人教版八年级上册数学第19讲矩形的判定和性质讲义 （含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级上册数学第19讲矩形的判定和性质讲义 （含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 198.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-08-10 13:13:36 | ||
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文档简介
第19讲
矩形的判定和性质
知识定位
讲解用时：5分钟
A、适用范围：人教版初二，基础一般；
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习矩形的判定和性质。矩形是初中四边形中的一节重要内容，是中考几何证明题考查的重点，涉及到后面菱形与正方形的学习，关系密切，因此本节课要重点掌握。
知识梳理
讲解用时：20分钟
课堂精讲精练
【例题1】
已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是（ ）
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据矩形的性质，逐一进行判断即可求解．
解：A、对顶角相等，A一定相等，故A不符合题意；
B、不确定，可能相等，也可能不相等，故B不符合题意；
C、不确定，可能相等，也可能不相等，故C不符合题意；
D、一定不相等，因为∠1=∠ACD，∠2＞∠ACD，故D符合题意．
故选：D．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题主要是利用三角形的外角大于与它不相邻的任一内角求得，∠1与∠2一定不相等．
教学建议：熟练掌握矩形的性质并应用.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：连云港
年份：2008
【练习1.1】
如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，求矩形的对角线AC的长.
【答案】4
【解析】本题的关键是利用等边三角形和矩形对角线的性质求长度．
解：因为在矩形ABCD中，所以AO=AC=BD=BO，
又因为∠AOB=60°，所以△AOB是等边三角形，所以AO=AB=2，
所以AC=2AO=4．
讲解用时：2分钟
解题思路：本题难度中等，考查矩形的性质．
教学建议：熟练掌握矩形的性质并应用.
难度：3
适应场景：当堂练习
例题来源：长沙
年份：2009
【例题2】
平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（ ）
A．AB=BC
B．AC=BD
C．AC⊥BD
D．AB⊥BD
【答案】B
【解析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断．
解：A、是邻边相等，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；
B、是对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；
C、是对角线互相垂直，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；
D、无法判断．
故选：B．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．
教学建议：熟练掌握矩形的判定并灵活应用.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：河池
年份：2014
【练习2.1】
如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，则四边形ABCD应具备的条件是（ ）
A．一组对边平行而另一组对边不平行
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．对角线互相平分
【答案】C
【解析】根据三角形的中位线定理得到四边形EFGH一定是平行四边形，再推出一个角是直角，由矩形的判定定理可求解．
解：要是四边形EHGF是矩形，应添加条件是对角线互相垂直，
理由是：连接AC、BD，两线交于O，
根据三角形的中位线定理得：EF∥AC，EF=AC，GH∥AC，GH=AC，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH一定是平行四边形，
∴EF∥AC，EH∥BD，
∵BD⊥AC，
∴EH⊥EF，
∴∠HEF=90°，
故选：C．
讲解用时：4分钟
解题思路：能够根据三角形的中位线定理证明：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形．掌握这些结论，以便于运用．
教学建议：熟练掌握矩形的判定和应用三角形的中位线定理.
难度：
4
适应场景：当堂练习
例题来源：青岛
年份：2004
【例题3】
如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，在BC上取BE=BO，连结AE，OE．若∠BOE=75°，求∠CAE的度数.
【答案】15°
【解析】根据等腰三角形的性质求出∠OBE=30°，再求出∠ABO=60°，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB，然后求出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AB=BO，∠BAO=60°，再判断出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠BAE=45°，然后根据∠CAE=∠BAO﹣∠BAE计算即可得解．
解：∵BE=BO，∠BOE=75°，
∴∠OBE=180°﹣2×75°=30°，
∴∠ABO=∠ABC﹣∠OBE=90°﹣30°=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=BO，∠BAO=60°，
∵BO=BE，
∴AB=BE，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE=45°，
∴∠CAE=∠BAO﹣∠BAE=60°﹣45°=15°．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并判断出等边三角形和等腰直角三角形是解题的关键．
教学建议：熟练应用矩形的性质和等腰三角形的性质等进行解题.
难度：
4
适应场景：当堂例题
例题来源：萧山区校级月考
年份：2014
【练习3.1】
如图：两个相同的矩形摆成“L”字形，则∠CFA= 度．
【答案】45
【解析】易得△AFE≌△CAD，那么AF=AC，∠FAE=∠ACD，由∠ACD+∠DAC=90°，可得∠FAE+∠DAC=90°则△AFC是等腰直角三角形，那么∠CFA=45度．
解：∵矩形ABCD和矩形AGFE是两个相同的矩形，
∴△AFE≌△CAD，∠ADC=90°，
∴AF=AC，∠FAE=∠ACD，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠FAE+∠DAC=90°，
∴△AFC是等腰直角三角形，
∴∠CFA=45°．
故答案为45．
讲解用时：3分钟
解题思路：解决本题的关键是利用全等三角形的性质得到所求角所在的三角形的形状．
教学建议：熟练应用矩形的性质和全等三角形的性质进行解题.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：永嘉县期末
年份：2010
【例题4】
矩形ABCD中，AB=8，对角线长为10，则矩形的面积为 ．
【答案】48
【解析】根据矩形各内角为直角的性质可得直角△ABC，已知AC=10，AB=8，根据勾股定理即可求得BC的长，根据AB，BC的值即可求得矩形ABCD的面积．
解：矩形各内角为直角，
∴△ABC为直角△ABC，
∵AC=10，AB=8，
∴BC==6，
故矩形ABCD的面积为6×8=48．
故答案为48．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，矩形面积的计算，本题中根据勾股定理求BC的长是解题的关键．
教学建议：熟练掌握矩形的性质以及用勾股定理进行解题.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习4.1】
直角三角形斜边上的中线长是6.5，一条直角边是5，则另一直角边长等于多少？
【答案】12
【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出斜边的长，然后根据勾股定理即可求出另一直角边的长．
解：∵直角三角形斜边上的中线长是6.5，一条直角边是5，
∴其斜边长为2×6.5=13，
∴另一条直角边长==12．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线和勾股定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
教学建议：熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及勾股定理.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题5】
如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为 ．
【答案】20
【解析】根据题意可知OM是△ADC的中位线，所以OM的长可求；根据勾股定理可求出AC的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO的长，进而求出四边形ABOM的周长．
解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴OM=CD=AB=2.5，
∵AB=5，AD=12，
∴AC==13，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴BO=AC=6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，
故答案为：20．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好，难度不大．
教学建议：熟练掌握矩形的性质、三角形的中位线定理以及直角三角形斜边上的中线性质.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习5.1】
已知：如图所示，在矩形ABCD中，AF=BE．
求证：DE=CF．
【答案】DE=CF
【解析】要证明DE=CF，只要证明△ADE≌△BCF即可．根据全等三角形的判定定理，可以得出结论．
证明：∵矩形ABCD，
∴∠A=∠B、AD=BC，
∵AF=BE，
∴AE=BF，
∴△ADE≌△BCF（SAS）．
∴DE=CF．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了矩形的性质，各内角为90°，对边相等．根据三角形全等的判定定理求出全等三角形，是证明线段相等的常用方法．
教学建议：熟练掌握矩形的性质及全等三角形的判定和性质.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：蒙山县二模
年份：2013
【例题6】
已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=30°，∠ACB=45°，CE是AB边上的中线．
（1）CD=AB；
（2）若CG=EG，求证：DG⊥CE．
【答案】（1）CD=AB；（2）DG⊥CE
【解析】（1）含30°角的直角三角形的性质得出AD=AB，证得△ACD是等腰直角三角形，得出CD=AD，即可得出结论；
（2）连接DE，证得DE是Rt△ABD斜边AB上的中线，得出DE=AB，证得DE=CD，即可得出结论．
证明：（1）∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，
∵∠B=30°，
∴AD=AB，
∵∠ACB=45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD=AD，
∴CD=AB；
（2）连接DE，如图所示：
∵CE是AB边上的中线，AD⊥BC，
∴DE是Rt△ABD斜边AB上的中线，
∴DE=AB，
∵CD=AB，
∴DE=CD，
∵CG=EG，
∴DG⊥CE．
讲解用时：4分钟
解题思路：本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线定理等知识；熟练掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解决问题的关键．
教学建议：本题综合性较强，熟练掌握直角三角形、等腰三角形等的各种性质并灵活运用.
难度：4
适应场景：当堂例题
例题来源：江干区期末
年份：2016
【练习6.1】
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的中线，BC=12cm，AD=8cm，E为AC中点，则求DE的长度等于多少cm？
【答案】5
【解析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，CD=BC，再利用勾股定理列式求出AC，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到DE=AC．
解：∵AB=AC，AD是底边BC上的中线，
∴AD⊥BC，CD=BC=×12=6cm，
由勾股定理得，AC===10cm，
∵E为AC中点，
∴DE=AC=×10=5cm．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
教学建议：熟练应用等腰三角形三线合一的性质以及直角三角形斜边上的中线性质.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题7】
如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC边于点E，点F在边AD上，且DF=BE．
（1）求证：四边形AECF是矩形．
（2）若BF平分∠ABC，且DF=1，AF=3，求线段BF的长．
【答案】（1）四边形AECF是矩形；（2）2√6
【解析】（1）首先证明AF=EC，AF∥EC，推出四边形AECF是平行四边形，再证明∠AEC=90°即可解决问题；
（2）分别在Rt△ABE，Rt△BCF中，利用勾股定理求出AE、BF即可；
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴四边形AECF是矩形．
（2）解：∵BF平分∠ABC，AD∥BC，
∴∠ABF=∠CBF=∠AFB，
∴AB=AF=3，AD=BC=4，
在Rt△ABE中，AE=CF==2，
在Rt△BFC中，BF===2．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
教学建议：熟练掌握矩形的判定和性质灵活解题.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：拱墅区期末
年份：2017
【练习7.1】
如图，平行四边形ABCD中，AC=6，BD=8，点P从点A出发以每秒1cm的速度沿射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1cm的速度沿射线CA移动．
（1）经过几秒，以P，Q，B，D为顶点的四边形为矩形？
（2）若BC⊥AC垂足为C，求（1）中矩形边BQ的长．
【答案】（1）7;（2）2√14
【解析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，AC=6，得到CP=AQ=1，PQ=BD=8，由OB=DO，OQ=OP，证得四边形BPDQ为平形四边形，根据对角线相等，证得四边形BPDQ为矩形；
（2）根据直角三角形的性质、勾股定理求得结论．
解：（1）当时间t=7秒时，四边形BPDQ为矩形．
理由如下：当t=7秒时，PA=QC=7，
∵AC=6，
∴CP=AQ=1
∴PQ=BD=8
∵四边形ABCD为平行四边形，BD=8
∴AO=CO=3
∴BO=DO=4
∴OQ=OP=4
∴四边形BPDQ为平形四边形，
∵PQ=BD=8
∴四边形BPDQ为矩形，
（2）由（1）得BO=4，CQ=7，
∵BC⊥AC
∴∠BCA=90°
BC2+CQ2=BQ2
∴BQ=．
讲解用时：4分钟
解题思路：此题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理得应用，动点问题等知识点．
教学建议：熟练掌握矩形的判定和性质
难度：
4
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
课后作业
【作业1】
如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，且CD=4，则AB=（ ）
A．4
B．8
C．10
D．16
【答案】B
【解析】根据直角三角形斜边上中线性质求出AB=2CD，代入求出即可．
解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，CD=4，
∴AB=2CD=8，
故选：B．
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：泸县期末
年份：2017
【作业2】
矩形ABCD中，AB=8，对角线长为10，则矩形的面积为 ．
【答案】48
【解析】根据矩形各内角为直角的性质可得直角△ABC，已知AC=10，AB=8，根据勾股定理即可求得BC的长，根据AB，BC的值即可求得矩形ABCD的面积．
解：矩形各内角为直角，
∴△ABC为直角△ABC，
∵AC=10，AB=8，
∴BC==6，
故矩形ABCD的面积为6×8=48．
故答案为48．
讲解用时：3分钟
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
【作业3】
如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE．
求证：（1）△ABF≌△DCE；
（2）四边形ABCD是矩形．
【答案】（1）△ABF≌△DCE；（2）四边形ABCD是矩形
【解析】（1）根据题中的已知条件我们不难得出：AB=CD，AF=DE，又因为BE=CF，那么两边都加上EF后，BF=CE，因此就构成了全等三角形的判定中边边边（SSS）的条件．
（2）由于四边形ABCD是平行四边形，只要证明其中一角为直角即可．
证明：（1）∵BE=CF，BF=BE+EF，CE=CF+EF，
∴BF=CE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC．
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SSS）．
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠B=∠C．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠B+∠C=180°．
∴∠B=∠C=90°．
∴四边形ABCD是矩形．
讲解用时：3分钟
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
【作业4】
如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．
求证：四边形BCDE是矩形．
【答案】四边形BCDE是矩形
【解析】求出∠BAE=∠CAD，证△BAE≌△CAD，推出∠BEA=∠CDA，BE=CD，得出平行四边形BCDE，根据平行线性质得出∠BED+∠CDE=180°，求出∠BED，根据矩形的判定求出即可．
证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD﹣∠BAC=∠CAE﹣∠BAC，
∴∠BAE=∠CAD，
∵在△BAE和△CAD中
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠BEA=∠CDA，BE=CD，
∵DE=CB，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵AE=AD，
∴∠AED=∠ADE，
∵∠BEA=∠CDA，
∴∠BED=∠CDE，
∴BE∥CD，
∴∠CDE+∠BED=180°，
∴∠BED=∠CDE=90°，
∴四边形BCDE是矩形．
讲解用时：3分钟
难度：
4
适应场景：练习题
例题来源：南通
年份：2013
矩形的判定和性质
知识定位
讲解用时：5分钟
A、适用范围：人教版初二，基础一般；
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习矩形的判定和性质。矩形是初中四边形中的一节重要内容，是中考几何证明题考查的重点，涉及到后面菱形与正方形的学习，关系密切，因此本节课要重点掌握。
知识梳理
讲解用时：20分钟
课堂精讲精练
【例题1】
已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是（ ）
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据矩形的性质，逐一进行判断即可求解．
解：A、对顶角相等，A一定相等，故A不符合题意；
B、不确定，可能相等，也可能不相等，故B不符合题意；
C、不确定，可能相等，也可能不相等，故C不符合题意；
D、一定不相等，因为∠1=∠ACD，∠2＞∠ACD，故D符合题意．
故选：D．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题主要是利用三角形的外角大于与它不相邻的任一内角求得，∠1与∠2一定不相等．
教学建议：熟练掌握矩形的性质并应用.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：连云港
年份：2008
【练习1.1】
如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，求矩形的对角线AC的长.
【答案】4
【解析】本题的关键是利用等边三角形和矩形对角线的性质求长度．
解：因为在矩形ABCD中，所以AO=AC=BD=BO，
又因为∠AOB=60°，所以△AOB是等边三角形，所以AO=AB=2，
所以AC=2AO=4．
讲解用时：2分钟
解题思路：本题难度中等，考查矩形的性质．
教学建议：熟练掌握矩形的性质并应用.
难度：3
适应场景：当堂练习
例题来源：长沙
年份：2009
【例题2】
平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（ ）
A．AB=BC
B．AC=BD
C．AC⊥BD
D．AB⊥BD
【答案】B
【解析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断．
解：A、是邻边相等，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；
B、是对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；
C、是对角线互相垂直，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；
D、无法判断．
故选：B．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．
教学建议：熟练掌握矩形的判定并灵活应用.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：河池
年份：2014
【练习2.1】
如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，则四边形ABCD应具备的条件是（ ）
A．一组对边平行而另一组对边不平行
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．对角线互相平分
【答案】C
【解析】根据三角形的中位线定理得到四边形EFGH一定是平行四边形，再推出一个角是直角，由矩形的判定定理可求解．
解：要是四边形EHGF是矩形，应添加条件是对角线互相垂直，
理由是：连接AC、BD，两线交于O，
根据三角形的中位线定理得：EF∥AC，EF=AC，GH∥AC，GH=AC，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH一定是平行四边形，
∴EF∥AC，EH∥BD，
∵BD⊥AC，
∴EH⊥EF，
∴∠HEF=90°，
故选：C．
讲解用时：4分钟
解题思路：能够根据三角形的中位线定理证明：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形．掌握这些结论，以便于运用．
教学建议：熟练掌握矩形的判定和应用三角形的中位线定理.
难度：
4
适应场景：当堂练习
例题来源：青岛
年份：2004
【例题3】
如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，在BC上取BE=BO，连结AE，OE．若∠BOE=75°，求∠CAE的度数.
【答案】15°
【解析】根据等腰三角形的性质求出∠OBE=30°，再求出∠ABO=60°，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB，然后求出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AB=BO，∠BAO=60°，再判断出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠BAE=45°，然后根据∠CAE=∠BAO﹣∠BAE计算即可得解．
解：∵BE=BO，∠BOE=75°，
∴∠OBE=180°﹣2×75°=30°，
∴∠ABO=∠ABC﹣∠OBE=90°﹣30°=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=BO，∠BAO=60°，
∵BO=BE，
∴AB=BE，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE=45°，
∴∠CAE=∠BAO﹣∠BAE=60°﹣45°=15°．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并判断出等边三角形和等腰直角三角形是解题的关键．
教学建议：熟练应用矩形的性质和等腰三角形的性质等进行解题.
难度：
4
适应场景：当堂例题
例题来源：萧山区校级月考
年份：2014
【练习3.1】
如图：两个相同的矩形摆成“L”字形，则∠CFA= 度．
【答案】45
【解析】易得△AFE≌△CAD，那么AF=AC，∠FAE=∠ACD，由∠ACD+∠DAC=90°，可得∠FAE+∠DAC=90°则△AFC是等腰直角三角形，那么∠CFA=45度．
解：∵矩形ABCD和矩形AGFE是两个相同的矩形，
∴△AFE≌△CAD，∠ADC=90°，
∴AF=AC，∠FAE=∠ACD，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠FAE+∠DAC=90°，
∴△AFC是等腰直角三角形，
∴∠CFA=45°．
故答案为45．
讲解用时：3分钟
解题思路：解决本题的关键是利用全等三角形的性质得到所求角所在的三角形的形状．
教学建议：熟练应用矩形的性质和全等三角形的性质进行解题.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：永嘉县期末
年份：2010
【例题4】
矩形ABCD中，AB=8，对角线长为10，则矩形的面积为 ．
【答案】48
【解析】根据矩形各内角为直角的性质可得直角△ABC，已知AC=10，AB=8，根据勾股定理即可求得BC的长，根据AB，BC的值即可求得矩形ABCD的面积．
解：矩形各内角为直角，
∴△ABC为直角△ABC，
∵AC=10，AB=8，
∴BC==6，
故矩形ABCD的面积为6×8=48．
故答案为48．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，矩形面积的计算，本题中根据勾股定理求BC的长是解题的关键．
教学建议：熟练掌握矩形的性质以及用勾股定理进行解题.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习4.1】
直角三角形斜边上的中线长是6.5，一条直角边是5，则另一直角边长等于多少？
【答案】12
【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出斜边的长，然后根据勾股定理即可求出另一直角边的长．
解：∵直角三角形斜边上的中线长是6.5，一条直角边是5，
∴其斜边长为2×6.5=13，
∴另一条直角边长==12．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线和勾股定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
教学建议：熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及勾股定理.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题5】
如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为 ．
【答案】20
【解析】根据题意可知OM是△ADC的中位线，所以OM的长可求；根据勾股定理可求出AC的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO的长，进而求出四边形ABOM的周长．
解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴OM=CD=AB=2.5，
∵AB=5，AD=12，
∴AC==13，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴BO=AC=6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，
故答案为：20．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好，难度不大．
教学建议：熟练掌握矩形的性质、三角形的中位线定理以及直角三角形斜边上的中线性质.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习5.1】
已知：如图所示，在矩形ABCD中，AF=BE．
求证：DE=CF．
【答案】DE=CF
【解析】要证明DE=CF，只要证明△ADE≌△BCF即可．根据全等三角形的判定定理，可以得出结论．
证明：∵矩形ABCD，
∴∠A=∠B、AD=BC，
∵AF=BE，
∴AE=BF，
∴△ADE≌△BCF（SAS）．
∴DE=CF．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了矩形的性质，各内角为90°，对边相等．根据三角形全等的判定定理求出全等三角形，是证明线段相等的常用方法．
教学建议：熟练掌握矩形的性质及全等三角形的判定和性质.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：蒙山县二模
年份：2013
【例题6】
已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=30°，∠ACB=45°，CE是AB边上的中线．
（1）CD=AB；
（2）若CG=EG，求证：DG⊥CE．
【答案】（1）CD=AB；（2）DG⊥CE
【解析】（1）含30°角的直角三角形的性质得出AD=AB，证得△ACD是等腰直角三角形，得出CD=AD，即可得出结论；
（2）连接DE，证得DE是Rt△ABD斜边AB上的中线，得出DE=AB，证得DE=CD，即可得出结论．
证明：（1）∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，
∵∠B=30°，
∴AD=AB，
∵∠ACB=45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD=AD，
∴CD=AB；
（2）连接DE，如图所示：
∵CE是AB边上的中线，AD⊥BC，
∴DE是Rt△ABD斜边AB上的中线，
∴DE=AB，
∵CD=AB，
∴DE=CD，
∵CG=EG，
∴DG⊥CE．
讲解用时：4分钟
解题思路：本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线定理等知识；熟练掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解决问题的关键．
教学建议：本题综合性较强，熟练掌握直角三角形、等腰三角形等的各种性质并灵活运用.
难度：4
适应场景：当堂例题
例题来源：江干区期末
年份：2016
【练习6.1】
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的中线，BC=12cm，AD=8cm，E为AC中点，则求DE的长度等于多少cm？
【答案】5
【解析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，CD=BC，再利用勾股定理列式求出AC，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到DE=AC．
解：∵AB=AC，AD是底边BC上的中线，
∴AD⊥BC，CD=BC=×12=6cm，
由勾股定理得，AC===10cm，
∵E为AC中点，
∴DE=AC=×10=5cm．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
教学建议：熟练应用等腰三角形三线合一的性质以及直角三角形斜边上的中线性质.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题7】
如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC边于点E，点F在边AD上，且DF=BE．
（1）求证：四边形AECF是矩形．
（2）若BF平分∠ABC，且DF=1，AF=3，求线段BF的长．
【答案】（1）四边形AECF是矩形；（2）2√6
【解析】（1）首先证明AF=EC，AF∥EC，推出四边形AECF是平行四边形，再证明∠AEC=90°即可解决问题；
（2）分别在Rt△ABE，Rt△BCF中，利用勾股定理求出AE、BF即可；
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴四边形AECF是矩形．
（2）解：∵BF平分∠ABC，AD∥BC，
∴∠ABF=∠CBF=∠AFB，
∴AB=AF=3，AD=BC=4，
在Rt△ABE中，AE=CF==2，
在Rt△BFC中，BF===2．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
教学建议：熟练掌握矩形的判定和性质灵活解题.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：拱墅区期末
年份：2017
【练习7.1】
如图，平行四边形ABCD中，AC=6，BD=8，点P从点A出发以每秒1cm的速度沿射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1cm的速度沿射线CA移动．
（1）经过几秒，以P，Q，B，D为顶点的四边形为矩形？
（2）若BC⊥AC垂足为C，求（1）中矩形边BQ的长．
【答案】（1）7;（2）2√14
【解析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，AC=6，得到CP=AQ=1，PQ=BD=8，由OB=DO，OQ=OP，证得四边形BPDQ为平形四边形，根据对角线相等，证得四边形BPDQ为矩形；
（2）根据直角三角形的性质、勾股定理求得结论．
解：（1）当时间t=7秒时，四边形BPDQ为矩形．
理由如下：当t=7秒时，PA=QC=7，
∵AC=6，
∴CP=AQ=1
∴PQ=BD=8
∵四边形ABCD为平行四边形，BD=8
∴AO=CO=3
∴BO=DO=4
∴OQ=OP=4
∴四边形BPDQ为平形四边形，
∵PQ=BD=8
∴四边形BPDQ为矩形，
（2）由（1）得BO=4，CQ=7，
∵BC⊥AC
∴∠BCA=90°
BC2+CQ2=BQ2
∴BQ=．
讲解用时：4分钟
解题思路：此题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理得应用，动点问题等知识点．
教学建议：熟练掌握矩形的判定和性质
难度：
4
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
课后作业
【作业1】
如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，且CD=4，则AB=（ ）
A．4
B．8
C．10
D．16
【答案】B
【解析】根据直角三角形斜边上中线性质求出AB=2CD，代入求出即可．
解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，CD=4，
∴AB=2CD=8，
故选：B．
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：泸县期末
年份：2017
【作业2】
矩形ABCD中，AB=8，对角线长为10，则矩形的面积为 ．
【答案】48
【解析】根据矩形各内角为直角的性质可得直角△ABC，已知AC=10，AB=8，根据勾股定理即可求得BC的长，根据AB，BC的值即可求得矩形ABCD的面积．
解：矩形各内角为直角，
∴△ABC为直角△ABC，
∵AC=10，AB=8，
∴BC==6，
故矩形ABCD的面积为6×8=48．
故答案为48．
讲解用时：3分钟
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
【作业3】
如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE．
求证：（1）△ABF≌△DCE；
（2）四边形ABCD是矩形．
【答案】（1）△ABF≌△DCE；（2）四边形ABCD是矩形
【解析】（1）根据题中的已知条件我们不难得出：AB=CD，AF=DE，又因为BE=CF，那么两边都加上EF后，BF=CE，因此就构成了全等三角形的判定中边边边（SSS）的条件．
（2）由于四边形ABCD是平行四边形，只要证明其中一角为直角即可．
证明：（1）∵BE=CF，BF=BE+EF，CE=CF+EF，
∴BF=CE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC．
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SSS）．
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠B=∠C．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠B+∠C=180°．
∴∠B=∠C=90°．
∴四边形ABCD是矩形．
讲解用时：3分钟
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
【作业4】
如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．
求证：四边形BCDE是矩形．
【答案】四边形BCDE是矩形
【解析】求出∠BAE=∠CAD，证△BAE≌△CAD，推出∠BEA=∠CDA，BE=CD，得出平行四边形BCDE，根据平行线性质得出∠BED+∠CDE=180°，求出∠BED，根据矩形的判定求出即可．
证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD﹣∠BAC=∠CAE﹣∠BAC，
∴∠BAE=∠CAD，
∵在△BAE和△CAD中
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠BEA=∠CDA，BE=CD，
∵DE=CB，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵AE=AD，
∴∠AED=∠ADE，
∵∠BEA=∠CDA，
∴∠BED=∠CDE，
∴BE∥CD，
∴∠CDE+∠BED=180°，
∴∠BED=∠CDE=90°，
∴四边形BCDE是矩形．
讲解用时：3分钟
难度：
4
适应场景：练习题
例题来源：南通
年份：2013