出a﹣b的值，再把要求的式子化成完全平方的形式，然后代值计算即可．
解：∵a=2，b=2，
∴a﹣b=2﹣2+=2，
∴a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2=（2）2=12．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题考查了分母有理化，用到的知识点是完全平方公式，求出a﹣b的值是解题的关键．
教学建议：灵活运用完全平方公式代入求代数式的值.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：合肥期中
年份：2018
【练习6.2】
已知x=，y=，求x2﹣xy+y2的值．
【答案】9
【解析】先进行分母有理化，再代入解答即可．
解：因为x==，y==，
把代入x2﹣xy+y2中，
可得：
=5+2﹣3+2+5﹣2
=9．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查分式的化简求值，解题的关键是明确分式的化简求值的方法．
教学建议：熟练掌握分式的分母有理化.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：武侯区校级期末
年份：2016
【例题7】
已知x=，y=，求+的值．
【答案】3
【解析】先由已知条件得出x+y==，xy==1，再将+变形为，整体代入即可求解．
解：∵x+y==，xy==1，
∴+====3．
讲解用时：3分钟
解题思路：考查了分母有理化，关键是由已知条件得出x+y==，xy==1，注意整体思想的运用．
教学建议：掌握二次根式运算的法则，求代数式的值.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：容县期末
年份：2014
【练习7.1】
已知x=+1，y=﹣1，
求：（1）xy；
（2）x2+y2+xy．
【答案】（1）1；（2）7
【解析】根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．
解：（1）原式=（）2﹣12=1
（2）原式=（x+y）2﹣xy=（2）2﹣1=7
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式以及平方差公式，本题属于基础题型．
教学建议：掌握二次根式运算的法则，求代数式的值.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：青羊区期末
年份：2016
【练习7.2】
计算：?（﹣）÷3．
【答案】﹣a2b
【解析】直接利用二次根式乘除运算法则计算得出答案．
解：?（﹣）÷3
=×（﹣）×
=﹣
=﹣a2b．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．
教学建议：熟练掌握二次根式的乘除运算.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：长春校级月考
年份：2015
课后作业
【作业1】
计算：2×÷．
【答案】
【解析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
解：2×÷
=×
=．
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：泸县期末
年份：2017
【作业2】
计算：4÷（﹣）×．
【答案】﹣
【解析】根据二次根式的乘法法则和除法法则求解．
解：原式=﹣2÷×
=﹣×
=﹣．
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：门头沟区期末
年份：2014
【作业3】
计算：
（1）9×3﹣2+20160﹣×
（2）（a+2）（a﹣2）﹣（a﹣1）2．
【答案】（1）-2；（2）2a-5
【解析】（1）先根据负整数指数幂的意义、零指数幂的意义化简乘方，再算乘法，然后计算加减；
（2）利用平方差公式与完全平方公式计算乘法与乘方，再去括号合并同类项即可．
解：（1）9×3﹣2+20160﹣×
=9×+1﹣4
=1+1﹣4
=﹣2；
（2）（a+2）（a﹣2）﹣（a﹣1）2
=（a2﹣4）﹣（a2﹣2a+1）
=a2﹣4﹣a2+2a﹣1
=2a﹣5．
讲解用时：3分钟
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
【作业4】
化简下列各式：
（1）÷
（2）?
（3）；
（4）．
【答案】（1）2；（2）9x；（3）3；（4）
【解析】（1）直接利用二次根式的除法运算法则化简求出答案；
（2）直接利用二次根式的乘法运算法则化简求出答案；
（3）直接利用二次根式的除法运算法则化简求出答案；
（4）直接利用二次根式的除法运算法则化简求出答案．
解：（1）原式===2；
（2）原式==9x；
（3）原式==3；
（4）原式===．
讲解用时：3分钟
难度：
4
适应场景：练习题
例题来源：红桥区期中
年份：2018
【作业5】
设长方形的面积为S，相邻两边长分别是a，b，已知S=4，a=，求b．
【答案】
【解析】利用长方形的边=面积÷邻边列式计算即可．
解：b=S÷a
=4÷
=．
讲解用时：3分钟
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：北流市期中
年份：2017
