23.2.1 中心对称
知识要点基础练
知识点1 认识中心对称
1.下列四组图形中,左边的图形与右边的图形成中心对称的有( C )
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
2.(改编)如图,四边形ABCD与四边形FGHE关于图中的一个点成中心对称,则这个点是 O1 .?
知识点2 中心对称的性质
3.若线段AB与线段CD(与AB不在同一条直线上)关于点O成中心对称,则AB和CD的关系是( C )
A.AB=CD
B.AB∥CD
C.AB平行且等于CD
D.不确定
4.如图,△A'B'C'与△ABC关于原点O成中心对称,已知AB=BC=2,∠ABC=120°,则∠B'A'C'= 30° .?
知识点3 画中心对称图形
5.如图所示,已知△ABC和点O,请用尺规作出与△ABC关于点O对称的△A'B'C'.
略
6.由16个边长相等的小正方形组成的图形如图所示,请你用一条割线(可以是折线)将它分割成两个图形,使之关于某一点成中心对称,要求给出两种不同的方法.
解:如图所示.(答案不唯一)
综合能力提升练
7.如图,在?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,则图中成中心对称的三角形共有( A )
A.4对
B.3对
C.2对
D.1对
8.如图是由三个边长分别是2,3和x的正方形所组成的图形,若直线AB将它分成面积相等的两部分,则x的值是( D )
A.1或4
B.2或3
C.3或4
D.1或2
9.如图,△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,ED是△ABC的中位线,E'D'是△A'B'C'的中位线.已知BC=6,则E'D'=( B )
A.1
B.3
C.4
D.6
10.(改编)如图,E,F分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点,AF=ED,AE,BF相交于点O.下列结论:①AE=BF;②∠ABO=∠FAO;③△ABF与△DAE成中心对称.其中正确的结论有( C )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
11.如图,已知△ABC与△CDA关于点O成中心对称,过点O任作直线EF分别交AD,BC于点E,F,下列结论:①点E和点F,点B和点D关于点O成中心对称;②直线BD必经过点O;③四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等;④△AOE与△COF成中心对称.其中正确结论的个数为( D )
A.1
B.2
C.3
D.4
12.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,且AD=BC=2,E是BC的中点,则△ABE可以看成是由△DEC向左平移得到,平移的距离为 2 ;而△AED与△CDE是成中心对称的两个三角形,它们的对称中心是 DE的中点 .?
13.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(-3,-1),B(-1,-4),C(-3,-4).
(1)作出△A1B1C1,使△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称图形;
(2)作出与△ABC关于原点成中心对称的图形△A2B2C2,并求出△A2B2C2的面积.
解:(1)图略.
(2)图略,△A2B2C2的面积=×3×2=3.
拓展探究突破练
14.课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
如图1,在△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到点E,使得DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形的三边关系可得2
感悟:解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
解决问题:受到上述的启发,请你证明下列命题:如图2,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.
(1)求证:BE+CF>EF;
(2)若∠A=90°,探索线段BE,CF,EF之间的等量关系,并加以证明.
解:(1)延长FD到点G,使得DG=DF,连接BG,EG(或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD),
∴CF=BG,DF=DG.
又∵DE⊥DF,∴EF=EG.
在△BEG中,BE+BG>EG,即BE+CF>EF.
(2)若∠A=90°,则∠EBC+∠FCB=90°,由(1)知∠FCB=∠DBG,EF=EG,
∴∠EBC+∠DBG=90°,即∠EBG=90°,
∴在Rt△EBG中,BE2+BG2=EG2,
∴BE2+CF2=EF2.23.2.1 中心对称
知识要点基础练
知识点1 认识中心对称
1.下列四组图形中,左边的图形与右边的图形成中心对称的有( )
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
2.(改编)如图,四边形ABCD与四边形FGHE关于图中的一个点成中心对称,则这个点是
.?
知识点2 中心对称的性质
3.若线段AB与线段CD(与AB不在同一条直线上)关于点O成中心对称,则AB和CD的关系是( )
A.AB=CD
B.AB∥CD
C.AB平行且等于CD
D.不确定
4.如图,△A'B'C'与△ABC关于原点O成中心对称,已知AB=BC=2,∠ABC=120°,则∠B'A'C'= .?
知识点3 画中心对称图形
5.如图所示,已知△ABC和点O,请用尺规作出与△ABC关于点O对称的△A'B'C'.
6.由16个边长相等的小正方形组成的图形如图所示,请你用一条割线(可以是折线)将它分割成两个图形,使之关于某一点成中心对称,要求给出两种不同的方法.
综合能力提升练
7.如图,在?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,则图中成中心对称的三角形共有( )
A.4对
B.3对
C.2对
D.1对
8.如图是由三个边长分别是2,3和x的正方形所组成的图形,若直线AB将它分成面积相等的两部分,则x的值是( )
A.1或4
B.2或3
C.3或4
D.1或2
9.如图,△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,ED是△ABC的中位线,E'D'是△A'B'C'的中位线.已知BC=6,则E'D'=( )
A.1
B.3
C.4
D.6
10.(改编)如图,E,F分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点,AF=ED,AE,BF相交于点O.下列结论:①AE=BF;②∠ABO=∠FAO;③△ABF与△DAE成中心对称.其中正确的结论有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
11.如图,已知△ABC与△CDA关于点O成中心对称,过点O任作直线EF分别交AD,BC于点E,F,下列结论:①点E和点F,点B和点D关于点O成中心对称;②直线BD必经过点O;③四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等;④△AOE与△COF成中心对称.其中正确结论的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
12.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,且AD=BC=2,E是BC的中点,则△ABE可以看成是由△DEC向左平移得到,平移的距离为 ;而△AED与△CDE是成中心对称的两个三角形,它们的对称中心是
.?
13.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(-3,-1),B(-1,-4),C(-3,-4).
(1)作出△A1B1C1,使△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称图形;
(2)作出与△ABC关于原点成中心对称的图形△A2B2C2,并求出△A2B2C2的面积.
拓展探究突破练
14.课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
如图1,在△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到点E,使得DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形的三边关系可得2感悟:解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
解决问题:受到上述的启发,请你证明下列命题:如图2,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.
(1)求证:BE+CF>EF;
(2)若∠A=90°,探索线段BE,CF,EF之间的等量关系,并加以证明.23.2 中心对称
23.2.1 中心对称
1.关于中心对称的描述不正确的是
(A)
A.把一个图形绕着某一点旋转,若它能与另一个图形重合,则说这两个图形中心对称
B.关于中心对称的两个图形是全等的
C.关于中心对称的两个图形,对称点的连线必过对称中心
D.如果两个图形关于点O对称,点A与A'是对称点,那么OA=OA'
2.如图,已知△AOB与△DOC成中心对称,△AOB的面积是12,AB=8,则△DOC中CD边上的高等于 3 .?
3.在平面内把一个图形绕某一定点旋转 180 度,如果它能与另一个图形重合,那么就说这两个图形中心对称.?
4.若△ABC与△EFC关于点C成中心对称,并且A与E是对称点,则四边形ABEF是 平行四边形 .?
5.如图,D是△ABC的边BC的中点,连接AD并延长到点E,使DE=AD,连接BE.
(1)图中哪两个图形成中心对称?
(2)若△ADC的面积为4,求△ABE的面积.
解:(1)图中△ADC和△EDB成中心对称.
(2)∵△ADC和△EDB成中心对称,△ADC的面积为4,
∴△EDB的面积为4.
∵D为BC的中点,∴△ABD的面积也为4,∴△ABE的面积为8.(共20张PPT)
23.2 中心对称
第二十三章 旋转
23.2.1 中心对称
第二十三章 旋转
知识点1 认识中心对称
1.下列四组图形中,左边的图形与右边的图形成中心对称的有( )
?
?
??
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
C
2.(改编)如图,四边形ABCD与四边形FGHE关于图中的一个点成中心对称,则这个点是__________.?
O1
知识点2 中心对称的性质
3.若线段AB与线段CD(与AB不在同一条直线上)关于点O成中心对称,则AB和CD的关系是( )
A.AB=CD
B.AB∥CD
C.AB平行且等于CD
D.不确定
C
4.如图,△A'B'C'与△ABC关于原点O成中心对称,已知AB=BC=2,∠ABC=120°,则∠B'A'C'=__________.?
30°
知识点3 画中心对称图形
5.如图所示,已知△ABC和点O,请用尺规作出与△ABC关于点O对称的△A'B'C'.
略
6.由16个边长相等的小正方形组成的图形如图所示,请你用一条割线(可以是折线)将它分割成两个图形,使之关于某一点成中心对称,要求给出两种不同的方法.
解:如图所示.(答案不唯一)
7.如图,在?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,则图中成中心对称的三角形共有( )
A.4对
B.3对
C.2对
D.1对
A
8.如图是由三个边长分别是2,3和x的正方形所组成的图形,若直线AB将它分成面积相等的两部分,则x的值是( )
?
?
A.1或4
B.2或3
C.3或4
D.1或2
D
9.如图,△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,ED是△ABC的中位线,E'D'是△A'B'C'的中位线.已知BC=6,则E'D'=( )
?
A.1
B.3
C.4
D.6
B
10.(改编)如图,E,F分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点,
AF=ED,AE,BF相交于点O.下列结论:①AE=BF;②∠ABO=
∠FAO;③△ABF与△DAE成中心对称.其中正确的结论有
( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
C
11.如图,已知△ABC与△CDA关于点O成中心对称,过点O任作直线EF分别交AD,BC于点E,F,下列结论:①点E和点F,点B和点D关于点O成中心对称;②直线BD必经过点O;③四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等;④△AOE与△COF成中心对称.其中正确结论的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
D
12.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,且AD=
BC=2,E是BC的中点,则△ABE可以看成是由△DEC向左平移得到,平移的距离为__________;而△AED与△CDE是成中心对称的两个三角形,它们的对称中心是__________.?
2
DE的中点
13.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为
A(-3,-1),B(-1,-4),C(-3,-4).
(1)作出△A1B1C1,使△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称图形;
(2)作出与△ABC关于原点成中心对称的图形△A2B2C2,并求出△A2B2C2的面积.
解:(1)图略.
(2)图略,△A2B2C2的面积=
×3×2=3.
14.课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
如图1,在△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到点E,使得DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形的三边关系可得2感悟:解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
解决问题:受到上述的启发,请你证明下列命题:如图2,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.
(1)求证:BE+CF>EF;
(2)若∠A=90°,探索线段BE,CF,EF之间的等量关系,并加以证明.
解:(1)延长FD到点G,使得DG=DF,连接BG,EG(或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD),
∴CF=BG,DF=DG.
又∵DE⊥DF,∴EF=EG.
在△BEG中,BE+BG>EG,即BE+CF>EF.
(2)若∠A=90°,则∠EBC+∠FCB=90°,
由(1)知∠FCB=∠DBG,EF=EG,
∴∠EBC+∠DBG=90°,即∠EBG=90°,
∴在Rt△EBG中,BE2+BG2=EG2,
∴BE2+CF2=EF2.