人教版八年级上册：11.1.1 三角形的边 讲义（知识点+练习）（无答案）

三角形的边
三角形的定义：由不在同一直线的三条线段首尾顺次相连组成的图形，叫做三角形。
三角形的表示：记作△ABC
顶点：点A、点B、点C
边：AB、AC、BC或a、b、c
角：∠A（∠BAC）、∠B（∠ABC）、∠C（∠ACB）
例1．如图所示．
图中共有多少个三角形?并把它们写出来；
线段AE是哪些三角形的边?
(3)∠B是哪些三角形的角?
练习：如图所示，
图中共有______个三角形，其中以线段BC为一边的三角形是______，
以∠EAD为一内角的三角形是__________.
(2)在△ABD中，∠BAD的对边是______，在△ABE中，∠ABE的对边是______.
(3)AB既是△______中∠______的对边，又是△______中∠______的对边，还是△______中∠______的对边。
三角形的分类：
按角分：
按边分
注意：
①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;
②等边三角形：三边都相等的三角形.
例2.已知（a-b）2+|b-c|=0，若a、b、c为△ABC的三边，那么△ABC是什么三角形？
三角形的三边关系：
由“两点之间线段最短”可得
AB+AC＞BC
同理可得
AB+BC＞AC，BC+AC＞AB
即三角形的两边之和大于第三边。
将不等式移项得AB＞BC-AC
，BC＞AC-AB，AC＞AB-BC
即三角形的两边之差小于第三边。
【例3--1】.判断下列三条线段能否构成三角形.
(1)
3，4，5；
(2)
3，5，9
；
(3)
5，5，8;
（4）4,6,7
【例3--2】.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是_____________.
【例3--3】.设a，b，c是三角形三边，化简：|a-b+c|-|a-b-c|+|-c+b-a|
【例3--4】三角形三边为3，5，3-4a，则a的范围是　　　
　。
【例3--5】.已知△ABC是等腰三角形，
(1)若周长是20，一边长是8，求另两边长；
(2)若周长是20，一边长是5，求另两边长.
练习：1.若三角形两条边长分别为6cm和4cm，且第三边长为偶数，则该三角形的周长为______cm。
以下列各组线段的长为边长，能组成三角形的是(
)
A.2,3,5
B.3,4,5
C.3,5,10
D.4,4,8
3.已知等腰三角形的两边长分别是5和6，则这个等腰三角形的周长为（
）
A.11
B.16
C.17
D.16或17
4.若a，b，c分别是三角形三边，化简：|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a+b|
已知,a、b、c为△ABC的三边长,b、c满足(b?2)2+|c?3|=0，且a为方程|a?4|=2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状。
三角形中的三条重要线段：高，中线，角平分线
三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．
数学语言描述：
如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.
注意：
（1）三角形的高是线段；
（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；
①锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；
②钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；
③直角三角形三条高的交点是直角的顶点.
（3）三角形的三条高：
作图：画出下列△ABC中BC、AC边上的高。
【例4--1】
小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是(
)
【变式】如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（　　）
　
A．
B．
C．
D．
【例4--2】.如图，在直角三角形ABC中，AB=13，AC=12，BC=5，求△ABC的面积，以及AB边上的高CD的长。
练习：如图，AD、CE是△ABC的两条高，已知AD=10，CE=9，AB=12.
(1)求△ABC的面积；
(2)求BC的长。
三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．
注意:（1）三角形的中线是线段；
(2)三角形三条中线全在三角形内部；
(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；
(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
【例4--3】.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长．
练习：在△ABC中，AB=AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长。
【例4--4】.如图1，AB⊥BD于点B，AC⊥CD于点C，且AC与BD相交于点E，则△ADE的边DE上高是______；边AE上的高为_______；若AE=5,ED=2,CD=，则AB=_______.
【例4--5】.如图2，AD，AE分别为△ABC的中线和角平分线，已知BC=10cm，∠BAC=70°，则BD=______=______??=______cm，∠BAE=?______=______=______.若△ABD的周长比△ACD的周长多3cm，则AB-AC=_______cm.
图1
图2
图3
图4
练习：（1）如图3所示，在△ABC中，D、E分别为BC、AD的中点，且，则为________．
（2）如图4，若AD、AE分别是△ABC的高和中线，AD=BE=2，则△ABE的面积为______.
（3）李爷爷家有一块三角形的花圃，他准备将其分成面积相等的四个部分，分别种上四种不同的花，请你帮李爷爷设计两种方案。
三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
三角形的角平分线的数学语言：
如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上.
注意：（1）三角形的角平分线是线段；
（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；
（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；
（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.
三角形的稳定性
三角形的三边长一旦确定，三角形的形状就唯一确定，这个性质叫做三角形的稳定性。四边形则不具有稳定性。
钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，伸缩门则是利用四边形的不稳定性。你还能举出一些例子吗？
作业1：
1.如图1，在ΔABC中，D，E分别为BC，AD的中点，且SΔABC=4，则S阴影为（
）
A.2
B.1
C.
D.
2.长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成一个三角形，选法有（
）
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
3.如图2,AD⊥BC,GC⊥BC,CF⊥AB,垂足分别是D.
C.?F,下列说法中,错误的是(
)
A.△ABC中，AD是边BC上的高
B.△ABC中，GC是边BC上的高
C.△GBC中，GC是边BC上的高
D.△GBC中，CF是边BG上的高
4.如图3，若∠1=∠2，∠3=∠4，下列结论中错误的是（
）
A.AD是△ABC的角平分线
B.CE是△ACD的角平分线
C.∠3=∠ACB
D.CE是△ABC的角平分线
5.如图4，△ABC中，∠A=80゜，高BE和CH的交点为O，则∠BOC等于（
?）
A.?80゜
B.?120゜
C.?100゜
D.?150゜
图1
图2
图3
图4
图5
6.如图5，图中有____个三角形，它们分别是___________；∠B是_____的内角；在△ABE中，BE边所对的角是______,∠B所对的边是______；在△ADE中，AD是______对的边；在△ADC中，AD是______的对边。
7.如图，已知△ABC，按下列要求作图：
（1）画出∠ABC的平分线，并指出相等的角；
（2）画出AC边上的中线，并指出相等的线段；
（3）画出BC边上的高，并指出图中所有的直角三角形.
8.若一个等腰三角形的两条边长分别是7cm和14cm，则它的周长是_______。
9.在△ABC中，AB=AC，AD是中线，△ABC的周长为34cm，△ABD的周长为30cm，求AD的长。
10.已知实数x，y满足|x-5|+=0，求以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长。