人教版 八年级下册数学第18讲平行四边形的判定和性质讲义 （含解析）

第18讲
平行四边形的判定和性质
知识定位
讲解用时：3分钟
A、适用范围：人教版初二，基础一般；
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习平行四边形的判定和性质。平行四边形是在学习了平行线和三角形之后，是平行线和三角形知识的应用和深化，同时也是为了后面学习矩形、菱形、正方形、圆甚至高中的立体几何打基础的，起着承上启下的桥梁作用。
知识梳理
讲解用时：20分钟
课堂精讲精练
【例题1】
如图，在平行四边形ABCD中，都不一定成立的是（　　）
①AO=CO；②AC⊥BD；③AD∥BC；④∠CAB=∠CAD．
A．①和④
B．②和③
C．③和④
D．②和④
【答案】D
【解析】由四边形ABCD是平行四边形，即可得①和③正确，然后利用排除法即可求得答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，故①成立；
AD∥BC，故③成立；
利用排除法可得②与④不一定成立，
∵当四边形是菱形时，②和④成立．
故选：D．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题考查了平行四边形的性质．注意掌握平行四边形的对角线互相平分，对边平行是解此题的关键．
教学建议：熟练掌握平行四边形的性质.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：肇源县期末
年份：2017
【练习1.1】
若平行四边形的两条对角线长为6
cm和16
cm，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是（　　）
A．5cm
B．8cm
C．12cm
D．16cm
【答案】B
【解析】平行四边形的两条对角线互相平分，根据三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行判断．
解：由题意可知，平行四边形边长的取值范围是：8﹣3＜边长＜8+3，即5＜边长＜11．
只有选项B在此范围内，故选B．
讲解用时：2分钟
解题思路：本题主要考查了平行四边形对角线互相平分这一性质，此类求三角形第三边的范围的题目，解题的关键是根据三角形三边关系定理列出不等式，再求解．
教学建议：熟练掌握平行四边形的性质以及三角形的三边关系.
难度：
2
适应场景：当堂练习
例题来源：方城县期中
年份：2017
【练习1.2】
如图，?ABCD中，AB、BC长分别为12和24，边AD与BC之间的距离为5，则AB与CD间的距离为　
　．
【答案】10
【解析】根据平行四边形的面积=AE×BC=CD×AF，即可求出AD与BC之间的距离．
解：如图，过点A作AE⊥BC于点E、AF⊥CD于点F．
由题意得，S四边形ABCD=AE×BC=CD×AF，
∴24×5=12×AF，
∴AF=10，即AB与CD间的距离为10．
故答案是：10．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练平行四边形的面积公式．
教学建议：根据等面积法求出AB与CD之间的距离.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：海珠区校级期中
年份：2015
【例题2】
如图所示，在?ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有　　个平行四边形．
【答案】4
【解析】根据?ABCD及E，F分别为AB，DC的中点，可推出对边平行且相等的平行四边形有3个，加上?ABCD，共有4个．
解：∵在?ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点
∴DF=CD=AE=EB，AB∥CD
∴四边形AEFD，CFEB，DFBE是平行四边形，再加上?ABCD本身，共有4个平行四边形4．
故答案为4．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题利用了平行四边形的性质和判定及中点的性质．
教学建议：熟练运用平行四边形的判定和性质.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：江西期末
年份：2014
【练习2.1】
如图在四边形ABCD中，已知AB=CD，AD=BC，AC，BD相交于O，若AC=6，则AO的长度等于　
　．
【答案】3
【解析】根据在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，求证四边形ABCD是平行四边形，然后即可求解．
解：∵在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=6，
∴AO=AC=×6=3．
故答案为：3．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题主要考查学生对平行四边形的判定与性质的理解和掌握，难度不大，属于基础题．
教学建议：熟练运用平行四边形的判定和性质进行解题.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题3】
在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，四边形AECF是　
　．
【答案】平行四边形
【解析】证明四边形AECF的对角线互相平分即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵E，F分别是OB，OD的中点，
∴EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形．
故答案是：平行四边形．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题主要考查了平行四边形的判定和性质：平行四边形的对角线互相平分；对角线互相平分的四边形是平行四边形．
教学建议：熟练运用平行四边形的判定和性质进行解题.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：阳东县期中
年份：2015
【练习3.1】
如图，E、F是?ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：　
　，使四边形AECF是平行四边形．
【答案】BE=DF
【解析】连接AC交BD于O，根据平行四边形性质推出OA=OC，OB=OD，求出OE=OF，根据平行四边形的判定推出即可．
解：添加的条件是BE=DF，
理由是：连接AC交BD于O，
∵平行四边形ABCD，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
故答案为：BE=DF．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了对平行四边形的性质和判定的应用，此题是一个开放性的题目，关键是添加一个适合的条件，能推出平行四边形AECF，答案不唯一，题型不错，难度也不大．
教学建议：熟练运用平行四边形的判定和性质进行解题.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：商水县期末
年份：2016
【例题4】
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，DE∥AB交BC于点E．若AD=5cm，BC=12cm，则CD的长是　
　cm．
【答案】7
【解析】由在四边形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，可判定四边形ABED是平行四边形，即可求得CE的长，又由∠B=70°，∠C=40°，易判定△CDE是等腰三角形，继而求得答案．
解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE=AD=5cm，
∴CE=BC﹣BE=12﹣5=7（cm），
∵∠DEC=∠B=70°，∠C=40°，
∴∠CDE=180°﹣∠DEC﹣∠C=70°，
∴CD=CE=7cm．
故答案为：7．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题考查了平行四边形的性质与判定以及等腰三角形的判定与性质．注意证得四边形ABED是平行四边形，△CDE是等腰三角形是关键．
教学建议：熟练运用平行四边形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：句容市校级期中
年份：2014
【练习4.1】
如图，?ABCD中，点E在CD的延长线上，AE∥BD，EC=4，则AB的长是　　．
【答案】2
【解析】可根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证四边形ABDE是平行四边形，则AB=ED=DC=EC=2．
解：如图，在?ABCD中，AB∥CD，且AB=CD．
∵点E在CD的延长线上，
∴AB∥ED．
又∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=ED，
∴AB=ED=DC=EC=2．
故答案为：2．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
教学建议：熟练运用平行四边形的判定和性质.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：襄州区期中
年份：2018
【例题5】
已知在?ABCD中，∠BDA=90°，AC=10cm，BD=6cm，求AD的长．
【答案】4cm
【解析】在Rt△ADO中，求出OD、OA，再利用勾股定理即可解决问题；
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=AC，OD=BD，
∵AC=10cm，BD=6cm，
∴OD=3cm，OA=5cm，
∵∠BDA=90°，
∴AD===4（cm）．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
教学建议：熟练运用平行四边形的性质以及勾股定理的应用.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：内乡县期中
年份：2018
【练习5.1】
如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，求证：四边形BCEF是平行四边形．
【答案】四边形BCEF是平行四边形
【解析】可连接AE、DB、BE，BE交AD于点O，由线段之间的关系可得OF=OC，OB=OE，可证明其为平行四边形．
证明：连接AE、DB、BE，BE交AD于点O，
∵ABDE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴OB=OE，OA=OD，
∵AF=DC，
∴OF=OC，
∴四边形BCEF是平行四边形．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
教学建议：熟练运用平行四边形的性质和判定.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：庆云县期末
年份：2017
【例题6】
如图，E，F是四边形ABCD对角线AC上的两点，AD∥BC，DF∥BE，AE=CF．求证：
（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
【答案】（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形
【解析】（1）根据全等三角形的判定定理ASA证得△AFD≌△CEB；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应边相等得到AD=CB，则由“有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形”证得结论．
证明：（1）如图，∵AD∥BC，DF∥BE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
又AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE．
在△AFD与△CEB中，
，
∴△AFD≌△CEB（ASA）；
（2）由（1）知，△AFD≌△CEB，则AD=CB．
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
教学建议：熟练运用平行四边形的判定以及全等三角形的判定和性质.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：淮安区期末
年份：2017
【练习6.1】
如图，E是?ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若AB⊥AF，BC=12，EF=6，求CD的长．
【答案】（1）△ADE≌△FCE；（2）12
【解析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，证出∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，由AAS证明△ADE≌△FCE即可；
（2）由全等三角形的性质得出AE=EF=3，由平行线的性质证出∠AED=∠BAF=90°，由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，
∵E是?ABCD的边CD的中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS）；
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF=6，
∵AB∥CD，
∴∠AED=∠BAF=90°，
在?ABCD中，AD=BC=12，
∴DE===6，
∴CD=2DE=12．
讲解用时：4分钟
解题思路：此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定方法、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
教学建议：熟练运用平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质.
难度：
4
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题7】
如图所示，在△ABC中，点D在BC上且CD=CA，CF平分∠ACB，AE=EB，求证：EF=BD．
【答案】EF=BD
【解析】首先根据等腰三角形的性质可得F是AD中点，再根据三角形的中位线定理可得EF=BD．
证明：∵CD=CA，CF平分∠ACB，
∴F是AD中点，
∵AE=EB，
∴E是AB中点，∴EF是△ABD的中位线，
∴EF=BD．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题主要考查了三角形中位线定理，以及等腰三角形的性质，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
教学建议：掌握等腰三角形“三线合一”的性质以及三角形中位线定理.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：邵阳县期中
年份：2017
【练习7.1】
如图，DE是△ABC的中位线，求证：DE∥BC，且DE=BC．
【答案】DE∥BC且DE=BC
【解析】延长DE到Q，使DE=EQ，连接CQ，根据SAS证△ADE≌△CQE，推出AD=CQ，∠A=∠ACQ，推出平行四边形DQCB，得出DQ=BC，DQ∥BC，即可推出答案．
证明：延长DE到Q，使DE=EQ，连接CQ，
∵AE=EC，∠AED=∠CEQ，DE=EQ，
∴△ADE≌△CQE，
∴AD=CQ，∠A=∠ACQ，
∴AB∥CQ，
∵AD=BD，
∴BD=CQ，
∴四边形DBCQ是平行四边形，
∴DQ=BC，DQ∥BC，
∴DE∥BC，DE=BC．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题主要考查对平行四边形的性质和判定，平行线的判定，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线等知识点的理解和掌握，能证出四边形DQCB是平行四边形是解此题的关键．
教学建议：掌握证明三角形中位线的方法.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：武安市期末
年份：2016
【练习7.2】
如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证：∠PMN=∠PNM．
【答案】∠PMN=∠PNM
【解析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得PM=BC，PN=AD，然后求出PM=PN，再根据等边对等角证明即可．
证明：∵P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点，
∴PM、PN分别是△BCD和△ABD的中位线，
∴PM=BC，PN=AD，
∵AD=BC，
∴PM=PN，
∴∠PMN=∠PNM．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等边对等角的性质，熟记定理与性质是解题的关键．
教学建议：熟练地运用三角形中位线定理.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：天水期末
年份：2015
课后作业
【作业1】
如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，若∠A=110°，则∠C=
　度．
【答案】110
【解析】由AB=CD，BC=AD可以判定四边形ABCD是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可求出∠C．
解：∵AB=CD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A=110°．
故填空答案：110．
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：河北
年份：2006
【作业2】
四边形ABCD的两条对角线相交于点O，AB∥CD，且AB=CD，S△AOB=5，则四边形ABCD的面积为　
　．
【答案】20
【解析】先证明四边形ABCD是平行四边形，得出对角线互相平分，然后得出四个小三角形的面积相等，即可求出四边形ABCD的面积．
解：∵AB∥CD，且AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∴S△AOD=S△COD=S△BOC=S△AOB=5，
∴四边形ABCD的面积=4×5=20；
故答案为：20．
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2017
【作业3】
已知如图所示，E、F是四边形ABCD对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
（1）求证：△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．
【答案】（1）△AFD≌△CEB；（2）是
【解析】（1）首先根据平行线的性质可得∠DFA=∠BEC，再加上AF=CE，DF=BE可利用SAS定理证明△AFD≌△CEB；
（2）首先根据△AFD≌△CEB可得AD=BC，∠DAC=∠ECB，然后证明AD∥CB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论．
（1）证明：∵DF∥BE，
∴∠DFA=∠BEC，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△AFD≌△CEB（SAS）；
（2）四边形ABCD是平行四边形，
∵△AFD≌△CEB，
∴AD=BC，∠DAC=∠ECB，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：李沧区一模
年份：2017
【作业4】
如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的两点，∠1=∠2．
（1）求证：DE=BF；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】（1）DE=BF；（2）四边形AECF是平行四边形
【解析】（1）通过全等三角形△CDE≌△ABF的对应边相等证得DE=BF；
（2）根据平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论．
（1）证明：如图：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴∠3=∠4，∵∠1=∠3+∠5，∠2=∠4+∠6，∠1=∠2
∴∠5=∠6
在△CDE与△ABF中，
，
∴△CDE≌△ABF（ASA），
∴DE=BF；
（2）证明：∵∠1=∠2，
∴CE∥AF．
又∵由（1）知，△CDE≌△ABF，
∴CE═AF，
∴四边形AECF是平行四边形．
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：沈河区二模
年份：2017
【作业5】
如图，在△ABC中，点D在BC上，且DC=AC，CE⊥AD，垂足为E，点F是AB的中点．求证：EF∥BC．
【答案】EF∥BC
【解析】根据等腰三角形三线合一的性质求出AE=ED，然后求出EF为△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半证明．
证明：∵AC=DC
CE⊥AD，
∴AE=ED，
又∵F为AB中点，
∴EF为△ABD中位线，
∴EF∥BD，
即EF∥BC．
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：简阳市模拟
年份：2012