人教版数学八年级下册18.1平行四边形导学案（2课时、含答案）

人教版初中数学八年级下册学案
第十八章
平行四边形
18.1.1
平行四边形的性质
【观察】
画一个ABCD，通过观察和度量，猜想□ABCD的有关性质。除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？它的对角线之间有什么关系？
通过度量，观察图1，可以发现平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等；观察图2，可以发现平行四边形的对角线互相平分。
那么对于上述观察到的结果，如何进行证明？
我们利用三角形全等得出全等三角形的对应边、对应角都相等。通过添加辅助线，构造两个三角形，通过全等三角形进行证明平行四边形的对应边相等、对应角相等。
证明：如图3，连接AC.
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又∵AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴△ABC≌△CDA（ASA）.
∴AD=CB，AB=CD，∠B=∠D.
同理可证∠BAD=∠DCB.
我们利用三角形全等得出全等三角形的对应边、对应角都相等。通过添加辅助线，构造两个三角形，通过全等三角形和平行四边形的对应边相等进行证明平行四边形的对角线互相平分。
证明：如图4，连接AC，BD.
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又∵AD=BC，
∴△AOD≌△COB（ASA）.
∴OA=OC，OB=OD.
思考1：不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？
答：能。根据两条直线平行，同旁内角互补，同一个角的同旁内角相等即可证明。
思考2：已知平行四边形一个内角的度数，你能确定其他内角的度数吗？
答：能。利用平行四边形对角相等和平行四边形的性质，可以确定其他三个角的度数。
思考3：什么是两条平行线之间的距离？
答：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。（任何两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度）
思考4：两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何关系与区别？
答：点与点之间的距离是定义点到直线的距离、两条平行线之间距离的基础，他们本质上都是点与点之间的距离。
【总结】
平行四边形具有以下性质：
示意图
性质（分角度看）
文字语言表述
几何语言表述
从边看
对边平行且相等
∥，∥
从角看
对角相等
从对角线看
对角线互相平分
【巩固】
平行四边形的性质定理：
①平行四边形的对边
平行且相等
（从边看）；
②平行四边形的对角
相等
（从角看）；
③平行四边形的对角线
互相平分
（从对角线看）。
【例题】
1.如图，在ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F，求证AE=CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=CB.
又∵∠AED=∠CFB=90°，
∴△ADE≌△CBF（AAS）.
∴AE=CF.
2.如图，在ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC.求BC，CD，AC，OA的长，以及ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8，CD=AB=10.
∵AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形.
根据勾股定理，AC===6.
又∵OA=OC，
∴OA=AC=3，SABCD=BC·AC=8×6=48.
【练习】
1.在ABCD中，
（1）已知AB=5，BC=3，求它的周长；
（2）已知∠A=38°，求其余各内角的度数.
2.如图，在ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14.△AOD的周长是多少？△ABC与△DBC的周长哪个长？长多少？
3.如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F.求证OE=OF.
18.1.2
平行四边形的判定
【观察】
通过前面的学习，我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.那么反过来，对边相等或对角相等或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？
探究一：我们以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为例，通过三角形全等进行证明：
已知：如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，
∴△AOD≌△COB（SAS）.
∴∠OAD=∠OCB.
∴AD∥BC.
同理可证AB∥DC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
探究二：分别以“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”和“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”为例，请同学们分别写出已知和求证，并进行证明。
①以“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”为例：
已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AB=DC.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：连接AC，如图.
∵AD=BC，AB=DC，AC=CA，
∴△ADC≌△CBA（SSS）.
∴∠ACD=∠CAB，∠DAC=∠BCA.
∴AB∥DC，AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
②以“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”为例：
已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵四边形内角和为360°，
∴∠ABC+∠ADC+∠BAD+∠BCD=360°.
∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，
∴∠ADC+∠BAD=180°.
∴AB∥DC.
同理AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
思考：我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？
我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等.那么反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？
我们猜想这个结论正确，下面通过平行四边形的定义或前面讲到的判定来进行证明.
已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：连接AC，如图.
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2.
又∵AB=CD，AC=CA，
∴△ABC≌△CDA（SAS）.
∴BC=DA.
∴四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形.
【总结】
平行四边形具有以下判定：
示意图
判定（分角度看）
文字语言表述
几何语言表述
从边看
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
在四边形ABCD中，∵，
∴四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
在四边形ABCD中，∵∥，，
∴四边形是平行四边形
（定义法）两组对边分别平行的四边形是平行四边形
在四边形ABCD中，∵∥，∥，
∴四边形是平行四边形
从角看
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
在四边形ABCD中，
∵，
∴四边形是平行四边形
从对角线看
对角线互相平分的四边形是平行四边形
在四边形ABCD中，∵，
∴四边形是平行四边形
由上我们知道，平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理.也就是说，当定理的条件与结论互换以后，所得命题仍然成立.
【巩固】
【例题】
1.如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO.
∵AE=CF，
∴AO-AE=CO-CF，即EO=FO.
又∵BO=DO，
∴四边形BFDE是平行四边形.
思考：你还有其他证明方法吗？
答：可以利用定义，或证明两组对边分别相等，或两组对角分别相等.
2.如图，在ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：四边形EBFD是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，EB∥FD.
又∵EB=AB，FD=CD，
∴EB=FD.
∴四边形EBFD是平行四边形.
【练习】
1.如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF.图中有哪些互相平行的线段？
2.如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点.求证BE=DF.
3.为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了.你能说出其中的道理吗？
4.如图，在ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足.求证：四边形AFCE是平行四边形.
练习答案
18.1.1
平行四边形的性质
1.（1）16；
（2）142°，38°，142°，运用平行四边形的对角和邻角的性质.
2.△AOD的周长是21，利用平行四边形对角线互相平分的性质.△DBC的周长长，长6.
3.提示：证明△BOE≌△DOF，或△AOE≌△COF.
18.1.2
平行四边形的判定
1.AB∥DC∥EF，AD∥BC，DE∥CF.
2.提示：连接DE，BF，运用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理.
3.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知，由枕木和铁轨构成的四边形是平行四边形，而平行四边形的对边平行，所以两条铁轨平行.
4.提示：证明AECF.