(共26张PPT)
第十三章
轴对称
13.1轴对称
13.1.2
线段的垂直平分线
品课件
1．理解线段的垂直平分线性质定理和判定定理，会解决
实际问题．
2．通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展推理证明意识和能力.
学习目标
（1）用平面图将上述问题进行转化，先作出线段
AB，
过AB中点作AB的垂直平分线l，在l上取
连接
…
，
…，
，
，
，
，
，
，
A
B
l
线段的垂直平分线的性质定理
（2）用直尺量出
…
讨论发现什么样的规律．
猜测：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即
=
=
，
，
=
…
线段的垂直平分线的性质定理
A
B
l
，
，
，
，
，
证法1：利用两个三角形全等．
如图，直线l⊥AB，垂足为C，
AC=CB，点P在l上．
求证：PA=PB．
证明：∵l⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB．
猜测求证
A
B
l
C
在△APC和△BPC中，
∴△APC≌△BPC（SAS）．
∴PA=PB．
猜测求证
A
B
l
C
证法2：利用轴对称性质．
由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线l对折，线段PA与PB是重合的，因此它们也是相等的．
猜测求证
A
B
l
C
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
你能用“如果……那么……”的形式叙述吗？其条件是什么，结论是什么？
条件是：有一个点是线段垂直平分线上的点．
结论是：这个点与这条线段两个端点的距离相等．
如果有一个点是线段垂直平分线上的点，那么这个点与这条线段两个端点的距离相等．
线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的性质定理的逆命题是什么？
如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．
如果有一个点是线段垂直平分线上的点，那么这个点与这条线段两个端点的距离相等．
线段垂直平分线的性质定理：
能判断它是真命题吗？
线段垂直平分线的性质定理
已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA=PB．
求证：点P在AB的垂直平分线上．
证法1：过点P作PC⊥AB于点C．
∴∠PCA=∠PCB=90°．
在△APC和△BPC中，
线段垂直平分线的性质定理的逆定理
∴△APC≌△BPC（HL）．
∴AC=BC．即P点在AB的垂直平分线上．
A
B
C
证法2：
取AB的中点C，过PC作直线．
∴AC=BC．
在△APC和△BPC中，
猜测求证
A
B
C
∴∠PCA=∠PCB=90°．
即PC⊥AB．
∴点P在AB的垂直平分线上．
∴△APC≌△BPC（SSS）．
∴∠PCA=∠PCB．
又∠PCA+∠PCB=180°，
猜测求证
A
B
C
证法3：过P点作∠APB的角平分线交AB于点C．
∴∠1＝∠2．
在△APC和△BPC中，
猜测求证
A
B
C
∴∠PCA=∠PCB=90°．
即PC⊥AB．
∴点P在AB的垂直平分线上．
∴△APC≌△BPC（SSS）．
∴AC=BC，∠PCA=∠PCB．
又∠PCA+∠PCB=180°，
猜测求证
A
B
C
垂直平分线性质定理的逆定理．
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合．
线段的垂直平分线性质定理的逆定理
【例】尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线
的垂线．
已知：直线AB外一点C．
A
B
C
求作：AB的垂线，使它经过点C．
例题解析
作法：
（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．
K
A
B
C
D
E
例题解析
（3）分别以点D和E为圆心，以大于DE一半的长为半径作弧，两弧相交于点F．
（4）作直线CF．直线CF就是所求的垂线．
K
A
B
C
D
E
F
例题解析
思考：为什么直线CF就是所求作的垂线？
从作法的（2）（3）步可知CD=CE，DF=EF，
∴点C，F都在DE的垂直平分线上．
∴CF就是线段DE的垂直平分线．
又∵点D，E在直线AB上，
∴CF就是所求直线AB的垂线．
A
B
C
D
E
F
例题解析
要作出线段的垂直平分线，必须找到两个与线段两个端点距离相等的点，才能确定已知线段的垂直平分线．
证明一条直线是线段的垂直平分线时，必须证明两个点在线段的垂直平分线上．
例题解析
1．已知线段AB和它的外面一点P，
（1）若PA=PB，
则点P在AB的
；
（2）若点P在AB的
，
则PA=PB．
垂直平分线上
垂直平分线上
课堂练习
1．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，
大于
AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为多少？
课堂练习
2．电信部门要S区修建一座电视信号发射塔，如图所示，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，请你确定发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．
S
课堂练习
答案：如图，应建在m，n夹角（锐角）的角平分线a和线段AB的垂直平分线b的交点P处．
S
a
b
P
课堂练习
1．线段垂直平分线的性质定理；
2．线段垂直平分线性质定理的逆定理；
3．尺规作图：作已知直线的垂线．
课堂小结
再见第十三章轴对称
13.1轴对称
13.1.2线段的垂直平分线的性质
一、教学目标
1.要求学生理解线段的垂直平分线性质定理和判定定理，进而解决实际问题．
2.通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展学生的推理证明意识和能力.
二、教学重点及难点
重点：线段的垂直平分线性质定理和判定定理.
难点：运用线段的垂直平分线性质定理和判定定理解决问题.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、直尺、刻度尺、圆规
四、相关资源
木条
，钉子
五、教学过程
动手操作
（1）
作出线段AB，过AB中点作AB的垂直平分线l，在l上取，，…，连结，，，，，…
（2）作好图后，用直尺量出，，，，，…讨论发现什么样的规律．
设计意图：通过动手操作，激发学生学习及探究的兴趣，变“要我学”为“我要学”，充分调动了学生的积极性．
（二）猜测求证
1．让学生大胆猜测观察的结果是什么．但是，我们仅仅凭观察就能说明这个结论的正确性吗？
给学生留有时间和空间，交流讨论，如何证明结论的正确性．选取两组代表，把他们的证明过程写在黑板上，教师巡视学生书写过程，有针对性地引导讲解，规范学生证明过程．
猜测：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即＝，＝…
证法1：利用两个三角形全等．
如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC＝CB，点P在l上，求证：PA＝PB．
证明：∵l⊥AB，
∴∠PCA＝∠PCB．
∵在△APC和△BPC中，
∴△APC≌△BPC（SAS）．
∴PA＝PB．
证法2：利用轴对称性质．
由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线l对折，线段PA与PB是重合的，因此它们也是相等的．
2．让学生先用自己的语言总结线段垂直平分线的性质定理，教师再引导规范．
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
3．你能把线段的垂直平分线的性质定理用“如果……那么……”的形式叙述吗，其条件是什么，结论是什么？
条件是：有一个点是线段垂直平分线上的点；
结论是：这个点与这条线段两个端点的距离相等．
如果有一个点是线段垂直平分线上的点，那么这个点与这条线段两个端点的距离相等．
4．线段垂直平分线的性质定理的逆命题是什么？能判断它是真命题吗？
如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．
5．小组交流：如何证明此逆命题？教师要适时强调类比原命题，画出图形，写出已知、求证，再证明．
已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA＝PB．
求证：点P在AB的垂直平分线上．
证法1：过点P作PC⊥AB于点C．
∴∠PCA＝∠PCB＝90°．
在△APC和△BPC中，
∴△APC≌△BPC（HL）．
∴AC＝BC．
即P点在AB的垂直平分线上．
证法2：取AB的中点C，过PC作直线．
∴AC＝BC．
在△APC和△BPC中，
∴△APC≌△BPC（SSS）．
∴∠PCA＝∠PCB．
又∠PCA＋∠PCB＝180°，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°．
即PC⊥AB．
∴点P在AB的垂直平分线上．
证法3：过P点作∠APB的角平分线交AB于点C．
∴∠1＝∠2．
在△APC和△BPC中，
∴△APC≌△BPC（SAS）．
∴AC＝BC，∠PCA＝∠PCB．
又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°．
∴P点在线段AB的垂直平分线上．
通过证明，线段垂直平分线性质定理的逆命题是成立的，所以可以作为垂直平分线性质定理的逆定理．
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
6．从上述两个结论看出：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上．所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合．
设计意图：先让学生动手操作，再猜测发现，培养了学生的直观猜测能力，教师通过层层设问引入，激发学生的探究欲望；同时通过小组讨论交流，培养学生的合作学习能力，让不会的同学问出来，让会的同学讲出来，达到共同提高的教学目的，也营造了宽松和谐的课堂气氛．
例题解析
【例】尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．
已知：直线AB外一点C．
求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．
（2）以点C为圆心、CK长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以点D和E为圆心，以大于DE一半的长为半径作弧，两弧相交于点F．
（4）作直线CF．
直线CF就是所求的垂线．
思考：为什么直线CF就是所求作的垂线？
教师引导学生进行说理，小组合作交流．
理由：从作法的（2）（3）步可知CD＝CE，DF＝EF，
∴点C，F都在DE的垂直平分线上（与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）．
∴CF就是线段DE的垂直平分线（两点确定一条直线）．
又∵点D，E在直线AB上，
∴CF就是所求直线AB的垂线．
要作出线段的垂直平分线，我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点，才能确定已知线段的垂直平分线．证明一条直线是线段的垂直平分线时也一样，必须证明两个点在线段的垂直平分线上．
设计意图：通过例题的讲解，让学生学会用尺规作图作已知直线的垂线、线段的垂直平分线以及找线段的中点．
（四）课堂练习
1．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为多少？
设计意图：考查学生对线段垂直平分线性质定理的理解．
2．电信部门要S区修建一座电视信号发射塔，如图所示，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，请你确定发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．
学生独立完成后，教师指名回答，并说出自己作图的理由．
答案：如图，应建在m，n夹角（锐角）的角平分线a和线段AB的垂直平分线b的交点P处．
设计意图：让学生意识到日常生活中的很多问题都可以用数学知识来解决，体现了生活中处处有数学．通过此题学生清楚地认识到角平分线性质定理与垂直平分线性质定理的本质区别：前者是得到点到边的距离相等，后者是得到点到点的距离相等．
六、课堂小结
1．线段的垂直平分线的性质定理．
2．线段的垂直平分线的判定定理.
3．尺规作图：作已知直线的垂线．
设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，让学生表达自己的感受，不仅锻炼了学生的语言表达能力，而且能使学生对本节课的内容有一个整体的认识和理解，从而能更有效地去学习．
七、板书设计
13.1.2
线段的垂直平分线的性质
线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
线段的垂直平分线的判定：与一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
作一条线段的垂直平分线的步骤
9
