人教版八年级上册数学第1讲与三角形有关的角讲义 （含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级上册数学第1讲与三角形有关的角讲义 （含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 392.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-08-10 13:10:48 | ||
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文档简介
与三角形有关的角
知识定位
讲解用时：5分钟
A、适用范围：人教版初二，基础一般；
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习三角形的知识，包括与三角形有关的线段和角，本次课重点讲述与三角形有关的角，这是几何题目中出现概率较为频繁的，要熟练掌握三角形相关角的性质并灵活运用。
知识梳理
讲解用时：20分钟
课堂精讲精练
【例题1】
下列长度的三条线段能组成三角形的是（）
A.1、2、3
B.3、3、7
C.20、15、8
D.5、15、8
【答案】C
【解析】根据三角形的三边关系进行判断，若任意两边之和大于第三边则成立
讲解用时：2分钟
解题思路：利用三角形的三边关系做题
教学建议：熟记三角形中任意两边之和大于第三边
难度：
2
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习1.1】
若a、b、c分别为三角形的三边，化简：|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a+b|
【答案】-a+b+3c
【解析】根据三角形的三边关系可以得出：b+c＞a，a+c＞b，b+c＞a，再去绝对值符号，化简合并同类项
讲解用时：2分钟
解题思路：利用三角形的三边关系做题.
教学建议：熟记三角形中任意两边之和大于第三边.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【练习1.2】
b、c分别为△ABC的三边，且满足a+b=3c-2，a-b=2c-6
求c的取值范围；
若△ABC的周长为18，求c的值.
【答案】（1）2＜c＜6；（2）c=5
【解析】根据三角形的两边之和大于第三边a+b=3c-2＞c，两边之差小于第三边a-b=2c-6＜c，求出c的取值范围.
讲解用时：3分钟
解题思路：利用三角形的三边关系做题.
教学建议：熟记三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题2】
一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ）
A．165°
B．120°
C．150°
D．135°
【答案】A
【解析】根据三角形内角和定理可求出∠1的度数，由三角形外角性质可得出∠2的度数，再根据∠2与∠α互补，即可得出结论．
解：给图中标上∠1、∠2，如图所示．
∵∠1+45°+90°=180°，
∴∠1=45°，
∵∠1=∠2+30°，
∴∠2=15°．
又∵∠2+∠α=180°，
∴∠α=165°．
故选：A．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和定义以及三角形外角的性质是解题的关键．
教学建议：熟练使用三角形内角和定理和外角的性质.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习2.1】
在△ABC中，∠A=∠B+∠C，∠B=2∠C﹣6°，则∠C的度数为（ ）
A．90°
B．58°
C．54°
D．32°
【答案】D
【解析】根据三角形的内角和等于180°求出∠A=90°，从而得到∠B、∠C互余，然后用∠C表示出∠B，再列方程求解即可．
解：∵∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠B=90°﹣∠C，
∵∠B=2∠C﹣6°，
∴90°﹣∠C=2∠C﹣6°，
∴∠C=32°．
故选：D．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了三角形内角和定理，熟记定理并求出∠A的度数是解题的关键．
教学建议：熟练使用三角形内角和定理.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题3】
如图所示，∠A=50°，∠B=20°，∠D=30°，则∠BCD的度数为（ ）
A．80°
B．100°
C．120°
D．140°
【答案】B
【解析】延长BC交AD于点E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和先求出∠CED的度数，再次利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出∠BCD的度数．
解：如图所示，延长BC交AD于点E，
∵∠A=50°，∠B=20°，
∴∠CED=∠A+∠B=50°+20°=70°，
∴∠BCD=∠CED+∠D=70°+30°=100°．
故选：B．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作出辅助线是解题的关键．
教学建议：熟练使用三角形的外角性质
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习3.1】
如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．
【答案】24°
【解析】△ABD中，由三角形的外角性质知∠3=2∠2，因此∠4=2∠2，从而可在△BAC中，根据三角形内角和定理求出∠4的度数，进而可在△DAC中，由三角形内角和定理求出∠DAC的度数．
解：设∠1=∠2=x，则∠3=∠4=2x．
因为∠BAC=63°，
所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°，
所以x=39°；
所以∠3=∠4=78°，
∠DAC=180°﹣∠3﹣∠4=24°．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用．
教学建议：熟练掌握三角形的外角性质和三角形内角和定理.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题4】
如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上DE∥BC，点B、C、F在一条直线上，若∠ACF=140°，∠ADE=105°，则∠A的大小为（ ）
A．75°
B．50°
C．35°
D．30°
【答案】C
【解析】根据平行线的性质得出∠DEC=140°，进而利用三角形内角和解答即可．
解：∵DE∥BC，
∴∠DEC=∠ACF=140°，
∴∠AED=180°﹣140°=40°，
∵∠ADE=105°，
∴∠A=180°﹣105°﹣40°=35°，
故选：C．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题考查三角形内角和，关键是根据平行线的性质得出∠DEC=140°．
教学建议：熟练运用平行线的性质和三角形的内角和定理.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习4.1】
如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．∠1=∠2，∠3=105°，求∠ACB的度数．
【答案】105°
【解析】证明CD∥EF，得到∠2=∠BCD，证明DG∥BC，根据平行线的性质证明即可．
解：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠2=∠BCD，又∠1=∠2，
∴∠1=∠BCD，
∴DG∥BC，
∴∠ACB=∠3=105°．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查的是平行线的判定和性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
教学建议：熟练掌握平行线的判定和性质.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题5】
如图，△ABC中，∠A=50°，D是BC延长线上一点，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，则∠E的度数为（ ）
A．40°
B．20°
C．25°
D．30°
【答案】C
【解析】根据三角形的角平分线的定义得到∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD，根据三角形的外角的性质计算即可．
解：∵由三角形的外角的性质可知，∠E=∠ECD﹣∠EBD，
∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点E，
∴∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD，
∵∠ACD﹣∠ABC=∠A=50°，
∴∠ACD﹣∠ABC=25°，
∴∠E=∠ECD﹣∠EBD=25°，
故选：C．
讲解用时：3分钟
解题思路：充分利用角平分线的性质和三角形的外角性质.
教学建议：熟记一内角、一外角角平分线的模型.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习5.1】
如图，在△ABC中，点D在边BA的延长线上，∠ABC的平分线和∠DAC的平分线相交于点M，若∠BAC=80°，∠C=60°，则∠M的大小为（ ）
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
【答案】C
【解析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠ABC=40°，再根据角平分线的定义求出∠ABM，∠CAM，然后利用三角形的内角和定理求出∠M即可．
解：∵∠BAC=80°，∠C=60°，
∴∠ABC=40°，
∵∠ABC的平分线和∠DAC的平分线相交于点M，
∴∠ABM=20°，∠CAM=，
∴∠M=180°﹣20°﹣50°﹣80°=30°，
故选：C．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题的关键．
教学建议：熟记一内角、一外角角平分线的模型.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题6】
如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠A=60°，求∠BFC的度数.
【答案】120°
【解析】根据角平分线的定义可得出∠CBF=∠ABC、∠BCF=∠ACB，再根据内角和定理结合∠A=60°即可求出∠BFC的度数．
解：∵∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，
∴∠CBF=∠ABC，∠BCF=∠ACB，
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=120°，
∴∠BFC=180°﹣（∠CBF+BCF）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=120°．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了三角形内角和定理，根据角平分线的定义结合三角形内角和定理求出角的度数是解题的关键．
教学建议：熟记两内角角平分线的模型.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习6.1】
（1）如图①，BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线且交于点D，∠A=50°，则∠D=
（2）如图②，BD、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分线且相交于点D，请猜想∠A与∠D之间的数量关系：
（3）如图③，BD为∠ABC的角平分线，CD为∠ACB的外角的角平分线，它们相交于点D，请猜想∠A与∠D之间的数量关系，并说明理由．
【答案】
B（1）115°；（2）90°-∠A；（3）∠D=∠A
【解析】（1）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，根据三角形内角和定理和计算即可；
（2）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠EBC，∠FCB=∠ACB，根据三角形内角和定理和计算即可；
（3）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，根据三角形的外角的性质解答．
解：（1）∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，
∴∠D=180°﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A；
∵∠A=50°，
∴∠D=115°，
故答案为：115°；
（2）BC、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分线，
∴∠DBC=∠EBC，∠FCB=∠ACB，
∴∠D=180°﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣（∠EBC+∠FCB）=180°﹣（180°+∠A）=90°﹣∠A；
故答案为：90°﹣∠A；
（3）∵BD为∠ABC的角平分线，CD为∠ACB的外角的角平分线，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，
∠D=∠2﹣∠1=（∠ACE﹣∠ABC）=∠A．
讲解用时：5分钟
解题思路：本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
教学建议：熟记三角形角平分线的3种模型.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题7】
如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．
（1）求证：∠ACD=∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．
【答案】（1）∠ACD=∠B；（2）∠CEF=∠CFE
【解析】（1）由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得证；
（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CFA=90°﹣∠CAF，∠AED=90°﹣∠DAE，再根据角平分线的定义得出∠CAF=∠DAE，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF=∠CFE．
证明：（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B；
（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°﹣∠CAF，
同理在Rt△AED中，∠AED=90°﹣∠DAE．
又∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠DAE，
∴∠AED=∠CFE，
又∵∠CEF=∠AED，
∴∠CEF=∠CFE．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中．
教学建议：熟练掌握直角三角形的性质.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习7.1】
如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=30°，∠D=40°，求∠ACD的度数．
【答案】80°
【解析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．
解：∵DF⊥AB，∠B=40°
∴∠DFB=90°，
∴∠B=90°﹣∠D=90°﹣40°=50°，
∵∠ACD是△ABC的外角，∠A=30°，
∴∠ACD=∠B+∠A=50°+30°=80°．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题考查三角形外角与内角的关系，关键是熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理：三角形的三个内角和为180°．
教学建议：熟练掌握直角三角形的性质以及三角形内角和定理、外角性质.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
课后作业
【作业1】
如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠BFC=115°，则∠A的度数是（ ）
A．50°
B．57.5°
C．60°
D．65°
【答案】A
【解析】先根据三角形内角和定理得出∠BCF+∠CBF的度数，再由角平分线的性质得出∠ABC+∠ACB的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．
解：∵∠BFC=115°，
∴∠BCF+∠CBF=180°﹣115°=65°．
∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB=2（∠BCF+∠CBF）=130°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A=180°﹣130°=50°．
故选：A．
讲解用时：3分钟
难度：
2
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
【作业2】
在直角△ABC中，∠C=90°，沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2= ．
【答案】270°
【解析】首先根据三角形的内角和定理求得∠A与∠B的度数的和，然后利用四边形的内角和定理即可求解．
解：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+∠B=180°﹣∠C=90°，
∵∠1+∠2+∠A+∠B=360°，
∴∠1+∠2=360°﹣90°=270°．
故答案是：270°．
讲解用时：3分钟
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
【作业3】
一个三角形的最大角不会小于 度．
【答案】60
【解析】因为三角形的内角和是180度，假设三角形的最大角小于60°，那么此三角形的内角和小于180度，与三角形的内角和是180度矛盾，所以三角形的最大角不小于60度．
解：由分析可知：如果三角形的最大角小于60°，那么此三角形的内角和小于180度，与三角形的内角和是180度矛盾．
所以三角形的最大角不小于60度；
故答案为：60．
讲解用时：4分钟
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
【作业4】
如图，是一个不规则的五角星，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ．（用度数表示）
【答案】180°
【解析】根据三角形外角性质，可得∠1=∠C+∠2，∠2=∠A+∠D，那么有∠1=∠C+∠A+∠D，再根据三角形内角和定理有∠1+∠B+∠E=180°，从而易求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
解：如右图所示，
∵∠1=∠C+∠2，∠2=∠A+∠D，
∴∠1=∠C+∠A+∠D，
又∵∠1+∠B+∠E=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
故答案是：180°．
讲解用时：4分钟
难度：
4
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
【作业5】
如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BOA=125°，求∠DAC的度数．
【答案】20°
【解析】先根据角平分线定义和三角形内角和定理求出∠CAB+∠CBA的度数，再求出∠C的度数，即可求出答案．
解：∵AE，BF是角平分线，
∴∠OAB=∠BAC，∠OBA=∠ABC，
∴∠CAB+∠CBA=2（∠OAB+∠OBA）=2（180°﹣∠AOB），
∵∠AOB=125°，
∴∠CAB+∠CBA=110°，
∴∠C=70°，
∵∠ADC=90°，
∴∠CAD=20°．
讲解用时：4分钟
难度：3
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
【作业6】
已知：如图，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，F是AD上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G．求证：
（1）∠EGH＞∠ADE；
（2）∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF．
【答案】（1）成立；（2）∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF
【解析】（1）根据平行线的性质得出∠B=∠ADE，根据三角形的外角性质得出∠EGH＞∠B，即可得出答案；
（2）根据三角形的外角性质得出∠BFE=∠A+∠AEF，∠EGH=∠B+∠BFE，根据平行线的性质得出∠B=∠ADE，即可得出答案．
证明：（1）∵∠EGH是△FBG的外角，
∴∠EGH＞∠B，
又∵DE∥BC，
∴∠B=∠ADE．（两直线平行，同位角相等），
∴∠EGH＞∠ADE；
（2）∵∠BFE是△AFE的外角，
∴∠BFE=∠A+∠AEF，
∵∠EGH是△BFG的外角，
∴∠EGH=∠B+∠BFE．
∴∠EGH=∠B+∠A+∠AEF，
又∵DE∥BC，
∴∠B=∠ADE（两直线平行，同位角相等），
∴∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF．
讲解用时：4分钟
难度：
2
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
【作业7】
如图，已知：点P是△ABC内一点．
（1）求证：∠BPC＞∠A；
（2）若PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，∠A=40°，求∠P的度数．
【答案】（1）成立；（2）110°
【解析】（1）延长BP交AC于D，根据△PDC外角的性质知∠BPC＞∠1；根据△ABD外角的性质知∠1＞∠A，所以易证∠BPC＞∠A．
（2）由三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=140°，由角平分线和三角形内角和定理即可得出结果．
（1）证明：延长BP交AC于D，如图所示：
∵∠BPC是△CDP的一个外角，∠1是△ABD的一个外角，
∴∠BPC＞∠1，∠1＞∠A，
∴∠BPC＞∠A；
（2）在△ABC中，∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣40°=140°，
∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
在△ABC中，∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）
=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣×140°=110°．
讲解用时：4分钟
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
知识定位
讲解用时：5分钟
A、适用范围：人教版初二，基础一般；
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习三角形的知识，包括与三角形有关的线段和角，本次课重点讲述与三角形有关的角，这是几何题目中出现概率较为频繁的，要熟练掌握三角形相关角的性质并灵活运用。
知识梳理
讲解用时：20分钟
课堂精讲精练
【例题1】
下列长度的三条线段能组成三角形的是（）
A.1、2、3
B.3、3、7
C.20、15、8
D.5、15、8
【答案】C
【解析】根据三角形的三边关系进行判断，若任意两边之和大于第三边则成立
讲解用时：2分钟
解题思路：利用三角形的三边关系做题
教学建议：熟记三角形中任意两边之和大于第三边
难度：
2
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习1.1】
若a、b、c分别为三角形的三边，化简：|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a+b|
【答案】-a+b+3c
【解析】根据三角形的三边关系可以得出：b+c＞a，a+c＞b，b+c＞a，再去绝对值符号，化简合并同类项
讲解用时：2分钟
解题思路：利用三角形的三边关系做题.
教学建议：熟记三角形中任意两边之和大于第三边.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【练习1.2】
b、c分别为△ABC的三边，且满足a+b=3c-2，a-b=2c-6
求c的取值范围；
若△ABC的周长为18，求c的值.
【答案】（1）2＜c＜6；（2）c=5
【解析】根据三角形的两边之和大于第三边a+b=3c-2＞c，两边之差小于第三边a-b=2c-6＜c，求出c的取值范围.
讲解用时：3分钟
解题思路：利用三角形的三边关系做题.
教学建议：熟记三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题2】
一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ）
A．165°
B．120°
C．150°
D．135°
【答案】A
【解析】根据三角形内角和定理可求出∠1的度数，由三角形外角性质可得出∠2的度数，再根据∠2与∠α互补，即可得出结论．
解：给图中标上∠1、∠2，如图所示．
∵∠1+45°+90°=180°，
∴∠1=45°，
∵∠1=∠2+30°，
∴∠2=15°．
又∵∠2+∠α=180°，
∴∠α=165°．
故选：A．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和定义以及三角形外角的性质是解题的关键．
教学建议：熟练使用三角形内角和定理和外角的性质.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习2.1】
在△ABC中，∠A=∠B+∠C，∠B=2∠C﹣6°，则∠C的度数为（ ）
A．90°
B．58°
C．54°
D．32°
【答案】D
【解析】根据三角形的内角和等于180°求出∠A=90°，从而得到∠B、∠C互余，然后用∠C表示出∠B，再列方程求解即可．
解：∵∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠B=90°﹣∠C，
∵∠B=2∠C﹣6°，
∴90°﹣∠C=2∠C﹣6°，
∴∠C=32°．
故选：D．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了三角形内角和定理，熟记定理并求出∠A的度数是解题的关键．
教学建议：熟练使用三角形内角和定理.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题3】
如图所示，∠A=50°，∠B=20°，∠D=30°，则∠BCD的度数为（ ）
A．80°
B．100°
C．120°
D．140°
【答案】B
【解析】延长BC交AD于点E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和先求出∠CED的度数，再次利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出∠BCD的度数．
解：如图所示，延长BC交AD于点E，
∵∠A=50°，∠B=20°，
∴∠CED=∠A+∠B=50°+20°=70°，
∴∠BCD=∠CED+∠D=70°+30°=100°．
故选：B．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作出辅助线是解题的关键．
教学建议：熟练使用三角形的外角性质
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习3.1】
如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．
【答案】24°
【解析】△ABD中，由三角形的外角性质知∠3=2∠2，因此∠4=2∠2，从而可在△BAC中，根据三角形内角和定理求出∠4的度数，进而可在△DAC中，由三角形内角和定理求出∠DAC的度数．
解：设∠1=∠2=x，则∠3=∠4=2x．
因为∠BAC=63°，
所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°，
所以x=39°；
所以∠3=∠4=78°，
∠DAC=180°﹣∠3﹣∠4=24°．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用．
教学建议：熟练掌握三角形的外角性质和三角形内角和定理.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题4】
如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上DE∥BC，点B、C、F在一条直线上，若∠ACF=140°，∠ADE=105°，则∠A的大小为（ ）
A．75°
B．50°
C．35°
D．30°
【答案】C
【解析】根据平行线的性质得出∠DEC=140°，进而利用三角形内角和解答即可．
解：∵DE∥BC，
∴∠DEC=∠ACF=140°，
∴∠AED=180°﹣140°=40°，
∵∠ADE=105°，
∴∠A=180°﹣105°﹣40°=35°，
故选：C．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题考查三角形内角和，关键是根据平行线的性质得出∠DEC=140°．
教学建议：熟练运用平行线的性质和三角形的内角和定理.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习4.1】
如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．∠1=∠2，∠3=105°，求∠ACB的度数．
【答案】105°
【解析】证明CD∥EF，得到∠2=∠BCD，证明DG∥BC，根据平行线的性质证明即可．
解：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠2=∠BCD，又∠1=∠2，
∴∠1=∠BCD，
∴DG∥BC，
∴∠ACB=∠3=105°．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查的是平行线的判定和性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
教学建议：熟练掌握平行线的判定和性质.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题5】
如图，△ABC中，∠A=50°，D是BC延长线上一点，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，则∠E的度数为（ ）
A．40°
B．20°
C．25°
D．30°
【答案】C
【解析】根据三角形的角平分线的定义得到∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD，根据三角形的外角的性质计算即可．
解：∵由三角形的外角的性质可知，∠E=∠ECD﹣∠EBD，
∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点E，
∴∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD，
∵∠ACD﹣∠ABC=∠A=50°，
∴∠ACD﹣∠ABC=25°，
∴∠E=∠ECD﹣∠EBD=25°，
故选：C．
讲解用时：3分钟
解题思路：充分利用角平分线的性质和三角形的外角性质.
教学建议：熟记一内角、一外角角平分线的模型.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习5.1】
如图，在△ABC中，点D在边BA的延长线上，∠ABC的平分线和∠DAC的平分线相交于点M，若∠BAC=80°，∠C=60°，则∠M的大小为（ ）
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
【答案】C
【解析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠ABC=40°，再根据角平分线的定义求出∠ABM，∠CAM，然后利用三角形的内角和定理求出∠M即可．
解：∵∠BAC=80°，∠C=60°，
∴∠ABC=40°，
∵∠ABC的平分线和∠DAC的平分线相交于点M，
∴∠ABM=20°，∠CAM=，
∴∠M=180°﹣20°﹣50°﹣80°=30°，
故选：C．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题的关键．
教学建议：熟记一内角、一外角角平分线的模型.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题6】
如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠A=60°，求∠BFC的度数.
【答案】120°
【解析】根据角平分线的定义可得出∠CBF=∠ABC、∠BCF=∠ACB，再根据内角和定理结合∠A=60°即可求出∠BFC的度数．
解：∵∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，
∴∠CBF=∠ABC，∠BCF=∠ACB，
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=120°，
∴∠BFC=180°﹣（∠CBF+BCF）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=120°．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了三角形内角和定理，根据角平分线的定义结合三角形内角和定理求出角的度数是解题的关键．
教学建议：熟记两内角角平分线的模型.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习6.1】
（1）如图①，BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线且交于点D，∠A=50°，则∠D=
（2）如图②，BD、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分线且相交于点D，请猜想∠A与∠D之间的数量关系：
（3）如图③，BD为∠ABC的角平分线，CD为∠ACB的外角的角平分线，它们相交于点D，请猜想∠A与∠D之间的数量关系，并说明理由．
【答案】
B（1）115°；（2）90°-∠A；（3）∠D=∠A
【解析】（1）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，根据三角形内角和定理和计算即可；
（2）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠EBC，∠FCB=∠ACB，根据三角形内角和定理和计算即可；
（3）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，根据三角形的外角的性质解答．
解：（1）∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，
∴∠D=180°﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A；
∵∠A=50°，
∴∠D=115°，
故答案为：115°；
（2）BC、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分线，
∴∠DBC=∠EBC，∠FCB=∠ACB，
∴∠D=180°﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣（∠EBC+∠FCB）=180°﹣（180°+∠A）=90°﹣∠A；
故答案为：90°﹣∠A；
（3）∵BD为∠ABC的角平分线，CD为∠ACB的外角的角平分线，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，
∠D=∠2﹣∠1=（∠ACE﹣∠ABC）=∠A．
讲解用时：5分钟
解题思路：本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
教学建议：熟记三角形角平分线的3种模型.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题7】
如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．
（1）求证：∠ACD=∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．
【答案】（1）∠ACD=∠B；（2）∠CEF=∠CFE
【解析】（1）由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得证；
（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CFA=90°﹣∠CAF，∠AED=90°﹣∠DAE，再根据角平分线的定义得出∠CAF=∠DAE，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF=∠CFE．
证明：（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B；
（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°﹣∠CAF，
同理在Rt△AED中，∠AED=90°﹣∠DAE．
又∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠DAE，
∴∠AED=∠CFE，
又∵∠CEF=∠AED，
∴∠CEF=∠CFE．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中．
教学建议：熟练掌握直角三角形的性质.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习7.1】
如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=30°，∠D=40°，求∠ACD的度数．
【答案】80°
【解析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．
解：∵DF⊥AB，∠B=40°
∴∠DFB=90°，
∴∠B=90°﹣∠D=90°﹣40°=50°，
∵∠ACD是△ABC的外角，∠A=30°，
∴∠ACD=∠B+∠A=50°+30°=80°．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题考查三角形外角与内角的关系，关键是熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理：三角形的三个内角和为180°．
教学建议：熟练掌握直角三角形的性质以及三角形内角和定理、外角性质.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
课后作业
【作业1】
如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠BFC=115°，则∠A的度数是（ ）
A．50°
B．57.5°
C．60°
D．65°
【答案】A
【解析】先根据三角形内角和定理得出∠BCF+∠CBF的度数，再由角平分线的性质得出∠ABC+∠ACB的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．
解：∵∠BFC=115°，
∴∠BCF+∠CBF=180°﹣115°=65°．
∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB=2（∠BCF+∠CBF）=130°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A=180°﹣130°=50°．
故选：A．
讲解用时：3分钟
难度：
2
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
【作业2】
在直角△ABC中，∠C=90°，沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2= ．
【答案】270°
【解析】首先根据三角形的内角和定理求得∠A与∠B的度数的和，然后利用四边形的内角和定理即可求解．
解：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+∠B=180°﹣∠C=90°，
∵∠1+∠2+∠A+∠B=360°，
∴∠1+∠2=360°﹣90°=270°．
故答案是：270°．
讲解用时：3分钟
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
【作业3】
一个三角形的最大角不会小于 度．
【答案】60
【解析】因为三角形的内角和是180度，假设三角形的最大角小于60°，那么此三角形的内角和小于180度，与三角形的内角和是180度矛盾，所以三角形的最大角不小于60度．
解：由分析可知：如果三角形的最大角小于60°，那么此三角形的内角和小于180度，与三角形的内角和是180度矛盾．
所以三角形的最大角不小于60度；
故答案为：60．
讲解用时：4分钟
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
【作业4】
如图，是一个不规则的五角星，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ．（用度数表示）
【答案】180°
【解析】根据三角形外角性质，可得∠1=∠C+∠2，∠2=∠A+∠D，那么有∠1=∠C+∠A+∠D，再根据三角形内角和定理有∠1+∠B+∠E=180°，从而易求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
解：如右图所示，
∵∠1=∠C+∠2，∠2=∠A+∠D，
∴∠1=∠C+∠A+∠D，
又∵∠1+∠B+∠E=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
故答案是：180°．
讲解用时：4分钟
难度：
4
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
【作业5】
如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BOA=125°，求∠DAC的度数．
【答案】20°
【解析】先根据角平分线定义和三角形内角和定理求出∠CAB+∠CBA的度数，再求出∠C的度数，即可求出答案．
解：∵AE，BF是角平分线，
∴∠OAB=∠BAC，∠OBA=∠ABC，
∴∠CAB+∠CBA=2（∠OAB+∠OBA）=2（180°﹣∠AOB），
∵∠AOB=125°，
∴∠CAB+∠CBA=110°，
∴∠C=70°，
∵∠ADC=90°，
∴∠CAD=20°．
讲解用时：4分钟
难度：3
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
【作业6】
已知：如图，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，F是AD上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G．求证：
（1）∠EGH＞∠ADE；
（2）∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF．
【答案】（1）成立；（2）∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF
【解析】（1）根据平行线的性质得出∠B=∠ADE，根据三角形的外角性质得出∠EGH＞∠B，即可得出答案；
（2）根据三角形的外角性质得出∠BFE=∠A+∠AEF，∠EGH=∠B+∠BFE，根据平行线的性质得出∠B=∠ADE，即可得出答案．
证明：（1）∵∠EGH是△FBG的外角，
∴∠EGH＞∠B，
又∵DE∥BC，
∴∠B=∠ADE．（两直线平行，同位角相等），
∴∠EGH＞∠ADE；
（2）∵∠BFE是△AFE的外角，
∴∠BFE=∠A+∠AEF，
∵∠EGH是△BFG的外角，
∴∠EGH=∠B+∠BFE．
∴∠EGH=∠B+∠A+∠AEF，
又∵DE∥BC，
∴∠B=∠ADE（两直线平行，同位角相等），
∴∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF．
讲解用时：4分钟
难度：
2
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
【作业7】
如图，已知：点P是△ABC内一点．
（1）求证：∠BPC＞∠A；
（2）若PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，∠A=40°，求∠P的度数．
【答案】（1）成立；（2）110°
【解析】（1）延长BP交AC于D，根据△PDC外角的性质知∠BPC＞∠1；根据△ABD外角的性质知∠1＞∠A，所以易证∠BPC＞∠A．
（2）由三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=140°，由角平分线和三角形内角和定理即可得出结果．
（1）证明：延长BP交AC于D，如图所示：
∵∠BPC是△CDP的一个外角，∠1是△ABD的一个外角，
∴∠BPC＞∠1，∠1＞∠A，
∴∠BPC＞∠A；
（2）在△ABC中，∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣40°=140°，
∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
在△ABC中，∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）
=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣×140°=110°．
讲解用时：4分钟
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018