2019-2020学年江西省赣州市高一下学期期末数学试卷 （word版含解析 ）
文档属性
| 名称 | 2019-2020学年江西省赣州市高一下学期期末数学试卷 （word版含解析 ） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 986.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-08-09 16:04:33 | ||
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文档简介
2019-2020学年江西省赣州市高一第二学期期末数学试卷
一、选择题（共12小题）.
1．若a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．|a|＞|b| B．＜ C．a2＞b2 D．a3＞b3
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝30°，B＝45°，a＝2，则b等于（ ）
A． B．2 C．4 D．4
3．圆x2+y2﹣2x＝0与圆（x﹣1）2+（y+2）2＝9的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
4．直线x+（m+1）y﹣1＝0与直线mx+2y﹣1＝0平行，则m的值为（ ）
A．1或﹣2 B．1 C．﹣2 D．
5．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，若＜cosA，则△ABC为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．非钝角三角形
6．设D为△ABC所在平面内的一点，且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知实数x，y满足约束条件，则目标函数z＝的最大值为（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
8．已知单位向量，的夹角为120°，则向量﹣与向量+2的夹角为（ ）
A．60° B．120° C．30° D．150°
9．已知直线（k+1）x+（k﹣1）y﹣5k﹣3＝0恒过定点P（m，n），若正实数a，b满足+＝1，则a+b的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
10．若圆C：（x﹣1）2+y2＝4上恰有两个点到直线x﹣y+b＝0的距离为1，则实数b的取值范围（ ）
A．（﹣7，﹣3） B．（1，5）
C．（﹣3，5） D．（﹣7，﹣3）∪（1，5）
11．已知锐角△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2B﹣sin2A＝sinA?sinC，c＝3，则a的取值范围是（ ）
A．（，2） B．（1，2） C．（1，3） D．（，3）
12．已知点P在△ABC内部，且△PAB与△PAC的面积之比为3：1，若数列{an}满足a1＝1，＝（an+1﹣1）﹣an，则a4的值为（ ）
A．15 B．31 C．63 D．127
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知直线l1的方程为x+y+1＝0，若l⊥l1，则直线l的倾斜角为 ．
14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝10，a2+a6＝6，则d＝ ．
15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，并且a＝1，b＝，A＝30°，则c的值为 ．
16．已知⊙O为单位圆，A，B在圆上，向量，的夹角为60°，点C在劣弧上运动，若＝x+y，其中x，y∈R，则x+y的取值范围 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）
17．已知向量＝（2，﹣4），＝（λ，2）．
（1）若与共线，求|+|；
（2）若在上的投影为﹣，求λ的值．
18．已知数列{an}的前n项和，Sn＝．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn．
19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝．
（1）求角A；
（2）若△ABC的外接圆半径为2，求△ABC周长的最大值．
20．已知f（x）＝ax2+（a﹣1）x﹣1．
（1）若f（x）＞0的解集为（﹣1，﹣），求关于x的不等式≤0的解集；
（2）解关于x的不等式f（x）≥0．
21．已知圆C经过点A（3，﹣2）和B（1，0），且圆心在直线x+y+1＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）直线1经过（2，0），并且被圆C截得的弦长为2．求直线1的方程．
22．已知数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，a1＝1，a2＝3，bn＝，Sn+1+Sn﹣1＝2Sn+2（n≥2，n∈N*）．
（1）求证；数列{an}为等差数列，并求其通项公式an；
（2）求Tn；
（3）若λ（3﹣Tn）?2n≤an2恒成立，求实数λ的最大值．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．|a|＞|b| B．＜ C．a2＞b2 D．a3＞b3
解：由a＞b，取a＝0，b＝﹣1，则可排除ABC．
故选：D．
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝30°，B＝45°，a＝2，则b等于（ ）
A． B．2 C．4 D．4
解：∵A＝30°，B＝45°，a＝2，
∴由正弦定理，可得b＝＝＝2．
故选：B．
3．圆x2+y2﹣2x＝0与圆（x﹣1）2+（y+2）2＝9的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
解：圆C1：x2+y2﹣2x＝0，即 （x﹣1）2+y2＝1，表示以C1（1，0）为圆心，半径等于1的圆．
圆C2：（x﹣1）2+（y+2）2＝9，表示以C2（1，﹣2）为圆心，半径等于3的圆．
∴两圆的圆心距d＝|﹣2﹣0|＝2，
∵2＝3﹣1，故两个圆相内切．
故选：A．
4．直线x+（m+1）y﹣1＝0与直线mx+2y﹣1＝0平行，则m的值为（ ）
A．1或﹣2 B．1 C．﹣2 D．
解：由m（m+1）﹣2＝0，解得m＝﹣2，或1．
经过验证m＝1时，两条直线方程都为x+2y﹣1＝0，可知重合．
故选：C．
5．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，若＜cosA，则△ABC为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．非钝角三角形
解：∵A是△ABC的一个内角，0＜A＜π，
∴sinA＞0．
∵＜cosA，
由正弦定理可得，sinC＜sinBcosA，
∴sin（A+B）＜sinBcosA，
∴sinAcosB+sinBcosA＜sinBcosA，
∴sinAcosB＜0，又sinA＞0，
∴cosB＜0，即B为钝角．
故选：C．
6．设D为△ABC所在平面内的一点，且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
解：由题意：D为△ABC所在平面内的一点，
可得：…①
…②
∵，
代入①中可得：
…③
由②③消去可得：．
故选：B．
7．已知实数x，y满足约束条件，则目标函数z＝的最大值为（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
解：由约束条件作出可行域，
联立，解得A（1，﹣）．
z＝的几何意义为可行域内的动点与定点P（3，0）连线的斜率．
由图可知，z的最大值为．
故选：C．
8．已知单位向量，的夹角为120°，则向量﹣与向量+2的夹角为（ ）
A．60° B．120° C．30° D．150°
解：由题意知||＝||＝1，?＝1×1×cos120°＝﹣，
（﹣）?（+2）＝+?﹣2＝1﹣﹣2＝﹣，
|﹣|＝＝＝，
|+2|＝＝＝，
则向量﹣与向量+2夹角的余弦值为cosθ＝＝﹣，
又θ∈[0°，180°]，
所以θ＝120°．
故选：B．
9．已知直线（k+1）x+（k﹣1）y﹣5k﹣3＝0恒过定点P（m，n），若正实数a，b满足+＝1，则a+b的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
解：直线（k+1）x+（k﹣1）y﹣5k﹣3＝0化为：k（x+y﹣5）+x﹣y﹣3＝0，
令，解得x＝4，y＝1．
∴此直线恒过定点P（4，1），即m＝4，n＝1．
∵正实数a，b满足+＝1，∴+＝1．
则a+b＝（a+b）（+）＝5++≥5+2＝9，当且仅当a＝2b＝6时取等号．
∴a+b的最小值为9．
故选：A．
10．若圆C：（x﹣1）2+y2＝4上恰有两个点到直线x﹣y+b＝0的距离为1，则实数b的取值范围（ ）
A．（﹣7，﹣3） B．（1，5）
C．（﹣3，5） D．（﹣7，﹣3）∪（1，5）
解：由圆C：（x﹣1）2+y2＝4可得圆C的圆心C（1，0），半径为2，
若圆C：（x﹣1）2+y2＝4上恰有2个点到直线l的距离等于1，
则满足C到直线l：x﹣y+b＝0的距离1＜d＜3，
∵直线l的一般方程为：x﹣y+b＝0，
∴1＜＜3，
解得﹣7＜m＜﹣3或1＜m＜5，
故选：D．
11．已知锐角△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2B﹣sin2A＝sinA?sinC，c＝3，则a的取值范围是（ ）
A．（，2） B．（1，2） C．（1，3） D．（，3）
解：∵sin2B﹣sin2A＝sinA?sinC，
∴由正弦定理可得b2﹣a2＝ac，
∵由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得a2+c2﹣2accosB＝a2+ac，
又c＝3，
∴可得a＝，
∵锐角△ABC中，若B是最大角，则B必须大于，所以B∈（，），
所以cosB∈（0，），所以a∈（，3），
故选：D．
12．已知点P在△ABC内部，且△PAB与△PAC的面积之比为3：1，若数列{an}满足a1＝1，＝（an+1﹣1）﹣an，则a4的值为（ ）
A．15 B．31 C．63 D．127
解：在BC上取点D，使得BD＝3CD，
由△PAB与△PAC的面积之比为3：1，可得P在线段AD上，
∵＝（an+1﹣1）﹣an，
∴（an+1﹣1）＝an+＝an?+﹣，
化为＝+，
∵A，P，D三点共线，∴+＝1，即an+1＝1+2an，
∴a2＝1+2a1＝3，∴a3＝1+2a2＝7，∴a4＝1+2a3＝15．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知直线l1的方程为x+y+1＝0，若l⊥l1，则直线l的倾斜角为 ．
解：设此直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．
∵直线l1的方程为x+y+1＝0，l⊥l1，
则﹣×tanθ＝﹣1，
∴tanθ＝，
∴θ＝．
故答案为：．
14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝10，a2+a6＝6，则d＝ 1 ．
解：∵S5＝10，a2+a6＝6，
∴5a1+10d＝10，2a1+6d＝6，
则d＝1．
故答案为：1．
15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，并且a＝1，b＝，A＝30°，则c的值为 1或2 ．
解：∵在△ABC中，a＝1，b＝，A＝30°，
∴由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，
即1＝3+c2﹣3c，
整理得：（c﹣1）（c﹣2）＝0，
解得：c＝1或2．
故答案为：1或2
16．已知⊙O为单位圆，A，B在圆上，向量，的夹角为60°，点C在劣弧上运动，若＝x+y，其中x，y∈R，则x+y的取值范围 [1，] ．
解：由题意，以O为原点，OA为x轴的正向，建立如图所示的坐标系，
设C（cosθ，sinθ），0≤θ≤60°，可得A（1，0），B（，），
由＝x+y＝x（1，0）+y（，）得，
x+y＝cosθ，y＝sinθ，
即有y＝sinθ，x＝cosθ﹣，
∴x+y＝cosθ﹣+sinθ＝cosθ+sinθ＝sin（θ+60°），
∵0≤θ≤60°，
∴60°≤θ+60°≤120°，
∴1≤sin（θ+60°）≤
∴x+y的范围为[1，]，
故答案为：[1，]．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）
17．已知向量＝（2，﹣4），＝（λ，2）．
（1）若与共线，求|+|；
（2）若在上的投影为﹣，求λ的值．
解：（1）根据题意，向量＝（2，﹣4），＝（λ，2）．
若与共线，则2×2＝（﹣4）λ，解可得λ＝﹣1，
则＝（﹣1，2）；故+＝（1，﹣2）；
故|+|＝；
（2）若在上的投影为﹣，即||cosθ＝＝＝﹣，
解可得λ＝2，
故λ＝2．
18．已知数列{an}的前n项和，Sn＝．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn．
解：（1）当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣＝3n﹣2，
当n＝1时，由a1＝S1＝1，符合上式．
所以{an}的通项公式为an＝3n﹣2；
（2）可得bn＝＝＝（﹣），
前n项和Tn＝[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝（1﹣）＝．
19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝．
（1）求角A；
（2）若△ABC的外接圆半径为2，求△ABC周长的最大值．
解：（1）∵＝．
∴由正弦定理可得＝，化简可得b2+c2﹣a2＝bc，
∴cosA＝＝＝，
∵A为三角形内角，A∈（0，π），
∴A＝．
（2）∵△ABC的外接圆半径为2，A＝，
∴由正弦定理可得＝4，可得a＝2，
∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得12＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2﹣3（）2，当且仅当b＝c时等号成立，
∴b+c，当且仅当b＝c时等号成立，此时△ABC的周长的最大值为6．
20．已知f（x）＝ax2+（a﹣1）x﹣1．
（1）若f（x）＞0的解集为（﹣1，﹣），求关于x的不等式≤0的解集；
（2）解关于x的不等式f（x）≥0．
解：（1）由题意可得，，
解可得，a＝﹣2，
原不等式等价于，
即，
解可得，x＞1或x≤，
故不等式的解集为，{x|x＞1或x≤}，
（2）当a＝0时，原不等式可转化为x+1≤0，解集为（﹣∞，﹣1]，
当a＞0时，原不等式可化为（x+1）（x﹣）≥0，解集为（﹣∞，﹣1]∪[），
当a＜0时，原不等式可化为（x+1）（x﹣）≤0，解集为（﹣∞，﹣1]∪[），
若即a＜﹣1时，解集为[﹣1，]，
若＝﹣1即a＝﹣1时，解集为{﹣1}，
当＜﹣1即﹣1＜a＜0时，解集为[，﹣1]，
综上：当a＝0时，解集为（﹣∞，﹣1]，
当a＞0时，解集为（﹣∞，﹣1]∪[），
当a＜0时，解集为（﹣∞，﹣1]∪[），
a＜﹣1时，解集为[﹣1，]，
a＝﹣1时，解集为{﹣1}，
﹣1＜a＜0时，解集为[，﹣1]，
21．已知圆C经过点A（3，﹣2）和B（1，0），且圆心在直线x+y+1＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）直线1经过（2，0），并且被圆C截得的弦长为2．求直线1的方程．
解：（1）根据题意，由于圆心在直线x+y+1＝0上，故可设圆C的圆心坐标为C（a，﹣a﹣1）．
再由圆C经过点A（1，0），B（3，﹣2），
可得|CA|＝|CB|，则有|CA|2＝|CB|2，即（a﹣1）2+（﹣a﹣1）2＝（a﹣3）2+（﹣a﹣1+2）2，
解得 a＝1，故圆心C的坐标为（1，﹣2），
其半径r＝|CA|＝2，故圆C的方程为 （x﹣1）2+（y+2）2＝4；
（2）圆C的方程为 （x﹣1）2+（y+2）2＝4，若直线1被圆C截得的弦长为2，则圆心C到直线l的距离d＝＝1，
若直线l的斜率不存在，此时直线l的方程为x＝2，符合题意，
若直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k＝0，
则有d＝＝1，解可得k＝，此时直线l的方程为3x﹣4y﹣6＝0，
综合可得：直线l的方程为x＝2或3x﹣4y﹣6＝0．
22．已知数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，a1＝1，a2＝3，bn＝，Sn+1+Sn﹣1＝2Sn+2（n≥2，n∈N*）．
（1）求证；数列{an}为等差数列，并求其通项公式an；
（2）求Tn；
（3）若λ（3﹣Tn）?2n≤an2恒成立，求实数λ的最大值．
解：（1）证明：由Sn+1+Sn﹣1＝2Sn+2（n≥2，n∈N*），
可得（Sn+1﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn﹣1）＝2，
所以an+1﹣an＝2（n≥2），又a2﹣a1＝2，
则an+1﹣an＝2对任意的n∈N*成立，
所以数列{an}为首项为1，公差为2的等差数列，
则an＝2n﹣1；
（2）bn＝＝（2n﹣1）?（）n，
Tn＝1?+3?+5?+…+（2n﹣1）?（）n，
Tn＝1?+3?+5?+…+（2n﹣1）?（）n+1，
两式相减，得Tn＝+2（++…+（）n）﹣（2n﹣1）?（）n+1
＝+2?﹣（2n﹣1）?（）n+1，
所以Tn＝3﹣（2n+3）?（）n；
（3）由（2），可得3﹣Tn＝（2n+3）?（）n，
则λ（3﹣Tn）?2n＝λ（2n+3）≤an2＝4n2﹣4n+1，
所以λ≤，
设f（n）＝，令t＝2n+3，则t≥5，
所以g（t）＝＝t+﹣8在[4，+∞）为增函数，
因为t≥5，所以g（t）min＝g（5）＝，
即有λ≤，可得λ的最大值为．
一、选择题（共12小题）.
1．若a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．|a|＞|b| B．＜ C．a2＞b2 D．a3＞b3
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝30°，B＝45°，a＝2，则b等于（ ）
A． B．2 C．4 D．4
3．圆x2+y2﹣2x＝0与圆（x﹣1）2+（y+2）2＝9的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
4．直线x+（m+1）y﹣1＝0与直线mx+2y﹣1＝0平行，则m的值为（ ）
A．1或﹣2 B．1 C．﹣2 D．
5．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，若＜cosA，则△ABC为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．非钝角三角形
6．设D为△ABC所在平面内的一点，且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知实数x，y满足约束条件，则目标函数z＝的最大值为（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
8．已知单位向量，的夹角为120°，则向量﹣与向量+2的夹角为（ ）
A．60° B．120° C．30° D．150°
9．已知直线（k+1）x+（k﹣1）y﹣5k﹣3＝0恒过定点P（m，n），若正实数a，b满足+＝1，则a+b的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
10．若圆C：（x﹣1）2+y2＝4上恰有两个点到直线x﹣y+b＝0的距离为1，则实数b的取值范围（ ）
A．（﹣7，﹣3） B．（1，5）
C．（﹣3，5） D．（﹣7，﹣3）∪（1，5）
11．已知锐角△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2B﹣sin2A＝sinA?sinC，c＝3，则a的取值范围是（ ）
A．（，2） B．（1，2） C．（1，3） D．（，3）
12．已知点P在△ABC内部，且△PAB与△PAC的面积之比为3：1，若数列{an}满足a1＝1，＝（an+1﹣1）﹣an，则a4的值为（ ）
A．15 B．31 C．63 D．127
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知直线l1的方程为x+y+1＝0，若l⊥l1，则直线l的倾斜角为 ．
14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝10，a2+a6＝6，则d＝ ．
15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，并且a＝1，b＝，A＝30°，则c的值为 ．
16．已知⊙O为单位圆，A，B在圆上，向量，的夹角为60°，点C在劣弧上运动，若＝x+y，其中x，y∈R，则x+y的取值范围 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）
17．已知向量＝（2，﹣4），＝（λ，2）．
（1）若与共线，求|+|；
（2）若在上的投影为﹣，求λ的值．
18．已知数列{an}的前n项和，Sn＝．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn．
19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝．
（1）求角A；
（2）若△ABC的外接圆半径为2，求△ABC周长的最大值．
20．已知f（x）＝ax2+（a﹣1）x﹣1．
（1）若f（x）＞0的解集为（﹣1，﹣），求关于x的不等式≤0的解集；
（2）解关于x的不等式f（x）≥0．
21．已知圆C经过点A（3，﹣2）和B（1，0），且圆心在直线x+y+1＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）直线1经过（2，0），并且被圆C截得的弦长为2．求直线1的方程．
22．已知数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，a1＝1，a2＝3，bn＝，Sn+1+Sn﹣1＝2Sn+2（n≥2，n∈N*）．
（1）求证；数列{an}为等差数列，并求其通项公式an；
（2）求Tn；
（3）若λ（3﹣Tn）?2n≤an2恒成立，求实数λ的最大值．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．|a|＞|b| B．＜ C．a2＞b2 D．a3＞b3
解：由a＞b，取a＝0，b＝﹣1，则可排除ABC．
故选：D．
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝30°，B＝45°，a＝2，则b等于（ ）
A． B．2 C．4 D．4
解：∵A＝30°，B＝45°，a＝2，
∴由正弦定理，可得b＝＝＝2．
故选：B．
3．圆x2+y2﹣2x＝0与圆（x﹣1）2+（y+2）2＝9的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
解：圆C1：x2+y2﹣2x＝0，即 （x﹣1）2+y2＝1，表示以C1（1，0）为圆心，半径等于1的圆．
圆C2：（x﹣1）2+（y+2）2＝9，表示以C2（1，﹣2）为圆心，半径等于3的圆．
∴两圆的圆心距d＝|﹣2﹣0|＝2，
∵2＝3﹣1，故两个圆相内切．
故选：A．
4．直线x+（m+1）y﹣1＝0与直线mx+2y﹣1＝0平行，则m的值为（ ）
A．1或﹣2 B．1 C．﹣2 D．
解：由m（m+1）﹣2＝0，解得m＝﹣2，或1．
经过验证m＝1时，两条直线方程都为x+2y﹣1＝0，可知重合．
故选：C．
5．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，若＜cosA，则△ABC为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．非钝角三角形
解：∵A是△ABC的一个内角，0＜A＜π，
∴sinA＞0．
∵＜cosA，
由正弦定理可得，sinC＜sinBcosA，
∴sin（A+B）＜sinBcosA，
∴sinAcosB+sinBcosA＜sinBcosA，
∴sinAcosB＜0，又sinA＞0，
∴cosB＜0，即B为钝角．
故选：C．
6．设D为△ABC所在平面内的一点，且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
解：由题意：D为△ABC所在平面内的一点，
可得：…①
…②
∵，
代入①中可得：
…③
由②③消去可得：．
故选：B．
7．已知实数x，y满足约束条件，则目标函数z＝的最大值为（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
解：由约束条件作出可行域，
联立，解得A（1，﹣）．
z＝的几何意义为可行域内的动点与定点P（3，0）连线的斜率．
由图可知，z的最大值为．
故选：C．
8．已知单位向量，的夹角为120°，则向量﹣与向量+2的夹角为（ ）
A．60° B．120° C．30° D．150°
解：由题意知||＝||＝1，?＝1×1×cos120°＝﹣，
（﹣）?（+2）＝+?﹣2＝1﹣﹣2＝﹣，
|﹣|＝＝＝，
|+2|＝＝＝，
则向量﹣与向量+2夹角的余弦值为cosθ＝＝﹣，
又θ∈[0°，180°]，
所以θ＝120°．
故选：B．
9．已知直线（k+1）x+（k﹣1）y﹣5k﹣3＝0恒过定点P（m，n），若正实数a，b满足+＝1，则a+b的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
解：直线（k+1）x+（k﹣1）y﹣5k﹣3＝0化为：k（x+y﹣5）+x﹣y﹣3＝0，
令，解得x＝4，y＝1．
∴此直线恒过定点P（4，1），即m＝4，n＝1．
∵正实数a，b满足+＝1，∴+＝1．
则a+b＝（a+b）（+）＝5++≥5+2＝9，当且仅当a＝2b＝6时取等号．
∴a+b的最小值为9．
故选：A．
10．若圆C：（x﹣1）2+y2＝4上恰有两个点到直线x﹣y+b＝0的距离为1，则实数b的取值范围（ ）
A．（﹣7，﹣3） B．（1，5）
C．（﹣3，5） D．（﹣7，﹣3）∪（1，5）
解：由圆C：（x﹣1）2+y2＝4可得圆C的圆心C（1，0），半径为2，
若圆C：（x﹣1）2+y2＝4上恰有2个点到直线l的距离等于1，
则满足C到直线l：x﹣y+b＝0的距离1＜d＜3，
∵直线l的一般方程为：x﹣y+b＝0，
∴1＜＜3，
解得﹣7＜m＜﹣3或1＜m＜5，
故选：D．
11．已知锐角△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2B﹣sin2A＝sinA?sinC，c＝3，则a的取值范围是（ ）
A．（，2） B．（1，2） C．（1，3） D．（，3）
解：∵sin2B﹣sin2A＝sinA?sinC，
∴由正弦定理可得b2﹣a2＝ac，
∵由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得a2+c2﹣2accosB＝a2+ac，
又c＝3，
∴可得a＝，
∵锐角△ABC中，若B是最大角，则B必须大于，所以B∈（，），
所以cosB∈（0，），所以a∈（，3），
故选：D．
12．已知点P在△ABC内部，且△PAB与△PAC的面积之比为3：1，若数列{an}满足a1＝1，＝（an+1﹣1）﹣an，则a4的值为（ ）
A．15 B．31 C．63 D．127
解：在BC上取点D，使得BD＝3CD，
由△PAB与△PAC的面积之比为3：1，可得P在线段AD上，
∵＝（an+1﹣1）﹣an，
∴（an+1﹣1）＝an+＝an?+﹣，
化为＝+，
∵A，P，D三点共线，∴+＝1，即an+1＝1+2an，
∴a2＝1+2a1＝3，∴a3＝1+2a2＝7，∴a4＝1+2a3＝15．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知直线l1的方程为x+y+1＝0，若l⊥l1，则直线l的倾斜角为 ．
解：设此直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．
∵直线l1的方程为x+y+1＝0，l⊥l1，
则﹣×tanθ＝﹣1，
∴tanθ＝，
∴θ＝．
故答案为：．
14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝10，a2+a6＝6，则d＝ 1 ．
解：∵S5＝10，a2+a6＝6，
∴5a1+10d＝10，2a1+6d＝6，
则d＝1．
故答案为：1．
15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，并且a＝1，b＝，A＝30°，则c的值为 1或2 ．
解：∵在△ABC中，a＝1，b＝，A＝30°，
∴由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，
即1＝3+c2﹣3c，
整理得：（c﹣1）（c﹣2）＝0，
解得：c＝1或2．
故答案为：1或2
16．已知⊙O为单位圆，A，B在圆上，向量，的夹角为60°，点C在劣弧上运动，若＝x+y，其中x，y∈R，则x+y的取值范围 [1，] ．
解：由题意，以O为原点，OA为x轴的正向，建立如图所示的坐标系，
设C（cosθ，sinθ），0≤θ≤60°，可得A（1，0），B（，），
由＝x+y＝x（1，0）+y（，）得，
x+y＝cosθ，y＝sinθ，
即有y＝sinθ，x＝cosθ﹣，
∴x+y＝cosθ﹣+sinθ＝cosθ+sinθ＝sin（θ+60°），
∵0≤θ≤60°，
∴60°≤θ+60°≤120°，
∴1≤sin（θ+60°）≤
∴x+y的范围为[1，]，
故答案为：[1，]．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）
17．已知向量＝（2，﹣4），＝（λ，2）．
（1）若与共线，求|+|；
（2）若在上的投影为﹣，求λ的值．
解：（1）根据题意，向量＝（2，﹣4），＝（λ，2）．
若与共线，则2×2＝（﹣4）λ，解可得λ＝﹣1，
则＝（﹣1，2）；故+＝（1，﹣2）；
故|+|＝；
（2）若在上的投影为﹣，即||cosθ＝＝＝﹣，
解可得λ＝2，
故λ＝2．
18．已知数列{an}的前n项和，Sn＝．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn．
解：（1）当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣＝3n﹣2，
当n＝1时，由a1＝S1＝1，符合上式．
所以{an}的通项公式为an＝3n﹣2；
（2）可得bn＝＝＝（﹣），
前n项和Tn＝[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝（1﹣）＝．
19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝．
（1）求角A；
（2）若△ABC的外接圆半径为2，求△ABC周长的最大值．
解：（1）∵＝．
∴由正弦定理可得＝，化简可得b2+c2﹣a2＝bc，
∴cosA＝＝＝，
∵A为三角形内角，A∈（0，π），
∴A＝．
（2）∵△ABC的外接圆半径为2，A＝，
∴由正弦定理可得＝4，可得a＝2，
∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得12＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2﹣3（）2，当且仅当b＝c时等号成立，
∴b+c，当且仅当b＝c时等号成立，此时△ABC的周长的最大值为6．
20．已知f（x）＝ax2+（a﹣1）x﹣1．
（1）若f（x）＞0的解集为（﹣1，﹣），求关于x的不等式≤0的解集；
（2）解关于x的不等式f（x）≥0．
解：（1）由题意可得，，
解可得，a＝﹣2，
原不等式等价于，
即，
解可得，x＞1或x≤，
故不等式的解集为，{x|x＞1或x≤}，
（2）当a＝0时，原不等式可转化为x+1≤0，解集为（﹣∞，﹣1]，
当a＞0时，原不等式可化为（x+1）（x﹣）≥0，解集为（﹣∞，﹣1]∪[），
当a＜0时，原不等式可化为（x+1）（x﹣）≤0，解集为（﹣∞，﹣1]∪[），
若即a＜﹣1时，解集为[﹣1，]，
若＝﹣1即a＝﹣1时，解集为{﹣1}，
当＜﹣1即﹣1＜a＜0时，解集为[，﹣1]，
综上：当a＝0时，解集为（﹣∞，﹣1]，
当a＞0时，解集为（﹣∞，﹣1]∪[），
当a＜0时，解集为（﹣∞，﹣1]∪[），
a＜﹣1时，解集为[﹣1，]，
a＝﹣1时，解集为{﹣1}，
﹣1＜a＜0时，解集为[，﹣1]，
21．已知圆C经过点A（3，﹣2）和B（1，0），且圆心在直线x+y+1＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）直线1经过（2，0），并且被圆C截得的弦长为2．求直线1的方程．
解：（1）根据题意，由于圆心在直线x+y+1＝0上，故可设圆C的圆心坐标为C（a，﹣a﹣1）．
再由圆C经过点A（1，0），B（3，﹣2），
可得|CA|＝|CB|，则有|CA|2＝|CB|2，即（a﹣1）2+（﹣a﹣1）2＝（a﹣3）2+（﹣a﹣1+2）2，
解得 a＝1，故圆心C的坐标为（1，﹣2），
其半径r＝|CA|＝2，故圆C的方程为 （x﹣1）2+（y+2）2＝4；
（2）圆C的方程为 （x﹣1）2+（y+2）2＝4，若直线1被圆C截得的弦长为2，则圆心C到直线l的距离d＝＝1，
若直线l的斜率不存在，此时直线l的方程为x＝2，符合题意，
若直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k＝0，
则有d＝＝1，解可得k＝，此时直线l的方程为3x﹣4y﹣6＝0，
综合可得：直线l的方程为x＝2或3x﹣4y﹣6＝0．
22．已知数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，a1＝1，a2＝3，bn＝，Sn+1+Sn﹣1＝2Sn+2（n≥2，n∈N*）．
（1）求证；数列{an}为等差数列，并求其通项公式an；
（2）求Tn；
（3）若λ（3﹣Tn）?2n≤an2恒成立，求实数λ的最大值．
解：（1）证明：由Sn+1+Sn﹣1＝2Sn+2（n≥2，n∈N*），
可得（Sn+1﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn﹣1）＝2，
所以an+1﹣an＝2（n≥2），又a2﹣a1＝2，
则an+1﹣an＝2对任意的n∈N*成立，
所以数列{an}为首项为1，公差为2的等差数列，
则an＝2n﹣1；
（2）bn＝＝（2n﹣1）?（）n，
Tn＝1?+3?+5?+…+（2n﹣1）?（）n，
Tn＝1?+3?+5?+…+（2n﹣1）?（）n+1，
两式相减，得Tn＝+2（++…+（）n）﹣（2n﹣1）?（）n+1
＝+2?﹣（2n﹣1）?（）n+1，
所以Tn＝3﹣（2n+3）?（）n；
（3）由（2），可得3﹣Tn＝（2n+3）?（）n，
则λ（3﹣Tn）?2n＝λ（2n+3）≤an2＝4n2﹣4n+1，
所以λ≤，
设f（n）＝，令t＝2n+3，则t≥5，
所以g（t）＝＝t+﹣8在[4，+∞）为增函数，
因为t≥5，所以g（t）min＝g（5）＝，
即有λ≤，可得λ的最大值为．
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