2019-2020学年江西省新余市高二下学期期末数学试卷（文科） （解析版）

2019-2020学年江西省新余市高二第二学期期末数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|y＝log2（2﹣x﹣x2）}，B＝N，则A∩B＝（　　）
A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{﹣1，0}
2．下列命题错误的是（　　）
A．命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝3”的逆否命题为“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”
B．命题“?x∈R，x2﹣x+2＞0“的否定是“?x0∈R，x02﹣x0+2＜0”
C．若“p且q”为真命题，则p，q均为真命题
D．“x＞﹣1”是“x2+4x+3＞0”的充分不必要条件
3．曲线+＝1与+＝1（0＜k＜9）的关系是（　　）
A．有相等的焦距，相同的焦点
B．有不同的焦距，不同的焦点
C．有相等的焦距，不同的焦点
D．以上都不对
4．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为（　　）
A． B． C．8 D．﹣8
5．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+a2在x＝1处取极值10，则a＝（　　）
A．4或﹣3 B．4或﹣11 C．4 D．﹣3
6．已知函数f（x）＝e2x+1﹣e﹣2x﹣mx在R上为增函数，则m的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．已知双曲线，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A、B两点，且|AB|＝4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为（　　）
A．8 B．9 C．16 D．20
8．已知函数f（x）＝，下列结论不正确的是（　　）
A．f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减
B．f（x）的图象在点（1，0）处的切线方程为y＝x﹣1
C．f（2）＞f（3）
D．f（x）在（0，+∞）上有最大值
9．若函数f（x）＝﹣mx+ex﹣2恰有两个不同的零点，则实数m的取值范围为（　　）
A．（1，e） B．（，1） C．（，+∞） D．（e，+∞）
10．函数f（x）＝的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
11．已知椭圆+＝1的左，右焦点分别是F1，F2，若椭圆上存在一点M，使（+）＝0（O为坐标原点），且||＝t||，则实数t的值为（　　）
A．2 B．2 C． D．1
12．已知函数f（x）＝，当x∈[m，+∞）时，f（x）的取值范围为（﹣∞，e+2]，则实数m的取值范围是（　　）
A．（] B．（﹣∞，1] C．[] D．[ln2，1]
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请将正确答案填在答题卷相应位置）
13．已知函数f（x）在x＝x0处的导数为3，则＝　 　．
14．已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝xlnx+1，则曲线y＝f（x）在x＝﹣1处的切线方程为　 　．
15．已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线为1，若1与双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为　 　．
16．设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x，则不等式（x﹣2020）2f（x﹣2020）﹣4f（2）≤0的解集为　 　．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．已知命题p：实数x满足x2﹣6x+5≤0，命题q：实数x满足m﹣1≤x≤m+1．
（1）当m＝5时，若“p且q”为真，求实数x的取值范围；
（2）若q是p的充分条件，求实数m的取值范围．
18．已知椭圆的两焦点为F1（﹣1，0）、F2（1，0），P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|+|PF2|．
（1）求此椭圆的方程；
（2）若点P在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面积．
19．已知a∈R，函数f（x）＝（﹣x2+ax）ex（x∈R，e为自然对数的底数）．
（1）当a＝2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在（﹣1，1）上不存在极值点，求a的取值范围．
20．已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴的正半轴上，过点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，且满足．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若P是抛物线C上的动点，点M，N在x轴上，圆x2+（y﹣1）2＝1内切于△PMN，求△PMN面积的最小值．
21．已知函数
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设，当a＞0时，证明：f（x）≥g（x）．
请考生在第22、第23二题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：ρ＝2sinθ．
（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）已知点M（1，3），直线l与圆C相交于A、B两点，求|MA|+|MB|的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝2|x﹣1|﹣|x﹣a|．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≤a+1+|x﹣a|恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合A＝{x|y＝log2（2﹣x﹣x2）}，B＝N，则A∩B＝（　　）
A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{﹣1，0}
【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出集合A∩B．
解：∵集合A＝{x|y＝log2（2﹣x﹣x2）}
＝{x|2﹣x﹣x2＞0}＝{x|x2+x﹣2＜0}
＝{x|﹣2＜x＜1}，
B＝N，
∴A∩B＝{0}．
故选：A．
2．下列命题错误的是（　　）
A．命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝3”的逆否命题为“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”
B．命题“?x∈R，x2﹣x+2＞0“的否定是“?x0∈R，x02﹣x0+2＜0”
C．若“p且q”为真命题，则p，q均为真命题
D．“x＞﹣1”是“x2+4x+3＞0”的充分不必要条件
【分析】写出原命题的逆否命题，可判断A；写出原命题的否定命题，可判断B；根据复合命题真假判断的真值表，可判断C；根据充要条件的定义，可判断D．
解：命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝3”的逆否命题是“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”，故A正确；
命题：“?x∈R，使得x2﹣x+2＞0”，则命题的否定为：“?x0∈R，x02﹣x0+2≤0”，故B错误；
若p∧q为真命题，则p、q都是真命题，故C正确；
“x2+4x+3＞0”?“x＞﹣1或x＜﹣3”，则“x＞﹣1”是“x2+4x+3＞0”的充分不必要条件，故D正确；
故选：B．
3．曲线+＝1与+＝1（0＜k＜9）的关系是（　　）
A．有相等的焦距，相同的焦点
B．有不同的焦距，不同的焦点
C．有相等的焦距，不同的焦点
D．以上都不对
【分析】判断两个椭圆的焦点坐标与焦距的大小即可得到结果．
解：曲线+＝1与+＝1（0＜k＜9）都是椭圆方程，焦距为：2c＝＝8，＝8，焦距相等，+＝1的焦点坐标在x轴，+＝1的焦点坐标在y轴，
故选：C．
4．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为（　　）
A． B． C．8 D．﹣8
【分析】首先把抛物线方程转化为标准方程x2＝my的形式，再根据其准线方程为y＝﹣即可求之．
解：抛物线y＝ax2的标准方程是x2＝y，
则其准线方程为y＝﹣＝2，
所以a＝﹣．
故选：B．
5．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+a2在x＝1处取极值10，则a＝（　　）
A．4或﹣3 B．4或﹣11 C．4 D．﹣3
【分析】根据函数f（x）在x＝1处取极值10，得，
由此求得a、b的值，再验证a、b是否符合题意即可．
解：函数f（x）＝x3+ax2+bx+a2在x＝1处取极值10，
∴f′（x）＝3x2+2ax+b，
且，
解得a＝4，b＝﹣11或，a＝﹣3，b＝3；
a＝﹣3，b＝3时：f′（x）＝3x2﹣6x+3＝3（x﹣1）2≥0，
根据极值的定义知道，此时函数f（x）无极值；
a＝4，b＝﹣11时，f′（x）＝3x2+8x﹣11，
令f′（x）＝0得x＝1或﹣，符合条件；
∴a＝4．
故选：C．
6．已知函数f（x）＝e2x+1﹣e﹣2x﹣mx在R上为增函数，则m的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由函数f（x）＝e2x+1﹣e﹣2x﹣mx在R上为增函数，可知f'（x）≥0在R上恒成立，然后利用分离参数法求出m的范围．
解：∵函数f（x）＝e2x+1﹣e﹣2x﹣mx在R上为增函数，
∴f'（x）＝2e2x+1+2e﹣2x﹣m≥0在R上恒成立，
即m≤2e2x+1+2e﹣2x对x∈R恒成立，
∵，
当且仅当x＝﹣时取等号，∴．
故选：A．
7．已知双曲线，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A、B两点，且|AB|＝4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为（　　）
A．8 B．9 C．16 D．20
【分析】应用双曲线的定义和△ABF2的周长为20，解出半长轴，可求m的值．
【解答】解析：由已知，|AB|+|AF2|+|BF2|＝20，又|AB|＝4，则|AF2|+|BF2|＝16．
据双曲线定义，2a＝|AF2|﹣|AF1|＝|BF2|﹣|BF1|，
所以4a＝|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）＝16﹣4＝12，
即a＝3，所以m＝a2＝9，
故选：B．
8．已知函数f（x）＝，下列结论不正确的是（　　）
A．f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减
B．f（x）的图象在点（1，0）处的切线方程为y＝x﹣1
C．f（2）＞f（3）
D．f（x）在（0，+∞）上有最大值
【分析】对f（x）求导，分析函数f（x）的单调性，最值可得A，D正确；结合导数的几何意义可得切线的斜率，再用两点式写出切线方程，可得B正确；f（2）＝，f（3）＝，可得f（2）＜f（3），故C错误．
解：f′（x）＝＝，
在（0，e）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（e，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，故A正确，
f（x）max＝f（e）＝＝，故D正确，
f（x）的图象在点（1，0）处的切线方程为：
y﹣0＝f′（1）（x﹣1），即y＝1?（x﹣1）＝x﹣1，故B正确，
f（2）＝＝＝，f（3）＝＝＝，
因为0＜ln8＜ln9，
所以f（2）＜f（3），故C错误．
故不正确的是C，
故选：C．
9．若函数f（x）＝﹣mx+ex﹣2恰有两个不同的零点，则实数m的取值范围为（　　）
A．（1，e） B．（，1） C．（，+∞） D．（e，+∞）
【分析】对函数f（x）求导，通过讨论m判断出函数的单调性和极限，将函数f（x）恰有两个不同的零点，转化为极小值小于0，解不等式求出m的范围即可．
解：函数f（x）＝﹣mx+ex﹣2定义域为R，
则f′（x）＝﹣m+ex﹣2，
当m≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在R上单调递增，舍去；
当m＞0时，令f′（x）＝0，解得x＝2+lnm，则f（x）在（﹣∞，2+lnm）上单调递减，在（2+lnm，+∞）上单调递增，
x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞时，f（x）→+∞，
函数f（x）恰有两个不同的零点，只需f（2+lnm）＜0，即﹣m（2+lnm）+m＜0
化简得：m（lnm+1）＞0，解得m＞或m＜0（舍）
综上可知，m＞，
故选：C．
10．函数f（x）＝的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，分析可得f（x）为奇函数且在区间（0，）上，有f（x）＞0，据此由排除法分析可得答案．
解：根据题意，函数，
有＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，排除C、D；
在（0，）上，（x3+x）＞0，cosx＞0，e|x|＞0，则有f（x）＞0，排除B，
故选：A．
11．已知椭圆+＝1的左，右焦点分别是F1，F2，若椭圆上存在一点M，使（+）＝0（O为坐标原点），且||＝t||，则实数t的值为（　　）
A．2 B．2 C． D．1
【分析】由向量的加减运算和数量积的性质，可得||＝||＝c，即有△MF1F2为直角三角形，且∠F1MF2＝90°，由勾股定理和椭圆的定义，解方程即可得到所求值．
解：（+）＝0，则（+）?（）＝0，
所以＝0，所以||＝||＝c，
即有△MF1F2为直角三角形，且∠F1MF2＝90°，
可得椭圆+＝1的a＝4，b＝2，c＝＝2，
设|MF2|＝m，由椭圆的定义可得|MF1|＝2a﹣m＝8﹣m，
且||＝t||，所以（8﹣m）2+m2＝4c2＝32，解得m＝4，
由mt＝8﹣m，解得t＝1，
故选：D．
12．已知函数f（x）＝，当x∈[m，+∞）时，f（x）的取值范围为（﹣∞，e+2]，则实数m的取值范围是（　　）
A．（] B．（﹣∞，1] C．[] D．[ln2，1]
【分析】当x≥ln2时，求得f（x）的导数和单调性、极大值，画出f（x）的图象，求得3﹣2x＝2+e的x的值，结合额图象和条件可得m的范围．
解：当x≥ln2时，f（x）＝（x﹣2）（x﹣ex）+3的导数为f′（x）＝（x﹣1）（2﹣ex），
当ln2≤x≤1时，f′（x）≤0，f（x）递减；x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增，
x＝1处f（x）取得极大值2+e，
作出y＝f（x）的图象，
由当x∈[m，+∞）时，f（x）的取值范围为（﹣∞，e+2]，
由3﹣2x＝2+e，可得x＝，
可得≤m≤1．
故选：C．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请将正确答案填在答题卷相应位置）
13．已知函数f（x）在x＝x0处的导数为3，则＝　　．
【分析】结合导数的定义，f'（x0）＝，将原式进行变形即可得解．
解：＝?＝＝＝．
故答案为：．
14．已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝xlnx+1，则曲线y＝f（x）在x＝﹣1处的切线方程为　x+y＝0　．
【分析】根据条件求出x＜0时f（x）的解析式，然后求出f（x）在x＝﹣1处的切线斜率，再求出切线方程．
解：∵f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝xlnx+1，
∴当x＜0时，f（x）＝﹣xln（﹣x）+1，此时f'（x）＝﹣ln（﹣x）﹣1，
∴f（x）在x＝﹣1处的切线斜率k＝f'（﹣1）＝﹣1，又f（﹣1）＝1，
∴f（x）在x＝﹣1处的切线方程为y﹣1＝﹣（x+1），即x+y＝0，
故答案为：x+y＝0．
15．已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线为1，若1与双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为　　．
【分析】由抛物线方程求得焦点坐标与准线方程，再根据条件求得|AB|，结合|AB|＝4|OF|列式，求出双曲线的离心率．
解：∵抛物线y2＝x的焦点为F，准线为l．
∴F（，0），准线l的方程为x＝﹣，
∵l与双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|（O为原点），
∴|AB|＝，|OF|＝，∴，
∴a＝2b，则e＝＝．
故答案为：．
16．设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x，则不等式（x﹣2020）2f（x﹣2020）﹣4f（2）≤0的解集为　（2020，2022]．　．
【分析】由题可知，当x＞0时，有2xf（x）+x2f′（x）＞x2＞0，于是构造函数g（x）＝x2f（x），可知g（x）在（0，+∞）上单调递增，而原不等式可以转化为g（x﹣2020）≤g（2），即0＜x﹣2020≤2，解之即可．
解：∵2f（x）+xf′（x）＞x，∴当x＞0时，有2xf（x）+x2f′（x）＞x2＞0，
令g（x）＝x2f（x），则g'（x）＝2xf（x）+x2f′（x）＞0，
即g（x）在（0，+∞）上单调递增，
对于不等式（x﹣2020）2f（x﹣2020）﹣4f（2）≤0，
可转化为g（x﹣2020）≤g（2），
∴0＜x﹣2020≤2，解得2020＜x≤2022，
∴不等式的解集为（2020，2022]．
故答案为：（2020，2022]．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．已知命题p：实数x满足x2﹣6x+5≤0，命题q：实数x满足m﹣1≤x≤m+1．
（1）当m＝5时，若“p且q”为真，求实数x的取值范围；
（2）若q是p的充分条件，求实数m的取值范围．
【分析】求解一元二次不等式得到命题p所对应的集合A．
（1）取m＝5得到命题q所对应的集合B，取交集得答案；
（2）由题意可得，[m﹣1，m+1]?[1，5]，再由两集合端点值间的关系列不等式组求解．
解：由x2﹣6x+5≤0，得1≤x≤5，
∴命题p满足的集合为A＝[1，5]．
命题q满足的集合为B＝[m﹣1，m+1]．
（1）当m＝5时，A＝[1，5]，B＝[4，6]．
由“p且q”为真，的x∈[1，5]∩[4，6]＝[4，5]；
（2）若q是p的充分条件，则[m﹣1，m+1]?[1，5]，
∴，解得2≤m≤4．
∴m的取值范围为[2，4]．
18．已知椭圆的两焦点为F1（﹣1，0）、F2（1，0），P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|+|PF2|．
（1）求此椭圆的方程；
（2）若点P在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面积．
【分析】（1）根据2|F1F2|＝|PF1|+|PF2|，求出a，结合焦点坐标求出c，从而可求b，即可得出椭圆方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立，可得P的坐标，利用三角形的面积公式，可求△PF1F2的面积．
解：（1）依题意得|F1F2|＝2，
又2|F1F2|＝|PF1|+|PF2|，
∴|PF1|+|PF2|＝4＝2a，
∴a＝2，
∵c＝1，
∴b2＝3．
∴所求椭圆的方程为+＝1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）设P点坐标为（x，y），
∵∠F2F1P＝120°，
∴PF1所在直线的方程为y＝（x+1）?tan 120°，
即y＝﹣（x+1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
解方程组
并注意到x＜0，y＞0，可得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴S△PF1F2＝|F1F2|?＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
19．已知a∈R，函数f（x）＝（﹣x2+ax）ex（x∈R，e为自然对数的底数）．
（1）当a＝2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在（﹣1，1）上不存在极值点，求a的取值范围．
【分析】（1）根据题意可得f（x）＝（﹣x2+2x）ex，求导f′（x），令f′（x）＞0，即可得函数f（x）的单调递增区间．
（2）求导得f′（x）＝[﹣x2+（a﹣2）x+a]ex，令h（x）＝﹣x2+（a﹣2）x+a，有两个零点x1，x2 （x1＜x2），若符合题意则h（﹣1）h（1）≥0，进而得出答案．
解：（1）当a＝2时，f（x）＝（﹣x2+2x）ex，
f′（x）＝（﹣2x+2）ex+（﹣x2+2x）ex＝（﹣x2+2）ex，
令f′（x）＞0得，﹣＜x＜，
所以函数f（x）的单调递增区间为（﹣，）．
（2）f′（x）＝（﹣2x+a）ex+（﹣x2+ax）ex＝[﹣x2+（a﹣2）x+a]ex，
令h（x）＝﹣x2+（a﹣2）x+a，
△＝（a﹣2）2﹣4×（﹣1）×a＝a2+4＞0，
所以h（x）＝﹣x2+（a﹣2）x+a，有两个零点x1，x2 （x1＜x2）
若函数f（x）在（﹣1，1）上不存在极值点，则
h（﹣1）h（1）≥0，
所以[﹣1+（a﹣2）（﹣1）+a][2a﹣3]≥0，
解得a≥，
故a的取值范围为：[，+∞）．
20．已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴的正半轴上，过点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，且满足．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若P是抛物线C上的动点，点M，N在x轴上，圆x2+（y﹣1）2＝1内切于△PMN，求△PMN面积的最小值．
【分析】（Ⅰ）设抛物线C的方程为x2＝2py（p＞0），则焦点F的坐标为．设直线l的方程为，联立方程得消去y化简，利用韦达定理，结合向量的数量积求解p，即可得到抛物线方程．
（Ⅱ）设P（x0，y0）（x0y0≠0），M（m，0），N（n，0）易知点M，N的横坐标与P的横坐标均不相同．不妨设m＞n．直线PM的方程为化简得y0x﹣（x0﹣m）y﹣my0＝0，利用圆心（0，1）到直线PM的距离为1，推出，同理可得，m，n可以看作是的两个实数根，利用韦达定理，转化求解三角形的面积，结合基本不等式求解最值即可．
解：（Ⅰ）由题意，设抛物线C的方程为x2＝2py（p＞0），则焦点F的坐标为．
设直线l的方程为，
联立方程得消去y得x2﹣2pkx﹣p2＝0，△＝4p2k2+4p2＞0，
所以．
因为，所以p＝1．
故抛物线的方程为x2＝2y．
（Ⅱ）设P（x0，y0）（x0y0≠0），M（m，0），N（n，0）易知点M，N的横坐标与P的横坐标均不相同．
不妨设m＞n．
易得直线PM的方程为化简得y0x﹣（x0﹣m）y﹣my0＝0，
又圆心（0，1）到直线PM的距离为1，所以，
所以
不难发现y0＞2，故上式可化为，
同理可得，
所以m，n可以看作是的两个实数根，
则，
所以．
因为P（x0，y0）是抛物线C上的点，所以
则，又y0＞2，所以，
从而
＝＝
＝≥，
当且仅当时取得等号，此时
故△PMN面积的最小值为8．
21．已知函数
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设，当a＞0时，证明：f（x）≥g（x）．
【分析】（1）求导，分a＞0及a＜0两种情况讨论得解；
（2）构造函数，只需证明F（x）≥0即可得证．
解：（1），
当a＞0时，f'（x）＞0?x＞a，f'（x）＜0?0＜x＜a，
当a＜0时，f'（x）＞0?0＜x＜﹣2a，f'（x）＜0?x＞﹣2a，
∴a＞0时，f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）递增；a＜0时，f（x）在（0，﹣2a）上递增，在（﹣2a，+∞）递减；
（2）证明：设，
则，
∵a＞0，
∴x∈（0，a）时，F'（x）＜0，F（x）递减x∈（a，+∞），F'（x）＞0，F（x）递增，
∴，
设，（x＞0），则，
x＞1时h'（x）＞0，时，h（x）递增，0＜x＜1h'（x）＜0，
∴h（x）递减，
∴h（x）≥h（1）＝0，
∴F（a）＝h（a）≥0，
∴F（x）≥0，即得证．
请考生在第22、第23二题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：ρ＝2sinθ．
（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）已知点M（1，3），直线l与圆C相交于A、B两点，求|MA|+|MB|的值．
【分析】（1）把直线参数方程中的参数t消去，可得直线的普通方程；把ρ＝2sinθ两边同乘以ρ，得ρ2＝2ρsinθ，代入ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ，可得圆C的直角坐标方程；
（2）化直线方程为参数方程的标准形式，代入圆的方程，化为关于t的一元二次方程，再由此时t的几何意义即根与系数的关系求解|MA|+|MB|的值．
解：（1）把直线l的参数方程（t为参数）消去参数t，得直线l的普通方程为y＝2x+1；
将ρ＝2sinθ两边同乘以ρ，得ρ2＝2ρsinθ，将ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入，
得x2+（y﹣1）2＝1，
∴圆C的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝1；
（2）经检验点M（1，3）在直线l上，
化直线方程为，代入圆C的直角坐标方程x2+（y﹣1）2＝1，
得，即．
设t1，t2是方程 的两根，
则．
∵t1t2＝4＞0，∴t1与t2同号，
由t的几何意义得|MA|+|MB|＝．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝2|x﹣1|﹣|x﹣a|．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≤a+1+|x﹣a|恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）原不等式化为2|x﹣1|﹣|x﹣2|≥1，由零点分区间法和绝对值的意义，去绝对值，解不等式可得解集；
（2）由题意可得（|2x﹣2|﹣|2x﹣2a|）max≤a+1，运用绝对值不等式的性质可得其最大值，再由绝对值不等式求出a的范围．
解：（1）当a＝2时，不等式f（x）≥1即为2|x﹣1|﹣|x﹣2|≥1，
当x≥2时，2x﹣2﹣（x﹣2）≥1，解得x≥2；
当1＜x＜2时，2x﹣2+x﹣2≥1，解得≤x＜2；
当x≤1时，2（1﹣x）+x﹣2≥1，解得x≤﹣1，
综上可得，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≤﹣1或x≥}；
（2）不等式f（x）≤a+1+|x﹣a|恒成立，
即为（|2x﹣2|﹣|2x﹣2a|）max≤a+1，
由|2x﹣2|﹣|2x﹣2a|≤|2x﹣2﹣2x+2a|＝|2a﹣2|，
得|2x﹣2|﹣|2x﹣2a|≤的最大值为|2a﹣2|，则|2a﹣2|≤a+1，
所以﹣a﹣1≤2a﹣2≤a+1，解得≤a≤3，
则a的取值范围是[，3]．