(共18张PPT)
第十二章
全等三角形
12.3
角的平分线的性质
学习目标
1．会用尺规作一个已知角的平分线；
2．掌握角的平分线的性质和判定，能够完成严密的逻辑推理.
3．能运用角的平分线的性质定理解决简单的几何问题．
给出一个纸片做的角，不利用工具，能不能找出这个角的角平分线呢？
思考
如果将纸片换成木板、钢板等无法对折的材料，能不能找出这个角的角平分线呢？
情景导入
探究（1）作已知角的平分线的方法
工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平分线．AB=AD，BC=DC．将A点放在角的顶点处，AB和AD沿角的两边放下，过AC画一条射线AE，AE即为∠BAD的平分线．
你知道其中的原理吗？
引出新知
A
B
D
C
E
（2）分别以M，N为圆心、大于MN一半的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于C．
思考：能小于
MN吗？
如何用直尺和圆规作角的平分线？
（3）作射线OC，则射线OC即为所求．
A
B
M
（1）以O为圆心、适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．
动手操作
C
N
O
为什么OC是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC.
求证：OC平分∠AOB.
探究新知
A
B
M
C
N
O
探究（2）折纸实验：
过程：请你将一张用纸片做的角∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，
探究新知
问题：观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
再连续折出几个直角三角形，然后展开，观察折痕，你能得到什么结论？
如图：按照折纸的顺序画出角及折纸形成的三条折痕.
（分组讨论、交流，并用文字语言阐述得到的性质）.
探究新知
角平分线上的点到角的两边的距离相等．
条件：一个点在一个角的平分线上．
结论：它到角的两边的距离相等．
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA
，PE
⊥OB，垂足分别是D，E.
求证：PD=PE.
文字命题的证明步骤？
探究新知
O
C
A
B
P
E
D
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
题设：角的内部一个点到这个角两边的距离相等．
结论：这个点在这个角的角平分线上．
几何语言：∵点P在∠AOB的内部，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，PD=PE，
∴射线OP是∠AOB的平分线.
探究新知
O
C
A
B
P
E
D
例1 如图，已知CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，
BD，CE交于O，AO平分∠BAC.
求证：OB=OC.
例题解析
∴△OEB≌△ODC(ASA)
∴OB＝OC
例题解析
证明∵AO平分∠BAC，CE⊥AB于E,BD⊥AC于D
∴∠OEB=∠ODC
在△OEB和△ODC中
例2 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P．
求证：点P到三边
AB，BC，CA的距离相等.
例题解析
∟
D
E
∟
F
∟
例题解析
证明:过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，
垂足分别为D，E，F.
∵BM是ΔABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE.
同理PE=PF，
∴PD=PE=PF,
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
1．判断正误，并说明理由：
（1）如图1，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB
，则PE=PF.(
)
（2）如图2，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E，F分别在OA，OB上，则PE=PF.(
)
（3）如图3，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA的距离为3
cm，则P到OB的距离为3
cm.(
)
A
O
B
P
E
F
图2
C
课堂练习
A
O
B
P
E
F
图1
C
图3
A
O
B
P
E
C
×
×
√
2．如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，
CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=________.
课堂练习
O
C
A
B
E
D
30°
（1）怎样作一个角的平分线？
角的平分线的性质定理，条件是…结论是…
它是证明什么的重要依据之一？
角的平分线的判定定理
，条件是…结论是…
它是证明什么的重要依据之一？
（2）这节课你还有什么困惑？
通过本节课你了解了哪些思考问题的方法？
课堂小结
再见第十二章全等三角形
12.3角的平分线的性质
一、教学目标
1．会用尺规作一个已知角的平分线；
2．掌握角的平分线的性质和判定；能够完成严密的逻辑推理；
3．能运用角的平分线的性质定理解决简单的几何问题．
二、教学重点及难点
重点：角平分线的尺规作图，角的平分线的性质和判定及其应用．
难点：1.对角平分线性质定理中“点到角两边的距离”的正确理解.
2.角的平分线的性质及判定定理的运用.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、直尺、刻度尺、量角器、角平分仪
四、相关资源
《角的平分线的性质》微课
五、教学过程
(一)
引出新知
问题1：给出一个纸片做的角,能不能找出这个角的角平分线呢？
师生活动：可用量角器，若不利用工具，也可用折纸的方法，教师课件演示．
问题2：哪一种方法用起来更方便？在生活中，这些方法是否都可行呢？
师生活动：用量角器比较方便，但有误差，用折叠的方法比较简捷，但若换成木板、钢板等无法对折的材料,此方法就不行了，那还有别的方法适合吗？引出课题．
［设计意图］依据弗雷登塔尔的现实性原则，设计“激趣设疑、联旧带新”环节，既能激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，同时为更高层次的知识建构提供了理想途径．
（二）探究新知
探究（1）：出示仪器模型，说明工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平分线．介绍仪器特点（有两对边相等），将A点放在角的顶点处，AB和AD沿角的两边放下，过AC画一条射线AE，AE即为∠BAD的平分线．为什么？
学生口述，用三角形全等的方法（sss）证明AE是∠BAD的平分线．
师问：把简易平分角的仪器放在角的两边时，平分角的仪器两边相等，也就是AB＝AD，从几何作图角度怎么画？BC＝DC，从几何作图角度怎么画？
师生活动：学生同桌交流，归纳角的平分线的作法．学生板演示范作图．
预设：为什么要以大于MN的长为半径画弧？为什么强调交于角的内部？提倡学生自学、对学、再群学．
［设计意图］帮助学生体验从生产生活中分离，抽象出数学模型，以此为线索，先自学、再对学，有问题（或困难）的在小组内交流，从实验操作中获得启示，探究出作角的平分线的方法，不仅注重了个人的实效性发展，而且也实现了学生自身能力的资源共享．
探究（2）：请将一张用纸片做的角∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？再连续折出几个直角三角形，然后展开，观察折痕，你能得到什么结论？
问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？
问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？
学生动手折叠
师生活动：第一次折痕是角的平分线，第二次的折痕是角平分线上的点到两边的距离，它们的长度相等，连续再折出折痕长度也对应相等．由此可见，角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质．用文字语言阐述得到的猜想：
角的平分线上的点到角两边的距离相等
［设计意图］学生动手动脑，可猜测并能说出观察到的结论，为逻辑推理做好了铺垫．
几何语言：∵OC是∠AOB的角平分线
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"_blank?)（或者∠AOC＝∠BOC）点P在OC上且PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE．
师生活动：分清题设和结论，画出图形，引导学生结合图形写出已知、求证，分析后完成证明过程，两名同学板演，教师巡视指导，同桌互查．证明后，教师强调经过证明正确的命题可作为定理．同时强调文字命题的证明步骤．
［设计意图］经历实践→猜想→证明→归纳的过程，符合学生的认知规律，尤其是对于结论的验证，信息技术在此体现了它的不可替代性，特别是对于那些抽象思维能力弱的学生有了很好的帮助．
交换角的平分线性质定理的条件和结论得到：(有难度要及时引导)
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
几何语言：∵点P在∠AOB的内部，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，PD＝PE，
∴射线OP是∠AOB的平分线．
按照性质的证明方法学生自己证明．（同桌交流）教师巡视指导．
（三）例题解析
例1．如图，已知CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，BD，CE交于O，AO平分∠BAC．
求证：OB＝OC．
证明：∵AO平分∠BAC，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D
∴∠OEB=∠ODC
在△OEB和△ODC中
∴△OEB≌△ODC(ASA)
∴OB＝OC
教师用多媒体展示问题，学生观察识图，独立思考，并且在小组内讨论交流，找出证明思路，4名学生板演自己的证明过程，学生再互评．
预设：有学生会仍旧去找全等三角形，而不能直接去运用性质定理解决数学问题．
［设计意图］本例题的解决是为突出重点、突破难点而设计的一项活动．提醒学生能直接运用性质定理解决的数学问题，不要再仍旧去找全等三角形，更好地拓展学生解题思路及形成知识运用能力，符合高效课堂要求．
例2．已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
证明:过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为分别D，E，F.
∵BM是ΔABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.
同理PE=PF，
∴PD=PE=PF,
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
限时让学生独立思考分析，然后交流证题思路，再通过多媒体展示一般证明过程．
［设计意图］限时独立完成，并展示．通过问题的解决，帮助学生更好地理解角平分线的性质，并达到能熟练运用的程度．
（四）课堂练习
（1）判断正误，并说明理由：
如图，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则PE＝PF．(
)
如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E，F分别在OA，OB上，则PE＝PF．(
)
如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA的距离为3
cm，则P到OB的距离边为3
cm
??(
)
（2）填空：如图，∠AOB＝60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD＝CE，
则∠DOC＝(
)
［设计意图］学生独立思考完成，旨在进一步理解和巩固角平分线的性质定理（三个条件缺一不可）和判定定理．
答案：（1）×
×
√
(2)30°
六、课堂小结
（1）角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
（2）这节课你还有什么困惑？通过本节课你了解了哪些思考问题的方法？
猜想到证明（合情推理——演绎推理）．
［设计意图］通过引导学生自主归纳，调动学生的主动参与意识，锻炼学生归纳概括与表达能力．
七、板书设计
12.3
角的平分线的性质
尺规作角的平分线的步骤
角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
角的平分线性质的几何推理格式
