第17讲
勾股定理逆定理
知识定位
讲解用时：3分钟
A、适用范围：人教版初二，基础一般；
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习勾股定理的逆定理。它是初中几何中及其重要的一个定理，是今后判断某三角形是直角三角形的证明方法之一，有着广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想，因此本节内容至关重要。
知识梳理
讲解用时：20分钟
课堂精讲精练
【例题1】
在以下列三个数为边长的三角形中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．4、7、9
B．5、12、13
C．6、8、10
D．7、24、25
【答案】A
【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
解：A、42+72≠92，故不是直角三角形，故此选项符合题意；
B、52+122=132，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、82+62=102，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、72+242=252，故是直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：A．
讲解用时：2分钟
解题思路：本题考查勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
教学建议：掌握勾股定理的逆定理，只要满足最长的边的平方等于另外两边的平方和即可.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习1.1】
满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．b2﹣c2=a2
B．a：b：c=3：4：5
C．∠A：∠B：∠C=9：12：15
D．∠C=∠A﹣∠B
【答案】C
【解析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．
解：A、由b2﹣a2=c2得b2=a2+c2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
B、由a：b：c=3：4：5得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
C、由∠A：∠B：∠C=9：12：15，及∠A+∠B+∠C=180°得∠C=75°≠90°，故不是直角三角形．
D、由三角形三个角度数和是180°及∠C=∠A﹣∠B解得∠A=90°，故是直角三角形；
故选：C．
讲解用时：2分钟
解题思路：本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键．
教学建议：通过勾股定理逆定理或者三角形内角和判断出直角即可.
难度：
2
适应场景：当堂练习
例题来源：金堂县期末
年份：2017
【练习1.2】
下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A．1，1，2
B．1.5，2，2.5
C．7，24，25
D．6，12，13
【答案】C
【解析】根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可．
解：A、∵12+12≠22，∴不是勾股数，此选项错误；
B、1.5和2.5不是整数，此选项错误；
C、∵72+242=252，∴是勾股数，此选项正确；
D、∵62+122≠132，∴不是勾股数，此选项错误．
故选：C．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题考查了勾股数，说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
教学建议：熟记基本的勾股数同时扩大或缩小相应的倍数仍然满足勾股定理的逆定理.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2017
【例题2】
已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为
．
【答案】24
【解析】根据三角形三边长，利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形，然后即可求得面积．
解：∵62+82=102，
∴此三角形为直角三角形，
∴此三角形的面积为：×6×8=24．
故答案为：24．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题主要考查学生对勾股定理逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形．
教学建议：通过勾股定理逆定理判断出直角三角形，然后求面积.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：牡丹区期末
年份：2017
【练习2.1】
三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形的形状是
三角形．
【答案】直角
【解析】根据题目中的式子和勾股定理的逆定理可以解答本题．
解：∵2ab=（a+b）2﹣c2，
∴2ab=a2+2ab+b2﹣c2，
∴a2+b2=c2，
∵三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，
∴此三角形是直角三角形，
故答案为：直角．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查勾股定理的逆定理、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
教学建议：化简之后通过勾股定理的逆定理证明直角.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题3】
探索勾股数的规律：
观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…可发现，4=，12=，24=…请写出第5个数组：
．
【答案】11，60，61
【解析】先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．
解：∵①3=2×1+1，4=2×12+2×1，5=2×12+2×1+1；
②5=2×2+1，12=2×22+2×2，13=2×22+2×2+1；
③7=2×3+1，24=2×32+2×3，25=2×32+2×3+1；
④9=2×4+1，40=2×42+2×4，41=2×42+2×4+1；
⑤11=2×5+1，60=2×52+2×5，61=2×52+2×5+1，
故答案为：11，60，61．
讲解用时：4分钟
解题思路：本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键．
教学建议：学会探索勾股数的规律.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：永城市期中
年份：2017
【练习3.1】
若8，a，17是一组勾股数，则a=
．
【答案】
【解析】分a为最长边，17为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
解：①a为最长边，a=，不是正整数，不符合题意；
②17为最长边，a==15，三边是整数，能构成勾股数，符合题意．
故答案为：15．
讲解用时：3分钟
解题思路：考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
教学建议：本题要分两种情况考虑，熟记勾股数都是正整数.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：通州区校级期中
年份：2017
【例题4】
如图，△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为单位1．
（1）求证：△ABC为直角三角形；
（2）求点B到AC的距离．
【答案】（1）△ABC为直角三角形；（2）
【解析】（1）根据勾股定理以及逆定理解答即可；
（2）根据三角形的面积公式解答即可．
解：（1）由勾股定理得，AB=，BC=2，AC=
AB2+BC2=65=AC2
△ABC为直角三角形；
（2）作高BD，
由
得，
解得，BD=
点B到AC的距离为．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题考查勾股定理问题，关键是根据勾股定理以及逆定理解答．
教学建议：熟练掌握并应用勾股定理的逆定理.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习4.1】
计算图中四边形ABCD的面积．
【答案】246
【解析】首先利用勾股定理求出BD的长，再利用勾股定理的逆定理证明三角形BDC是直角三角形，最后利用三角形的面积公式求出答案．
解：∵∠A=90°，
∴BD2=AD2+AB2=400，
∴BD2+CD2=625=BC2，
∴△BCD为直角三角形，
∴S四边形ABCD=AD?AB+CD?BD=246．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题主要考查了勾股定理的逆定理以及勾股定理的知识，解题的关键是证明△BCD为直角三角形，此题难度不大．
教学建议：灵活应用勾股定理和勾股定理逆定理.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：阜宁县期末
年份：2017
【例题5】
如图，已知在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=2cm，AD=cm，CD=5cm，BC=4cm，求四边形ABCD的面积．
【答案】+6
【解析】连接BD，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形，则四边形ABCD的面积是两个直角三角形的面积和．
解：连接BD．
∵∠A=90°，AB=2cm，AD=，
∴根据勾股定理可得BD=3，
又∵CD=5，BC=4，
∴CD2=BC2+BD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠CBD=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=AB?AD+BC?BD=×2×+×4×3=+6（cm2）．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，辅助线的作法是关键．解题时注意：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
教学建议：灵活应用勾股定理和勾股定理逆定理.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习5.1】
如图，四边形ABCD中，AB=AD=2，BC=3，CD=1，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．
【答案】2+
【解析】首先在Rt△BAD中，利用勾股定理求出BD的长，再根据勾股定理逆定理在△BCD中，证明△BCD是直角三角形，再根据四边形ABCD的面积=三角形BAD的面积+三角形BDC的面积即可求出答案．
解：连接BD，
在Rt△BAD中，
∵AB=AD=2，
∴BD==2，
在△BCD中，
DB2+CD2=（2）2+12=9=CB2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BDC=90°，
∴四边形ABCD的面积=三角形BAD的面积+三角形BDC的面积=2×2÷2+1×2÷2=2+．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解本题的关键．
教学建议：灵活应用勾股定理和勾股定理逆定理.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题6】
如图，AD是△ABC的中线，AD=12，AB=13，BC=10，求AC长．
【答案】13
【解析】首先利用勾股定理逆定理证明∠ADB=90°，再利用勾股定理计算出AC的长即可．
解：∵AD是△ABC的中线，且BC=10，
∴BD=BC=5．
∵52+122=132，即BD2+AD2=AB2，
∴△ABD是直角三角形，则AD⊥BC，
又∵CD=BD，
∴AC=AB=13．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，根据题意证明∠ADB=90°是解决问题的关键．
教学建议：熟练运用并掌握勾股定理及其逆定理.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：滨海县期末
年份：2017
【练习6.1】
如图，有一块耕地ACBD，已知AD=24m，BD=26m，AC⊥BC，且AC=6m，BC=8m．求这块耕地的面积．
【答案】96m2
【解析】连接AB，先根据勾股定理求出AB的长，再由勾股定理的逆定理，判断出△ABD的形状，根据S四边形ADBC=S△ABD﹣S△ABC即可得出结论．
解：连接AB，
∵AC⊥BC，AC=6m，BC=8m，
∴Rt△ABC中，AB==10m，
∵AD=24m，BD=26m，
∴AD2=242=576，BD2=262=676，AB2=102=100，
∴AB2+AD2=BD2，
∴△ABD是直角三角形，
∴S四边形ADBC=S△ABD﹣S△ABC=AB?AD﹣AC?BC=×10×24﹣×8×6=120﹣24=96m2．
答：这块土地的面积是96m2．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查的是勾股定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
教学建议：熟练运用并掌握勾股定理及其逆定理.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【练习6.2】
如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．若一只小鸟从一棵树的树梢A飞到另一棵树的树梢B，小鸟至少需飞行多少米？
【答案】10
【解析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
解：如图，设大树高为AB=10m，
小树高为CD=4m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，
在Rt△AEC中，AC==10m，
故小鸟至少飞行10m．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
教学建议：将实际问题转化为具体的几何问题，通过勾股定理进行计算.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：高安市期中
年份：2018
【例题7】
如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C处浇水，最后沿第三方向走100m回到家A处．问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由．
【答案】沿南偏东60°方向
【解析】首先根据勾股定理逆定理得出∠ABC=90°，然后再判断AD∥NM，可得∠NBA=∠BAD=30°，再根据平角定义可得∠MBC=180°﹣90°﹣30°=60°，进而得到答案．
解：∵AB=60，BC=80，AC=100，
∴AB2+BC2=AC2，
∴∠ABC=90°，
∴AD∥NM，
∴∠NBA=∠BAD=30°，
∴∠MBC=180°﹣90°﹣30°=60°，
∴小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
教学建议：熟练掌握并应用勾股定理的逆定理.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：灵石县期中
年份：2018
【练习7.1】
某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
【答案】沿西北方向航行
【解析】根据路程=速度×时间分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而求解．
解：根据题意，得
PQ=16×1.5=24（海里），
PR=12×1.5=18（海里），
QR=30（海里），
∵242+182=302，
即PQ2+PR2=QR2，
∴∠QPR=90°．
由“远洋号”沿东北方向航行可知，∠QPS=45°，则∠SPR=45°，
即“海天”号沿西北方向航行．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查路程、速度、时间之间的关系，勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
教学建议：熟练掌握并应用勾股定理的逆定理.
难度：
4
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
课后作业
【作业1】
如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AD=9，BD=16，CD=12．
（1）求△ABC的周长；
（2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
【答案】（1）60；（2）是
【解析】（1）由勾股定理求出BC、AC，即可得出结果；
（2）由勾股定理的逆定理即可得出结论．
解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∴BC==20，AC==15，
∵AB=AD+BD=25，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=25+20+15=60；
（2）△ABC是直角三角形；理由如下：
∵BC2+AC2=202+152=252=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：东海县校级期中
年份：2017
【作业2】
如图，四边形ABCD中，∠ADC=90°，AD=12，CD=9，AB=25，BC=20，求四边形ABCD的面积．
【答案】204
【解析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出△ACB是直角三角形，分别求出△ABC和△ACD的面积，即可得出答案．
解：连结AC，
在△ADC中，
∵∠D=90°，AD=12，CD=9，
∴AC==15，
S△ABC=AD?CD=×12×9=54，
在△ABC中，
∵AC=15，AB=25，BC=20，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ACB是直角三角形，
∴S△ACB=AC?BC=×15×20=150．
∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=150+54=204．
讲解用时：3分钟
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：岱岳区期中
年份：2017
【作业3】
如图，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的位置如图所示，你能判断△ABC是什么三角形吗？请说明理由．
【答案】直角三角形
【解析】根据勾股定理即可求得△ABC的三边的长，再由勾股定理的逆定理即可作出判断．
解：△ABC是直角三角形．
在直角△ABF、直角△BCD、直角△ACE中，
根据勾股定理即可得到：AB==；
BC==；AC==5；
则AC2=BC2+AB2
∴△ABC是直角三角形．
讲解用时：3分钟
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：成都期中
年份：2017
【作业4】
如图，在四边形ABCD中，AB=BC=3，CD=，AD=，且∠B=90°，∠D=60°，求∠BCD的度数．
【答案】75°
【解析】连接AC，由于∠B=90°，AB=BC=3，利用勾股定理可求AC，并可求∠BAC=45°，而CD=，AD=，易得AC2+AD2=CD2，可证△ACD是直角三角形，于是有∠CAD=90°，根据直角三角形的性质可求∠DCA，从而易求∠BCD．
解：连接AC，
∵∠B=90°，AB=BC=3，
∴AC===3，∠BAC=∠BCA=45°，
又∵CD=，AD=
∴AC2+AD2=18+6=24，CD2=24，
∴AC2+AD2=CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD=90°，
∴∠DCA=90°﹣∠D=30°，
∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=75°．
讲解用时：4分钟
难度：
4
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
【作业5】
已知△ABC的三边长为a、b、c，满足a+b=10，ab=18，c=8，则此三角形为 三角形．
【答案】直角
【解析】对原式进行变形，发现三边的关系符合勾股定理的逆定理，从而可判定其形状．
解：∵a+b=10，ab=18，c=8，
∴（a+b）2﹣2ab
=100﹣36
=64，
c2=64，
∴a2+b2=c2，
∴此三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
讲解用时：3分钟
难度：4
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018第16讲
勾股定理的证明
知识定位
讲解用时：5分钟
A、适用范围：人教版初二，基础一般；
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习勾股定理以及它的证明。勾股定理是一个基本的几何定理，是中考数学考察的一个重点。中国古代数学著作《九章算术》的第九章即为勾股术，并且整体上呈现出明确的算法和应用性特点。对于今后几何的证明题、大题中都是用的非常多的，所以充分掌握这一知识点并从中学会解题技巧是非常必要的。
知识梳理
讲解用时：20分钟
等腰直角三角形三边满足1：1：√2的关系，任意给出一边，可将另外2边表示出来
课堂精讲精练
【例题1】
下列说法中正确的是（ ）
A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C．在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2
D．在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c2
【答案】C
【解析】在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角，根据此就可以直接判断A、B、C、D选项．
解：在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角．
A、不确定c是斜边，故本命题错误，即A选项错误；
B、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B选项错误；
C、∠C=90°，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C选项正确；
D、∠B=90°，所以斜边为b，所以a2+c2=b2，故本命题错误，即D选项错误；
故选：C．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了勾股定理的正确运用，只有斜边的平方才等于其他两边的平方和．
教学建议：勾股定理一定是在直角三角形中存在，且满足两直角边的平方和等于斜边的平方，注意用词的准确性.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：沂源县期末
年份：2017
【练习1.1】
如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．64
【答案】D
【解析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积．
解：∵正方形PQED的面积等于225，
∴即PQ2=225，
∵正方形PRGF的面积为289，
∴PR2=289，
又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：
PR2=PQ2+QR2，
∴QR2=PR2﹣PQ2=289﹣225=64，
则正方形QMNR的面积为64．
故选：D．
讲解用时：2分钟
解题思路：此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键．
教学建议：充分利用勾股定理，即在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即两个小正方形的面积等于大正方形的面积.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：襄城区模拟
年份：2018
【例题2】
若一直角三角形两边长分别为12和5，求第三边的长度.
【答案】或13
【解析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
解：当12是斜边时，第三边是=；
当12是直角边时，第三边是=13．
讲解用时：3分钟
解题思路：如果给的数据没有明确，此类题一定要分情况求解．
教学建议：切记12既可以作直角边也可以作斜边.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：昭阳区模拟
年份：2018
【练习2.1】
如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分∠BAC，AB=5，BC=6，求AD.
【答案】4
【解析】先判定△ABC为等腰三角形，利用等腰三角形的性质可求得BD，在Rt△ABD中利用勾股定理可求得AD的长．
解：
∵∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD=BC=3，
在Rt△ABD中，AB=5，BD=3，
∴AD=4.
讲解用时：3分钟
解题思路：本题主要考查等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的“三线合一”是解题的关键．
教学建议：利用等腰三角形“三线合一”的性质判断出直角，再利用勾股定理计算.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：盘龙区模拟
年份：2018
【练习2.2】
在Rt△ABC中，斜边AB=2，求AB2+AC2+BC2的长.
【答案】8
【解析】根据勾股定理求出AC2+BC2的值，再整体计算．
解：根据勾股定理，得：
AC2+BC2=AB2=4，
故AB2+AC2+BC2=4+4=8.
讲解用时：3分钟
解题思路：熟练运用勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
教学建议：利用勾股定理进行解题.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：成安县期末
年份：2017
【例题3】
中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=b，BC=a，请你利用这个图形解决下列问题：
（1）试说明a2+b2=c2；
（2）如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求（a+b）2的值．
【答案】（1）c2=a2+b2；（2）18
【解析】（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．
（2）根据完全平方公式的变形解答即可．
解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b﹣a）2，
∴c2=4×ab+（a﹣b）2=2ab+a2﹣2ab+b2即c2=a2+b2．；
（2）由图可知，（b﹣a）2=2，4×ab=10﹣2=8，
∴2ab=8，
∴（a+b）2=（b﹣a）2+4ab=2+2×8=18．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了对勾股定理的证明和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．
教学建议：掌握勾股定理常见的证明方法.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：兴化市期末
年份：2017
【练习3.1】
如图：在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠C=90°，∠D=90°，AC=BD=a，BC=DE=b，AB=BE=c，试利用图形证明勾股定理．
【答案】a2+b2=c2
【解析】由图知，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，用字母表示出来，化简后，即证明勾股定理．
证明：∵∠C=90°，∠D=90°，AC=BD=a，BC=DE=b，AB=BE=c，
∵Rt△ACB≌Rt△BDE，
∴∠ABC=∠BED，∠BAC=∠EBD，
∵∠ABC+∠DBE=90°，
∴∠ABE=90°，
三个Rt△其面积分别为ab，ab和c2．
直角梯形的面积为（a+b）（a+b）．
由图形可知：（a+b）（a+b）=ab+ab+c2，
整理得（a+b）2=2ab+c2，a2+b2+2ab=2ab+c2，
∴a2+b2=c2．
讲解用时：3分钟
解题思路：考查了勾股定理的证明，此题主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2证明勾股定理．
教学建议：掌握勾股定理常见的证明方法.
难度：
4
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题4】
已知在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，分别以AC、BC、AB为直径作半圆，如图所示，则阴影部分的面积是
．
【答案】6
【解析】先利用勾股定理列式求出AB，再根据阴影部分面积等于以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上直角三角形ABC的面积减去以AB为直径的半圆的面积，列式计算即可得解．
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∵BC=4，AC=3，
∴AB=．
S阴影=直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC﹣直径为AB的半圆的面积
=π（）2+π（）2+AC×BC﹣π（）2
=π（AC）2+π（BC）2﹣π（AB）2+AC×BC
=π（AC2+BC2﹣AB2）+AC×BC
=AC×BC
=×3×4
=6．
故答案为：6
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了勾股定理，半圆的面积，熟记定理并观察图形表示出阴影部分的面积是解题的关键．
教学建议：熟练运用勾股定理进行解题.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：东莞市模拟
年份：2018
【练习4.1】
直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为
．
【答案】
【解析】本题可先用勾股定理求出斜边长，然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可．
解：由勾股定理可得：斜边长2=52+122，
则斜边长=13，
直角三角形面积S=×5×12=×13×斜边的高，
可得：斜边的高=．
故答案为：．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查勾股定理及直角三角形面积公式的综合运用，看清题中条件即可．
教学建议：熟练掌握直角三角形的性质以及勾股定理.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：宝丰县期末
年份：2017
【练习4.2】
已知：如图，AD是△ABC的角平分线，AB=AC=13cm，AD=12cm．求BC的长．
【答案】10cm
【解析】先根据等腰三角形三线合一的性质得出AD⊥BC，BD=CD，然后在直角△ABD中利用勾股定理求出BD，进而得出BC的长．
解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD．
∵在直角△ABD中，∠ADB=90°，AB=13，AD=12，
∴BD==5，
∴BC=10cm．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质．
教学建议：熟练掌握等腰三角形的“三线合一”以及勾股定理.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：怀柔区期末
年份：2017
【例题5】
利用如图4×4的方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数和﹣．
【答案】如图示
【解析】面积为8平方单位的正方形的边长为，是直角边长为2，2的两个直角三角形的斜边长，然后利用正方形的边长可在数轴上求得两个无理数．
解：如图所示：
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了数轴和勾股定理．解决本题的关键是找到所求的无理数是直角边长为哪两个有理数的直角三角形的斜边长．
教学建议：利用勾股定理把无理数√8和-√8表示出来.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：上城区期末
年份：2017
【练习5.1】
如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）求△ABC的面积．
（2）求AB，AC的长分别是多少．
【答案】（1）17.5；（2）
【解析】（1）根据三角形的面积公式计算；
（2）根据勾股定理计算即可．
解：（1）△ABC的面积=×7×5=17.5；
（2）由勾股定理得，AB==，
AC==．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
教学建议：通过勾股定理计算AB、AC的长.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：黄埔区期末
年份：2017
【例题6】
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积．
【答案】（1）3；（2）15
【解析】（1）根据角平分线的性质得到CD=DE；
（2）根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式计算．
解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE，
∵CD=3，
∴DE=3；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
由勾股定理，得AB═10，
∴△ADB的面积为S=AB?DE=×10×3=15．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查的是勾股定理、角平分线的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
教学建议：熟练的运用勾股定理以及角平分线的性质.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：大埔县期末
年份：2017
【练习6.1】
在Rt△ABC中∠C=90°，AB=25，AC=15，CH⊥AB垂足为H，求BC与CH的长．
【答案】BC=20，CH=12
【解析】利用勾股定理得出BC的长，再利用三角形面积求法得出HC的长．
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
根据勾股定理可得：BC===20，
∵Rt△ABC的面积==
∴20×15=25×CH，
解得，CH=12．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
教学建议：熟练运用勾股定理以及直角三角形等面积法进行解题.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：新罗区校级期中
年份：2018
【练习6.2】
已知：如图，在△ABC中，AB=13，AC=20，BC=21，AD⊥BC，垂足为点D．
（1）求BD、CD的长；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）BD=5，CD=16
（2）126
【解析】（1）设BD=x，则CD=21﹣x．在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2=132﹣x2．在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2=202﹣（21﹣x）2．依此列出方程求出x，进一步得到CD的长；
（2）在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD的长，再根据三角形面积公式即可求解．
解：（1）设BD=x，则CD=21﹣x．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2=AB2﹣BD2．
∴AD2=132﹣x2．
在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2=AC2﹣CD2．
∴AD2=202﹣（21﹣x）2．
∴132﹣x2=202﹣（21﹣x）2．
解得x=5，即BD=5．
∴CD=21﹣x=21﹣5=16．
（2）在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD===12．
∴S△ABC=BC?AD=×21×12=126．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题主要考查勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理公式a2+b2=c2及其变形．
教学建议：熟练的运用勾股定理进行解题.
难度：
4
适应场景：当堂练习
例题来源：盐城期末
年份：2017
【例题7】
如图、四边形ABCD中，AB=AD=6，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四边形的周长为30，求四边形ABCD的面积．
【答案】9+24
【解析】连接BD，作DE⊥AB于E，根据等边三角形的性质可求出DE的长度，从而可求出△ABD的面积，利用勾股定理可求出CD的长度，从而可求出△BCD的面积，从而可求出答案．
解：连接BD，作DE⊥AB于E，
∵AB=AD=6，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AE=BE=AB=3，
∴DE==3，
因而△ABD的面积是=×AB?DE=×6×3=9，
∵∠ADC=150°∴∠CDB=150°﹣60°=90°，
则△BCD是直角三角形，
又∵四边形的周长为30，
∴CD+BC=30﹣AD﹣AB=30﹣6﹣6=18，
设CD=x，则BC=18﹣x，
根据勾股定理得到62+x2=（18﹣x）2
解得x=8，
∴△BCD的面积是×6×8=24，
S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=9+24．
讲解用时：4分钟
解题思路：本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用等边三角形的性质以及勾股定理，本题属于中等题型．
教学建议：勾股定理中注意特殊角的运用.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：安徽月考
年份：2017
【练习7.1】
如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，∠BCD=150°，∠BAD=60°，AB=4，BC=2，求CD的长．
【答案】2
【解析】延长AB、DC交于点E，利用等边三角形的判定和三角函数解答即可．
解：分别延长AB、DC交于点E．
∵∠BCD=150°°，
∴∠BCE=30°．
∵AB⊥BC，∠CBE=90°，
∴∠ABC=60°．又∠BAD=60°．
∴△AED是等边三角形，
在Rt△BCE中，∵BC=2，∠BCE=30°，cos30=，EC=4，
∴CD=2．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题考查勾股定理问题，关键是利用等边三角形的判定和勾股定理解答．
教学建议：勾股定理中注意特殊角的运用.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：句容市二模
年份：2017
课后作业
【作业1】
若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长为
cm.
【答案】12
【解析】设直角三角形的两直角边长分别为a、b，根据三角形的面积公式、勾股定理求出a+b，根据三角形周长公式计算．
解：设直角三角形的两直角边长分别为a、b，
则ab=6，即ab=12，
由勾股定理得，a2+b2=25，
则（a+b）2﹣2ab=25，
解得，a+b=7，
∴该直角三角形的周长=a+b+c=12，
故答案为：12．
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：思南县一模
年份：2017
【作业2】
已知，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，CD⊥AB于D，求CD的长．
【答案】
【解析】根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可．
解：由勾股定理得，AC==3cm，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴×AC×BC=×AB×CD，即3×4=5×CD，
解得，CD=cm．
讲解用时：3分钟
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：涪陵区期末
年份：2017
【作业3】
阅读下面的材料
勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形．
由图1可以得到（a+b）2=4×ab+c2
整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2．
所以a2+b2=c2．
如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述方法证明勾股定理．
【答案】c2=a2+b2
【解析】直接利用图形面积得出等式，进而整理得出答案．
证明：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4×ab+（b﹣a）2，
∴c2=4×ab+（b﹣a）2，
整理，得2ab+b2﹣2ab+a2=c2，
∴c2=a2+b2．
讲解用时：3分钟
难度：
4
适应场景：练习题
例题来源：嘉祥县期中
年份：2017
