人教版 八年级数学上册13.3 等腰三角形之等腰三角形“三线合一”的性质讲义 （含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版 八年级数学上册13.3 等腰三角形之等腰三角形“三线合一”的性质讲义 （含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 175.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-08-10 11:12:27 | ||
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文档简介
第6讲
等腰三角形“三线合一”的性质
知识定位
讲解用时：5分钟
A、适用范围：人教版初二，基础一般；
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要重点学习等腰三角形“三线合一”的性质。我们知道等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形所有的性质外，还有许多特殊性，正是由于它的这些特殊性，使得它比一般三角形的应用更广泛。因此，我们有必要把这部分内容学得更扎实。
知识梳理
讲解用时：20分钟
B
C
课堂精讲精练
【例题1】
在△ABC中，AB=AC，∠A﹣∠B=15°，则∠C的度数为（ ）
A．50°
B．55°
C．60°
D．70°
【答案】B
【解析】根据已知可得到该三角形的为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和公式即可求得∠C的度数．
解：∵AB=AC，∠A﹣∠B=15°
∴∠B=∠C，∠A=∠B+15°
∵∠B+∠C+∠A=180°
∴∠C=55°．
故选：B．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题考查了三角形内角和等腰三角形的性质；进行角的等量代换是解答本题的关键．
教学建议：熟记等腰三角形中等边对等角，利用三角形内角和做题.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习1.1】
如图，在△ABC中，AB=AC，点D是AC上一点，BC=BD=AD，求∠A的大小？
【答案】
【解析】由BD=BC=AD可知，△ABD，△BCD为等腰三角形，设∠A=∠ABD=x，则∠C=∠CDB=2x，又由AB=AC可知，△ABC为等腰三角形，则∠ABC=∠C=2x，在△ABC中，用内角和定理列方程求解．
解：∵BD=BC=AD，
∴△ABD，△BCD为等腰三角形，
设∠A=∠ABD=x，则∠C=∠CDB=2x，
又∵AB=AC可知，
∴△ABC为等腰三角形，
∴∠ABC=∠C=2x，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
即x+2x+2x=180°，
解得x=36°，
即∠A=36°．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了等腰三角形的性质．关键是利用等腰三角形的底角相等，外角的性质，内角和定理，列方程求解．
教学建议：熟记等腰三角形中等边对等角，利用三角形内角和做题.
难度：4
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题2】
在△ABC中，AB=AC，那么在这个三角形中，三线重合的线段是（ ）
A．∠A的平分线，AB边上的中线，AB边上的高
B．∠A的平分线，BC边上的中线，BC边上的高
C．∠B的平分线，AC边上的中线，AC边上的高
D．∠C的平分线，AB边上的中线，AB边上的高
【答案】B
【解析】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
解：∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠A是顶角，
∴∠A的平分线，BC边上的中线，BC边上的高相互重合．
故选：B．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了等腰三角形的性质．利用等腰三角形“三线合一”的性质时，首先要找到顶角．
教学建议：熟悉等腰三角形“三线合一”的性质.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习2.1】
如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠BAD=∠CAD
B．AD⊥BC
C．∠B=∠C
D．∠BAC=∠B
【答案】D
【解析】由在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，根据等边对等角与三线合一的性质，即可求得答案．
解：∵AB=AC，点D为BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，∠B=∠C．
故A、B、C正确，D错误．
故选：D．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
教学建议：熟悉等腰三角形“三线合一”的性质.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题3】
如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，那么下列结论不一定成立的是（ ）
A．△ABD≌△ACD
B．∠B=∠C
C．AD是△ABC的中线
D．△ABC是等边三角形
【答案】D
【解析】根据等腰三角形三线合一的性质，即可作出判断．
解：∵在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，
∴∠B=∠C，AD是△ABC的中线，高线，
∴BD=DC，∠ADB=∠ADC=90°，
∵在Rt△ABD与Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（SAS），
故A、B、C都成立，只有D不一定成立．
故选：D．
讲解用时：3分钟
解题思路：考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．[三线合一]
教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习3.1】
如图，在△ABC，AB=AC，BC=6cm，AD平分∠BAC，则BD=
cm．
【答案】3
【解析】根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=BC．
解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴BD=BC=×6=3cm．
故答案为：3．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形三线合一是解题的关键．
教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并应用.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【练习3.2】
如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，若AB=4，则AD=
．
【答案】2
【解析】根据△ABC是等边三角形可知AB=AC，再由BD⊥AC可知AD=AC，由此即可得出结论．
解：∵△ABC是等边三角形，AB=4，
∴AB=AC=4，
∵BD⊥AC，
∴AD=AC=×4=2．
故答案为：2
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并应用.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题4】
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC．
求证：∠1=∠2．
【答案】∠1=∠2
【解析】D是BC的中点，那么AD就是等腰三角形ABC底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等，那么DE=DF，再根据等边对等角即可求解．
证明：连接AD．
∵点D是BC边上的中点
∴AD平分∠BAC（三线合一性质），
∵DE⊥AB，DF⊥AC．
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴∠1=∠2（等边对等角）．
讲解用时：4分钟
解题思路：本题考查了等腰三角形的性质，利用等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键．
教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并应用.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习4.1】
如图，在△ABC中，AB=AC，DB=DC．求证：
（1）∠BAD=∠CAD．
（2）AD⊥BC．
【答案】（1）∠BAD=∠CAD；（2）AD⊥BC．
【解析】（1）利用“边边边”证明△ABD和△ACD全等，根据全等三角形对应角相等证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAD，然后根据等腰三角形三线合一证明即可．
证明：（1）在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD；
（2）∵△ABD≌△ACD，
∴∠BAD=∠CAD，
又∵AB=AC，
∴AD⊥BC．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，求出两个三角形全等是解题的关键．
教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并应用.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题5】
△ABC中，AB=AC，中线BD将△ABC周长分成12和9两部分．求△ABC三边．
【答案】8，8，5或6，6，9
【解析】设AB=AC=2x，BC=y，则AD=BD=x，则有两种情况，根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系解答．
解：设AB=AC=2x，BC=y，则AD=BD=x，
∵AC上的中线BD将这个三角形的周长分成12和9两部分，
∴有两种情况：
1、当3x=12，且x+y=9，
解得x=4，y=5，
∴三边长分别为8，8，5；
2、当x+y=12且3x=9时，
解得x=3，y=9，此时腰为6，
三边长分别为6，6，9，
综上，三角形的三边长为8，8，5或6，6，9．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了等腰三角形和三角形三边关系求解，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键．
教学建议：学会分情况讨论及掌握三角形的三边关系.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习5.1】
有一条长为21cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的3倍，那么底边长是多少？
（2）能围成一边长为5cm的等腰三角形吗？说明理由．
【答案】（1）3cm；（2）底边是5cm，腰长是8cm的等腰三角形
【解析】（1）设底边长为xcm，表示出腰长，然后根据周长列出方程求解即可；
（2）分5是底边和腰长两种情况讨论求解．
解：（1）设底边长为xcm，则腰长为3xcm，
根据题意得，x+3x+3x=21，
解得x=3cm；
（2）若5cm为底时，腰长=（21﹣5）=8cm，
三角形的三边分别为5cm、8cm、8cm，
能围成三角形，
若5cm为腰时，底边=21﹣5×2=11，
三角形的三边分别为5cm、5cm、11cm，
∵5+5=10＜11，
∴不能围成三角形，
综上所述，能围成一个底边是5cm，腰长是8cm的等腰三角形．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判断．
教学建议：熟悉等腰三角形的性质以及三角形的三边关系.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题6】
如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．
【答案】（1）△DEF是等腰三角形；（2）70°
【解析】（1）由AB=AC，∠ABC=∠ACB，BE=CF，BD=CE．利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．
（2）根据∠A=40°可求出∠ABC=∠ACB=70°根据△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△DBE和△CEF中
，
∴△DBE≌△CEF，
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△CEF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=（180°﹣40°）=70°
∴∠1+∠2=110°
∴∠3+∠2=110°
∴∠DEF=70°
讲解用时：3分钟
解题思路：此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题．
教学建议：通过证明两个三角形全等得到角相等，再利用等角对等边判断为等腰三角形是关键.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习6.1】
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AB的垂直平分线．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）若△ABD的周长是a，BC=b，求△BCD的周长．（用含a，b的代数式表示）
【答案】（1）△BCD是等腰三角形；（2）a﹣b
【解析】（1）先由AB=AC，∠A=36°，可求∠B=∠ACB==72°，然后由DE是AC的垂直平分线，可得AD=DC，进而可得∠ACD=∠A=36°，然后根据外角的性质可求：∠CDB=∠ACD+∠A=72°，根据等角对等边可得：CD=CB，进而可证△BCD是等腰三角形；
（2）由（1）知：AD=BD=CB=b，由△ABD的周长是a，可得AB=a﹣2b，由AB=AC，可得CD=a﹣3b，进而得到△BCD的周长=CD+BD+BC=a﹣3b+b+b=a﹣b．
（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB==72°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∴∠ACD=∠A=36°，
∵∠CDB是△ADC的外角，
∴∠CDB=∠ACD+∠A=72°，
∴∠B=∠CDB，
∴CB=CD，
∴△BCD是等腰三角形；
（2）∵AD=BD=CB=b，△ABD的周长是a，
∴AB=a﹣2b，
∵AB=AC，
∴CD=a﹣3b，
∴△BCD的周长长=CD+BD+BC=a﹣3b+b+b=a﹣b．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换．
教学建议：熟练掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题7】
如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过A点的直线EF∥BC，且AE=AF，求证：DE=DF．
【答案】DE=DF
【解析】连接AD，先根据等腰三角形三线合一的性质得出AD⊥BC，再结合已知条件EF∥BC，得到AD⊥EF，又AE=AF，即AD垂直平分EF，然后根据线段垂直平分线的性质即可证明DE=DF．
证明：如图，连接AD．
∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵EF∥BC，
∴AD⊥EF，
又AE=AF，
∴AD垂直平分EF，
∴DE=DF．
讲解用时：4分钟
解题思路：本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．
教学建议：熟练掌握等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质并应用.
难度：4
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习7.1】
如图．BD平分∠ABC，点E在AB边上，满足DE=BE．试判断DE与BC的位置关系，并证明你的结论．
【答案】DE∥BC
【解析】根据角平分线的定义可得∠1=∠2，根据等边对等角可得∠2=∠3，然后求出∠1=∠3，再根据内错角相等，两直线平行解答．
解：DE∥BC．
理由如下：如图，∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵DE=BE，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴DE∥BC．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的判定，是基础题，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．
教学建议：熟练掌握等腰三角形的性质并应用.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题8】
在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．
【答案】2.5
【解析】求出∠CAD=∠BAD=∠EDA，推出AE=DE，求出∠ABD=∠EDB，推出BE=DE，求出AE=BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD=∠ADE，
∴∠BAD=∠ADE，
∴AE=DE，
∵AD⊥DB，
∴∠ADB=90°，
∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE=BE，
∵AB=5，
∴DE=BE=AE=AB=2.5．
讲解用时：4分钟
解题思路：本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，关键是求出DE=BE=AE．
教学建议：熟练掌握等腰三角形的性质和判定并应用.
难度：4
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习8.1】
如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，过点B作BE⊥AC于E，交AD于F，又知AF=2BD，△BCE与△AFE全等吗？为什么？
【答案】全等
【解析】根据等腰三角形的性质得到BC=2BD，AD⊥BC，由已知条件得到AF=BC，由垂直的定义得到∠AEF=∠BEC=90°，推出∠EAF=∠CBE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
解：△BCE与△AFE全等，
理由：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BC=2BD，AD⊥BC，
∵AF=2BD，
∴AF=BC，
∵BE⊥AC于E，
∴∠AEF=∠BEC=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠EAF=∠CBE，
在△BCE与△AFE中，，
∴△BCE≌△AFE．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
教学建议：熟练掌握全等三角形的判定和等腰三角形的性质.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
课后作业
【作业1】
如图，已知DE∥BC，AB=AC，∠1=125°，则∠C的度数是（ ）
A．55°
B．45°
C．35°
D．65°
【答案】A
【解析】首先根据∠1=125°，求出∠ADE的度数；然后根据DE∥BC，AB=AC，可得AD=AE，∠C=∠AED，求出∠AED的度数，即可判断出∠C的度数是多少．
解：∵∠1=125°，
∴∠ADE=180°﹣125°=55°，
∵DE∥BC，AB=AC，
∴AD=AE，∠C=∠AED，
∴∠AED=∠ADE=55°，
又∵∠C=∠AED，
∴∠C=55°．
故选：A．
讲解用时：3分钟
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
【作业2】
如图，在△ABC中，D为AB边上一点．BD=BC，AD=DC，∠B=36°．求∠ACB的度数．
【答案】108°
【解析】根据等腰三角形两底角相等求出∠BCD=∠BDC，再根据等边对等角和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACD，然后相加即可．
解：∵BD=BC，∠B=36°，
∴∠BCD=∠BDC=（180°﹣∠B）=（180°﹣36°）=72°，
∵AD=DC，
∴∠A=∠ACD，
∴∠ACD=∠BDC=×72°=36°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=36°+72°=108°．
讲解用时：3分钟
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
【作业3】
下列说法中正确的是（ ）
A．等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行
B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
C．等腰三角形三条高都在三角形内
D．等腰三角形的一边不可能是另一条边的两倍
【答案】A
【解析】从各选项提供的已知条件进行思考，根据等腰三角形的性质进行证明后直接选择答案，其中只有选项A是正确的．
解：A正确，可以通过证明验证．
如图所示，△ABC中，AB=AC，AE是BA的延长线，AF是∠EAC的角平分线
求证：AF∥BC
证明：∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵AF是∠EAC的角平分线
∴∠EAF=∠FAC
∵∠EAC=∠B+∠C=∠EAF+∠FAC
∴∠B=∠C=∠EAF=∠FAC
∴AF∥BC
∴选项A正确；
其它选项无法证明是正确的．
故选：A．
讲解用时：4分钟
难度：4
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
【作业4】
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC
边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：BE⊥AC．
【答案】BE⊥AC
【解析】根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，再得出∠CBE+∠C=90°．
证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠CAD+∠C=90°，
又∵∠CBE=∠CAD，
∴∠CBE+∠C=90°，
∴BE⊥AC．
讲解用时：3分钟
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
【作业5】
如图，已知△ABC中，AB=AC，BC=6，AM平分∠BAC，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE=BC．
（1）求ME的长；
（2）求证：△DMC是等腰三角形．
【答案】（1）3；（2）△DMC是等腰三角形
【解析】（1）由条件可知M是BC的中点，可知BM=CM=CE=3；
（2）由条件可知DM为Rt△AMC斜边上的中线，可得DM=DC，则可证得△DMC是等腰三角形．
（1）解：∵AB=AC，AM平分∠BAC，
∴BM=CM=BC=CE=3，
∴ME=MC+CE=3+3=6；
（2）证明：∵AB=AC，AM平分∠BAC，
∴AM⊥BC，
∵D为AC中点，
∴DM=DC，
∴△DMC是等腰三角形．
讲解用时：3分钟
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
等腰三角形“三线合一”的性质
知识定位
讲解用时：5分钟
A、适用范围：人教版初二，基础一般；
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要重点学习等腰三角形“三线合一”的性质。我们知道等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形所有的性质外，还有许多特殊性，正是由于它的这些特殊性，使得它比一般三角形的应用更广泛。因此，我们有必要把这部分内容学得更扎实。
知识梳理
讲解用时：20分钟
B
C
课堂精讲精练
【例题1】
在△ABC中，AB=AC，∠A﹣∠B=15°，则∠C的度数为（ ）
A．50°
B．55°
C．60°
D．70°
【答案】B
【解析】根据已知可得到该三角形的为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和公式即可求得∠C的度数．
解：∵AB=AC，∠A﹣∠B=15°
∴∠B=∠C，∠A=∠B+15°
∵∠B+∠C+∠A=180°
∴∠C=55°．
故选：B．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题考查了三角形内角和等腰三角形的性质；进行角的等量代换是解答本题的关键．
教学建议：熟记等腰三角形中等边对等角，利用三角形内角和做题.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习1.1】
如图，在△ABC中，AB=AC，点D是AC上一点，BC=BD=AD，求∠A的大小？
【答案】
【解析】由BD=BC=AD可知，△ABD，△BCD为等腰三角形，设∠A=∠ABD=x，则∠C=∠CDB=2x，又由AB=AC可知，△ABC为等腰三角形，则∠ABC=∠C=2x，在△ABC中，用内角和定理列方程求解．
解：∵BD=BC=AD，
∴△ABD，△BCD为等腰三角形，
设∠A=∠ABD=x，则∠C=∠CDB=2x，
又∵AB=AC可知，
∴△ABC为等腰三角形，
∴∠ABC=∠C=2x，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
即x+2x+2x=180°，
解得x=36°，
即∠A=36°．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了等腰三角形的性质．关键是利用等腰三角形的底角相等，外角的性质，内角和定理，列方程求解．
教学建议：熟记等腰三角形中等边对等角，利用三角形内角和做题.
难度：4
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题2】
在△ABC中，AB=AC，那么在这个三角形中，三线重合的线段是（ ）
A．∠A的平分线，AB边上的中线，AB边上的高
B．∠A的平分线，BC边上的中线，BC边上的高
C．∠B的平分线，AC边上的中线，AC边上的高
D．∠C的平分线，AB边上的中线，AB边上的高
【答案】B
【解析】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
解：∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠A是顶角，
∴∠A的平分线，BC边上的中线，BC边上的高相互重合．
故选：B．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了等腰三角形的性质．利用等腰三角形“三线合一”的性质时，首先要找到顶角．
教学建议：熟悉等腰三角形“三线合一”的性质.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习2.1】
如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠BAD=∠CAD
B．AD⊥BC
C．∠B=∠C
D．∠BAC=∠B
【答案】D
【解析】由在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，根据等边对等角与三线合一的性质，即可求得答案．
解：∵AB=AC，点D为BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，∠B=∠C．
故A、B、C正确，D错误．
故选：D．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
教学建议：熟悉等腰三角形“三线合一”的性质.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题3】
如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，那么下列结论不一定成立的是（ ）
A．△ABD≌△ACD
B．∠B=∠C
C．AD是△ABC的中线
D．△ABC是等边三角形
【答案】D
【解析】根据等腰三角形三线合一的性质，即可作出判断．
解：∵在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，
∴∠B=∠C，AD是△ABC的中线，高线，
∴BD=DC，∠ADB=∠ADC=90°，
∵在Rt△ABD与Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（SAS），
故A、B、C都成立，只有D不一定成立．
故选：D．
讲解用时：3分钟
解题思路：考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．[三线合一]
教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习3.1】
如图，在△ABC，AB=AC，BC=6cm，AD平分∠BAC，则BD=
cm．
【答案】3
【解析】根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=BC．
解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴BD=BC=×6=3cm．
故答案为：3．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形三线合一是解题的关键．
教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并应用.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【练习3.2】
如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，若AB=4，则AD=
．
【答案】2
【解析】根据△ABC是等边三角形可知AB=AC，再由BD⊥AC可知AD=AC，由此即可得出结论．
解：∵△ABC是等边三角形，AB=4，
∴AB=AC=4，
∵BD⊥AC，
∴AD=AC=×4=2．
故答案为：2
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并应用.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题4】
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC．
求证：∠1=∠2．
【答案】∠1=∠2
【解析】D是BC的中点，那么AD就是等腰三角形ABC底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等，那么DE=DF，再根据等边对等角即可求解．
证明：连接AD．
∵点D是BC边上的中点
∴AD平分∠BAC（三线合一性质），
∵DE⊥AB，DF⊥AC．
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴∠1=∠2（等边对等角）．
讲解用时：4分钟
解题思路：本题考查了等腰三角形的性质，利用等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键．
教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并应用.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习4.1】
如图，在△ABC中，AB=AC，DB=DC．求证：
（1）∠BAD=∠CAD．
（2）AD⊥BC．
【答案】（1）∠BAD=∠CAD；（2）AD⊥BC．
【解析】（1）利用“边边边”证明△ABD和△ACD全等，根据全等三角形对应角相等证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAD，然后根据等腰三角形三线合一证明即可．
证明：（1）在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD；
（2）∵△ABD≌△ACD，
∴∠BAD=∠CAD，
又∵AB=AC，
∴AD⊥BC．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，求出两个三角形全等是解题的关键．
教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并应用.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题5】
△ABC中，AB=AC，中线BD将△ABC周长分成12和9两部分．求△ABC三边．
【答案】8，8，5或6，6，9
【解析】设AB=AC=2x，BC=y，则AD=BD=x，则有两种情况，根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系解答．
解：设AB=AC=2x，BC=y，则AD=BD=x，
∵AC上的中线BD将这个三角形的周长分成12和9两部分，
∴有两种情况：
1、当3x=12，且x+y=9，
解得x=4，y=5，
∴三边长分别为8，8，5；
2、当x+y=12且3x=9时，
解得x=3，y=9，此时腰为6，
三边长分别为6，6，9，
综上，三角形的三边长为8，8，5或6，6，9．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了等腰三角形和三角形三边关系求解，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键．
教学建议：学会分情况讨论及掌握三角形的三边关系.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习5.1】
有一条长为21cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的3倍，那么底边长是多少？
（2）能围成一边长为5cm的等腰三角形吗？说明理由．
【答案】（1）3cm；（2）底边是5cm，腰长是8cm的等腰三角形
【解析】（1）设底边长为xcm，表示出腰长，然后根据周长列出方程求解即可；
（2）分5是底边和腰长两种情况讨论求解．
解：（1）设底边长为xcm，则腰长为3xcm，
根据题意得，x+3x+3x=21，
解得x=3cm；
（2）若5cm为底时，腰长=（21﹣5）=8cm，
三角形的三边分别为5cm、8cm、8cm，
能围成三角形，
若5cm为腰时，底边=21﹣5×2=11，
三角形的三边分别为5cm、5cm、11cm，
∵5+5=10＜11，
∴不能围成三角形，
综上所述，能围成一个底边是5cm，腰长是8cm的等腰三角形．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判断．
教学建议：熟悉等腰三角形的性质以及三角形的三边关系.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题6】
如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．
【答案】（1）△DEF是等腰三角形；（2）70°
【解析】（1）由AB=AC，∠ABC=∠ACB，BE=CF，BD=CE．利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．
（2）根据∠A=40°可求出∠ABC=∠ACB=70°根据△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△DBE和△CEF中
，
∴△DBE≌△CEF，
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△CEF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=（180°﹣40°）=70°
∴∠1+∠2=110°
∴∠3+∠2=110°
∴∠DEF=70°
讲解用时：3分钟
解题思路：此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题．
教学建议：通过证明两个三角形全等得到角相等，再利用等角对等边判断为等腰三角形是关键.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习6.1】
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AB的垂直平分线．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）若△ABD的周长是a，BC=b，求△BCD的周长．（用含a，b的代数式表示）
【答案】（1）△BCD是等腰三角形；（2）a﹣b
【解析】（1）先由AB=AC，∠A=36°，可求∠B=∠ACB==72°，然后由DE是AC的垂直平分线，可得AD=DC，进而可得∠ACD=∠A=36°，然后根据外角的性质可求：∠CDB=∠ACD+∠A=72°，根据等角对等边可得：CD=CB，进而可证△BCD是等腰三角形；
（2）由（1）知：AD=BD=CB=b，由△ABD的周长是a，可得AB=a﹣2b，由AB=AC，可得CD=a﹣3b，进而得到△BCD的周长=CD+BD+BC=a﹣3b+b+b=a﹣b．
（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB==72°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∴∠ACD=∠A=36°，
∵∠CDB是△ADC的外角，
∴∠CDB=∠ACD+∠A=72°，
∴∠B=∠CDB，
∴CB=CD，
∴△BCD是等腰三角形；
（2）∵AD=BD=CB=b，△ABD的周长是a，
∴AB=a﹣2b，
∵AB=AC，
∴CD=a﹣3b，
∴△BCD的周长长=CD+BD+BC=a﹣3b+b+b=a﹣b．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换．
教学建议：熟练掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题7】
如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过A点的直线EF∥BC，且AE=AF，求证：DE=DF．
【答案】DE=DF
【解析】连接AD，先根据等腰三角形三线合一的性质得出AD⊥BC，再结合已知条件EF∥BC，得到AD⊥EF，又AE=AF，即AD垂直平分EF，然后根据线段垂直平分线的性质即可证明DE=DF．
证明：如图，连接AD．
∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵EF∥BC，
∴AD⊥EF，
又AE=AF，
∴AD垂直平分EF，
∴DE=DF．
讲解用时：4分钟
解题思路：本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．
教学建议：熟练掌握等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质并应用.
难度：4
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习7.1】
如图．BD平分∠ABC，点E在AB边上，满足DE=BE．试判断DE与BC的位置关系，并证明你的结论．
【答案】DE∥BC
【解析】根据角平分线的定义可得∠1=∠2，根据等边对等角可得∠2=∠3，然后求出∠1=∠3，再根据内错角相等，两直线平行解答．
解：DE∥BC．
理由如下：如图，∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵DE=BE，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴DE∥BC．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的判定，是基础题，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．
教学建议：熟练掌握等腰三角形的性质并应用.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题8】
在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．
【答案】2.5
【解析】求出∠CAD=∠BAD=∠EDA，推出AE=DE，求出∠ABD=∠EDB，推出BE=DE，求出AE=BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD=∠ADE，
∴∠BAD=∠ADE，
∴AE=DE，
∵AD⊥DB，
∴∠ADB=90°，
∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE=BE，
∵AB=5，
∴DE=BE=AE=AB=2.5．
讲解用时：4分钟
解题思路：本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，关键是求出DE=BE=AE．
教学建议：熟练掌握等腰三角形的性质和判定并应用.
难度：4
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习8.1】
如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，过点B作BE⊥AC于E，交AD于F，又知AF=2BD，△BCE与△AFE全等吗？为什么？
【答案】全等
【解析】根据等腰三角形的性质得到BC=2BD，AD⊥BC，由已知条件得到AF=BC，由垂直的定义得到∠AEF=∠BEC=90°，推出∠EAF=∠CBE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
解：△BCE与△AFE全等，
理由：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BC=2BD，AD⊥BC，
∵AF=2BD，
∴AF=BC，
∵BE⊥AC于E，
∴∠AEF=∠BEC=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠EAF=∠CBE，
在△BCE与△AFE中，，
∴△BCE≌△AFE．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
教学建议：熟练掌握全等三角形的判定和等腰三角形的性质.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
课后作业
【作业1】
如图，已知DE∥BC，AB=AC，∠1=125°，则∠C的度数是（ ）
A．55°
B．45°
C．35°
D．65°
【答案】A
【解析】首先根据∠1=125°，求出∠ADE的度数；然后根据DE∥BC，AB=AC，可得AD=AE，∠C=∠AED，求出∠AED的度数，即可判断出∠C的度数是多少．
解：∵∠1=125°，
∴∠ADE=180°﹣125°=55°，
∵DE∥BC，AB=AC，
∴AD=AE，∠C=∠AED，
∴∠AED=∠ADE=55°，
又∵∠C=∠AED，
∴∠C=55°．
故选：A．
讲解用时：3分钟
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
【作业2】
如图，在△ABC中，D为AB边上一点．BD=BC，AD=DC，∠B=36°．求∠ACB的度数．
【答案】108°
【解析】根据等腰三角形两底角相等求出∠BCD=∠BDC，再根据等边对等角和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACD，然后相加即可．
解：∵BD=BC，∠B=36°，
∴∠BCD=∠BDC=（180°﹣∠B）=（180°﹣36°）=72°，
∵AD=DC，
∴∠A=∠ACD，
∴∠ACD=∠BDC=×72°=36°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=36°+72°=108°．
讲解用时：3分钟
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
【作业3】
下列说法中正确的是（ ）
A．等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行
B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
C．等腰三角形三条高都在三角形内
D．等腰三角形的一边不可能是另一条边的两倍
【答案】A
【解析】从各选项提供的已知条件进行思考，根据等腰三角形的性质进行证明后直接选择答案，其中只有选项A是正确的．
解：A正确，可以通过证明验证．
如图所示，△ABC中，AB=AC，AE是BA的延长线，AF是∠EAC的角平分线
求证：AF∥BC
证明：∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵AF是∠EAC的角平分线
∴∠EAF=∠FAC
∵∠EAC=∠B+∠C=∠EAF+∠FAC
∴∠B=∠C=∠EAF=∠FAC
∴AF∥BC
∴选项A正确；
其它选项无法证明是正确的．
故选：A．
讲解用时：4分钟
难度：4
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
【作业4】
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC
边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：BE⊥AC．
【答案】BE⊥AC
【解析】根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，再得出∠CBE+∠C=90°．
证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠CAD+∠C=90°，
又∵∠CBE=∠CAD，
∴∠CBE+∠C=90°，
∴BE⊥AC．
讲解用时：3分钟
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
【作业5】
如图，已知△ABC中，AB=AC，BC=6，AM平分∠BAC，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE=BC．
（1）求ME的长；
（2）求证：△DMC是等腰三角形．
【答案】（1）3；（2）△DMC是等腰三角形
【解析】（1）由条件可知M是BC的中点，可知BM=CM=CE=3；
（2）由条件可知DM为Rt△AMC斜边上的中线，可得DM=DC，则可证得△DMC是等腰三角形．
（1）解：∵AB=AC，AM平分∠BAC，
∴BM=CM=BC=CE=3，
∴ME=MC+CE=3+3=6；
（2）证明：∵AB=AC，AM平分∠BAC，
∴AM⊥BC，
∵D为AC中点，
∴DM=DC，
∴△DMC是等腰三角形．
讲解用时：3分钟
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018