人教版 八年级上册数学第9讲因式分解讲义 （含解析）

第9讲
因式分解
知识定位
讲解用时：5分钟
A、适用范围：人教版初二，基础一般；
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习因式分解。在初中重大比赛和考试中直接考因式分解的题很少，但要用到因式分解的题却很多，很多人解题拿不下就是因为因式分解不过关。中学代数主要做好3件事情：恒等变形与计算、分类讨论、数形结合，因式分解是恒等变形的基础，是个极为重要的工具，因此本节课要好好学习并掌握。
知识梳理
讲解用时：20分钟
课堂精讲精练
【例题1】
分解因式：2（n﹣2）+m（2﹣n）=　
　．
【答案】（2﹣m）（n﹣2）
【解析】直接提取公因式（n﹣2）进而分解因式即可．
解：原式=2（n﹣2）﹣m（n﹣2）
=（2﹣m）（n﹣2）．
故答案为：（2﹣m）（n﹣2）．
讲解用时：2分钟
解题思路：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
教学建议：关键是看出题目中的公因式，注意互为相反数的式子提一个负号即可.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习1.1】
因式分解：3x2﹣18x=　
　．
【答案】3x（x﹣6）
【解析】直接找出公因式进而提取得出答案．
解：3x2﹣18x=3x（x﹣6）．
故答案为：3x（x﹣6）．
讲解用时：2分钟
解题思路：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
教学建议：先找数字的最大公约数，再找含相同字母的最低次幂.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【练习1.2】
分解因式8x2y﹣2y=　
　．
【答案】2y（2x+1）（2x﹣1）
【解析】首先提取公因式2y，再利用平方差公式分解因式得出答案．
解：8x2y﹣2y=2y（4x2﹣1）
=2y（2x+1）（2x﹣1）．
故答案为：2y（2x+1）（2x﹣1）．
讲解用时：2分钟
解题思路：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
教学建议：先找数字的最大公约数，再找含相同字母的最低次幂.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题2】
因式分解：m?-n?=
.
9x2﹣4=　
　．
【答案】(m+n)(m-n)
(3x﹣2)(3x+2)
【解析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
解：m?-n?=(m+n)(m-n).
9x2﹣4=（3x﹣2）（3x+2）．
故答案为：（3x﹣2）（3x+2）．
讲解用时：2分钟
解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，熟练应乘法公式是解题关键．
教学建议：注意看到平方数，并且是异号的情况想到用公式法中的平方差公式计算.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习2.1】
分解因式：x2﹣9y2
【答案】（x+3y）（x﹣3y）
【解析】直接利用平方差公式分解因式即可．
解：原式=（x+3y）（x﹣3y）．
故答案为：（x+3y）（x﹣3y）．
讲解用时：2分钟
解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
教学建议：注意看到平方数，并且是异号的情况想到用公式法中的平方差公式计算.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【练习2.2】
因式分解：9﹣p2=　
　．
【答案】（3﹣p）（3+p）
【解析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
解：9﹣p2=（3﹣p）（3+p）．
故答案为：（3﹣p）（3+p）．
讲解用时：2分钟
解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
教学建议：注意看到平方数，并且是符号异号的情况想到用公式法中的平方差公式计算.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题3】
分解因式：x2﹣x+1=　
　．
【答案】（x﹣1）2
【解析】直接利用完全平方公式a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2把多项式分解即可．
解：原式=（x﹣1）2．
故答案为：（x﹣1）2．
讲解用时：2分钟
解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2．
教学建议：注意看到有3项，2项是平方和的形式且符号同号，另1项是乘积的2倍的形式想到用公式法中的完全平方公式计算.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习3.1】
因式分解：﹣x2﹣y2+2xy=　
　．
【答案】﹣（x﹣y）2
【解析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
解：原式=﹣（x2+y2﹣2xy）
=﹣（x﹣y）2．
故答案为：﹣（x﹣y）2．
讲解用时：2分钟
解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
教学建议：注意看到有3项，2项是平方和的形式且符号同号，另1项是乘积的2倍的形式想到用公式法中的完全平方公式计算.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【练习3.2】
分解因式：m2+2mn+n2=　
　．
【答案】（m+n）2
【解析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
解：m2+2mn+n2=（m+n）2．
故答案为：（m+n）2．
讲解用时：1分钟
解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
教学建议：直接套用完全平方公式计算.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题4】
因式分解：x2﹣4x+3=　
　．
【答案】（x﹣1）（x﹣3）
【解析】把3写成﹣1×（﹣3），又﹣1﹣3=﹣4，所以利用十字相乘法分解因式即可．
解：x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3）．
故答案为：（x﹣1）（x﹣3）．
讲解用时：2分钟
解题思路：本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
教学建议：学会画十字相乘法图示.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习4.1】
如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）
（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为　
　；
（2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．
【答案】（1）（m+2n）（2m+n）；（2）42cm.
【解析】（1）根据图象由长方形面积公式将代数式2m2+5mn+2n2因式分解即可；
（2）根据正方形的面积得出正方形的边长，再利用每块小矩形的面积为10厘米2，得出等式求出m+n，进一步得到图中所有裁剪线（虚线部分）长之和即可．
解：（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；
故答案为：（m+2n）（2m+n）；
（2）依题意得，2m2+2n2=58，mn=10，
∴m2+n2=29，
∵（m+n）2=m2+2mn+n2，
∴（m+n）2=29+20=49，
∵m+n＞0，
∴m+n=7，
∴．图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42cm．
讲解用时：4分钟
解题思路：此题主要考查了因式分解的应用、列代数式以及完全平方公式的应用，根据已知图形得出是解题关键．
教学建议：观察图形，学会十字相乘法分解因式.
难度：
4
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题5】
分解因式：m2﹣25+9n2+6mn．
【答案】（m+3n+5）（m+3n﹣5）
【解析】首先分组，进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案．
解：原式=（m2+6mn+9n2）﹣25
=（m+3n）2﹣25
=（m+3n+5）（m+3n﹣5）．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．
教学建议：学会运用分组分解法来解题.
难度：
4
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习5.1】
因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．
【答案】（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）
【解析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解，前三项a2﹣2ab+b2可组成完全平方公式，可把前三项分为一组．
解：a2﹣2ab+b2﹣1，
=（a﹣b）2﹣1，
=（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题主要考查了非负数的性质和分组分解法分解因式，用分组分解法进行因式分解的难点是采用两两分组还是三一分组．本题前三项可组成完全平方公式，可把前三项分为一组．
教学建议：学会运用分组分解法来解题.
难度：
4
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题6】
因式分解
（1）ax2﹣16ay2
（2）﹣2a3+12a2﹣18a
（3）（x+2）（x﹣6）+16
（4）a2﹣2ab+b2﹣1．
【答案】（1）a（x+4y）（x﹣4y）
（2）﹣2a（a﹣3）2
（3）（x﹣2）2；
（4）（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）.
【解析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式
（2）先提取公因式，然后利用完全平方公式
（3）先展开，然后利用完全平方公式
（4）先分组，然后再利用完全平方公式和平方差公式．
解：（1）原式=a（x2﹣16y2）=a（x+4y）（x﹣4y）
（2）原式=﹣2a（a2﹣6a+9）=﹣2a（a﹣3）2
（3）原式=x2﹣4x+4=（x﹣2）2
（4）原式=（a﹣b）2﹣1=（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用提取公因式法与公式法，本题属于基础题型．
教学建议：熟练掌握因式分解的几种方法并熟练运用.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习6.1】
将下列多项式因式分解
（1）8x2﹣4xy
（2）3x4+6x3y+3x2y2
（3）a2﹣ab+ac﹣bc
【答案】（1）4x（2x﹣y）；（2）3x2（x+y）2；（3）（a﹣b）（a+c）．
【解析】（1）提取公因式4x即可得；
（2）先提取公因式3x2，再利用公式法分解可得；
（3）利用分组分解法，将a2﹣ab、ac﹣bc分别作为一组提取公因式后，再分解可得．
解：（1）原式=4x（2x﹣y）；
（2）原式=3x2（x2+2xy+y2）
=3x2（x+y）2；
（3）原式=a（a﹣b）+c（a﹣b）
=（a﹣b）（a+c）．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题主要考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法、公式法和分组分解法因式分解．
教学建议：熟练掌握因式分解的几种方法并熟练运用.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
【例题7】
已知xy=﹣3，满足x+y=2，求代数式x2y+xy2的值．
【答案】﹣6
【解析】将原式提取公因式xy，进而将已知代入求出即可．
解：∵xy=﹣3，x+y=2，
∴x2y+xy2=xy（x+y）=﹣3×2=﹣6．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
教学建议：先因式分解，再求代数式的值.
难度：
3
适应场景：当堂例题
例题来源：无
年份：2018
【练习7.1】
已知ab=﹣2，a﹣b=3，求a3b﹣2a2b2+ab3的值.
【答案】﹣18
【解析】本题要求代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值，而代数式a3b﹣2a2b2+ab3恰好可以分解为两个已知条件ab，（a﹣b）的乘积，因此可以运用整体的数学思想来解答．
解：a3b﹣2a2b2+ab3=ab（a2﹣2ab+b2）
=ab（a﹣b）2
当a﹣b=3，ab=﹣2时，原式=﹣2×32=﹣18，
故答案为：﹣18.
讲解用时：3分钟
解题思路：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
教学建议：先因式分解，再求代数式的值.
难度：
3
适应场景：当堂练习
例题来源：无
年份：2018
课后作业
【作业1】
分解因式：2m2﹣m=　
　．
【答案】m（2m﹣1）
【解析】直接把公因式m提出来即可．
解：2m2﹣m=m（2m﹣1）．
故答案为：m（2m﹣1）．
讲解用时：1分钟
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
【作业2】
因式分解
（1）m2﹣4n2
（2）2a2﹣4a+2．
【答案】（1）（m+2n）（m﹣2n）；（2）2（a﹣1）2
【解析】根据因式分解法即可求出答案．
解：（1）原式=（m+2n）（m﹣2n）
（2）原式=2（a2﹣2a+1）
=2（a﹣1）2
讲解用时：3分钟
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
【作业3】
因式分解：
（1）3a（x﹣y）﹣5b（y﹣x）
（2）x6﹣x2y4．
【答案】（1）（x﹣y）（3a+5b）；（2）x2（x﹣y）（x+y）（x2+y2）
【解析】根据因式分解法即可求出答案．
解：（1）原式=（x﹣y）（3a+5b）
（2）=x2（x4﹣y4）
=x2（x2﹣y2）（x2+y2）
=x2（x﹣y）（x+y）（x2+y2）
讲解用时：3分钟
难度：
4
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
【作业4】
已知a+b=2，ab=2，求a2b+ab2的值．
【答案】4
【解析】首先提公因式ab，进而分解因式得出答案．
解：∵a+b=2，ab=2，
∴a2b+ab2=ab（a+b）
=2×2
=4．
讲解用时：2分钟
难度：
3
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018
【作业5】
我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2+2ab+b2=（a+b）2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．
（1）图B可以解释的代数恒等式是　
　；
（2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为2a2+3ab+b2，并利用你所画的图形面积对2a2+3ab+b2进行因式分解．
【答案】（1）2a2+2ab=2a（a+b）；（2）2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）.
【解析】（1）根据正方形面积求出即可；
（2）画出图形，即可得出答案，根据图形和矩形面积公式求出即可．
解：（1）2a2+2ab=2a（a+b），故答案为：2a2+2ab=2a（a+b），
（2）如图所示：
2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）．
讲解用时：4分钟
难度：4
适应场景：练习题
例题来源：无
年份：2018