第十二章全等三角形
12.2全等三角形的判定
第2课时
一、教学目标:
1.理解三角形全等的判定定理（边角边），并能灵活地运用，进行有条理的简单的推理.
2.经历探索三角形全等判定方法的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.
二、教学重点及难点
重点:
“边角边”判定条件的理解和应用．
难点:利用“边角边”的判定三角形全等，灵活解决问题.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、直尺、刻度尺、量角器
四、相关资源
动画演示《“已知两边及其夹角”做一个三角形与已知三角形重合的过程》
五、教学过程
（一）问题导入
在上节课的讨论中，我们发现三角形中只给一个条件或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．给出三个条件时，有四种可能，你能说出是哪四种吗？
生：三内角；三条边；两边一内角；两内角一边．
师：很好，这四种情况中我们已经研究了两种，三内角分别相等不能保证两三角形一定全等；三条边分别相等的两三角形全等．今天我们接着研究第三种情况：“两边一内角”．
师：如果已知一个三角形的两边及一内角，那么它有几种可能情况？
生：两种：
（1）两边及其夹角；（2）两边及一边的对角．
设计意图：明确给出三个条件时有四种情况和本节课要探究的内容．
（二）探究新知
师：按照上节方法，我们有两个问题需要探究．
探究1：先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，C′A′＝CA，∠A′＝∠A（即保证两边和它们的夹角对应相等）．把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
探究2：先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，C′A′＝CA，∠B′＝∠B（即保证两边和其中一边的对角对应相等）．把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
学生活动：
（1）学生自己动手，利用直尺、三角尺、量角器等工具画出△ABC与△A′B′C′，将△A′B′C′剪下，与△ABC重叠，比较结果．
（2）作好图后，与同伴交流作图心得，讨论发现什么样的规律．
教师活动：
在学生作完图后，由一个学生口述作图方法，教师进行动画演示，再次体会探究全等三角形条件的过程．
操作结果展示：
对于探究1：画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A．
（1）画∠DA′E＝∠A；
（2）在射线A′D上截取A′B′＝AB，在射线A′E上截取A′C′＝AC；
（3）连结B′C′．
将△A′B′C′剪下，发现△ABC与△A′B′C′全等．
由此得出判定方法：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简称“边角边”和“SAS”）．
几何语言表示：
如图，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
对于探究2：
学生画出的图形各式各样，有的说全等，有的说不全等．教师在此可引导学生总结画图方法：
（1）画∠DB′E＝∠B；
（2）在射线B′D上截取B′A′＝BA；
（3）以A′为圆心，以AC长为半径画弧，此时只要∠C≠90°，弧线一定和射线B′E交于两点C′，F，也就是说可以得到两个三角形满足条件，而两个三角形是不可能同时和△ABC全等的．
也就是说：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．所以它不能作为判定两三角形全等的条件．
归纳总结：
“两边及一内角”中的两种情况只有一种情况能判定三角形全等．即：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．（简记为“边角边”或“SAS”）．
设计意图：类比“边边边”探究得出“边角边”，学生通过动手操作、自主探究、交流、获得新知，进一步增强了动手能力．
（三）例题解析
【例】如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达A和B．连结AC并延长到D，使CD＝CA．连结BC并延长到点E，使CE＝CB．连结DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？
师生共同分析：如果能证明△ABC≌△DEC，就可以得出AB＝DE．在△ABC和△DEC中，AC＝DC，BC＝EC．要是再有∠1＝∠2，那么△ABC与△DEC就全等了．而∠1和∠2是对顶角，所以它们相等．
证明：在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC（SAS）．
∴AB＝DE．
设计意图：运用“边角边”判定方法解决实际问题，引导学生把实际问题转化为几何问题，分析问题中的已知条件，以及两个三角形全等还需要的条件．
（四）课堂练习
1．如图，OA平分∠BOC，并且OB＝OC．求证：AB＝AC．
2．如图，已知△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，且CD＝BE，△ADC与△AEB全等吗？小明是这样分析的：因为AB＝AC，BE＝CD，∠BAE＝∠CAD，所以△ADC≌△AEB（SSA），他的思路正确吗？请说明理由．
学生独立完成．
答案：
1．证明：∵OA平分∠BOC，
∴∠BOA＝∠COA．
在△OAB和△OAC中，
∴△OAB≌△OAC(SAS)．
∴AB＝AC．
2．小明的思路错误．错解在把“SSA”作为三角形全等的判别方法，实际上，“SSA”不能作为三角形全等的判别条件．因为两边及一边对角相等的两个三角形不一定全等．
正解：△ADC≌△AEB．因为AB＝AC，D，E为AB，AC的中点，所以AD＝AE．在△ADC和△AEB中，因为AC＝AB，AD＝AE，CD＝BE，所以△ADC≌△AEB（SSS）．
或者因为AB＝AC，D，E为AB，AC的中点，所以AD＝AE．在△ADC和△AEB中，因为AC＝AB，∠CAD=∠BAE，AD＝AE，所以△ADC≌△AEB（SAS）．
设计意图：通过练习，掌握全等三角形判定的证明格式，通过解题实践，锻炼学生分析问题，寻找判定三角形全等条件的能力．
六、课堂小结
1．根据“边角边”判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．
2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件（包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等），并要善于运用学过的定义、公理、定理．
设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，理解“边角边”判定方法．
七、板书设计
12.2三角形全等的判定（边角边）
“边角边”（SAS）：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
边角边的几何语言(共19张PPT)
第十二章
全等三角形
12.2
三角形全等的判定
第2课时
学习目标
1.理解三角形全等的判定定理（边角边），并能灵活地运用，进行有条理的简单的推理.
2.经历探索三角形全等判定方法的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.
问题导入
三角形中只给一个条件或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．给出三个条件时，有四种可能．你能说出是哪四种吗？
（1）三内角
（2）三条边
（3）两边一内角
（4）两内角一边
SSS
不能
？
？
（1）两边及其夹角；
（2）两边及一边的对角．
两边一内角
问题导入
探究1：先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，C′A′＝CA，∠A′=∠A（即保证两边和它们的夹角分别相等）．把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
探究新知
（2）在射线A′D上截取
A′B′=AB，在射线A′E上
截取
A′C′=AC；
A′
B′
C′
画法：
（3）连结B′C′．
（1）画∠DA′E=∠A；
E
D
探究新知
将△A′B′C′剪下，发现△ABC与△A′B′C′全等．
A
B
C
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等．
简称“边角边”和“SAS”．
如何用几何语言来表达呢？
如图：
探究新知
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
A
B
C
D
E
F
探究2：先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，C′A′＝CA，∠B′=∠B（即保证两边和其中一边的对角分别相等）．把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
探究新知
（3）以A′为圆心，以AC长为半径画弧，此时只要∠C≠90°，弧线一定和射线B′E交于两点C′，F．
画法：
（2）在射线B′D上截取B′A′=BA；
（1）画∠DB′E=∠B；
探究新知
A′
B′
C′
E
D
A
B
C
F
所以SSA不能判定全等．
而
△ABC与△
A′B′C′不全等．
探究新知
△ABC≌△
A′B′F
，
A′
B′
C′
E
D
A
B
C
F
【例】如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达A和B．连结AC并延长到D，使CD=CA．连结BC并延长到点E，使CE=CB．连结DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？
A
E
B
D
C
1
2
例题解析
证明：在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB=DE．
例题解析
A
E
B
D
C
1
2
1．如图，OA平分∠BOC，并且OB=OC．
求证：AB=AC．
证明：∵OA平分∠BOC，
∴∠BOA=∠COA．
在△OAB和△OAC中，
∴△OAB≌△OAC（SAS）．
∴AB=AC．
课堂练习
O
A
B
C
2．如图，已知△ABC中，AB=AC，D
，E分别是AB
，
AC的中点，且CD=BE，△ADC与△AEB全等吗？
小明是这样分析的：
因为AB=AC，BE=CD，∠BAE=∠CAD，
所以△ADC≌△AEB（SSA），
他的思路正确吗？
请说明理由．
A
B
C
D
E
课堂练习
思路错误．
错把“SSA”作为三角形全等的判别方法，两边及一边对角相等的两个三角形不一定全等．
课堂练习
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
正确的解法：△ADC≌△AEB．
∵AB=AC，D，E为AB，AC的中点，
∴AD=AE．
在△ADC和△AEB中，
∵AC=AB，AD=AE，CD=BE，
∴△ADC≌△AEB（SSS）．
课堂练习
A
B
C
D
E
另一种解法：
∵AB=AC，D，E为AB，AC的中点，
∴AD=AE．
在△ADC和△AEB中，
∵AC=AB，∠CAD=∠BAE，AD=AE，
∴△ADC≌△AEB（SAS）．
课堂练习
1．根据“边角边”判定两个三角形全等，要找出
两边及夹角分别相等的三个条件．
2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件
（包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共
角等），并要善于运用学过的定义、公理、定理．
课堂小结
再见
