人教版八年级上册：11.2 与三角形有关的角 讲义（知识点+练习）（无答案）

第2讲
与三角形有关的角
三角形内角和定理
(1)定理：三角形三个内角的和等于180°.
(2)证明方法：证法多样，主要是运用平行线知识把三个角转移成一个平角，从而得到内角和是180°。
①如图所示，过C作CM∥AB，将求∠A＋∠B＋∠ACB转化为求∠1＋∠2＋∠ACB，
②过A点作DE∥BC，把求∠BAC＋∠B＋∠C转化为求∠BAC＋∠DAB＋∠EAC.
理解与延伸：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；
②一个三角形中最少有一个角不小于60°；
③直角三角形两锐角互余；
④等边三角形每个角都是60°．
(4)作用：求角度，尤其是三角形中的角度计算。
【例1－1】
填空：
(1)在△ABC中，若∠A＝80°，∠C＝20°，则∠B＝__________°；
(2)若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°；
(3)已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠B＝________°，∠C＝_________°.
【例1－2】如图，在△ABC中，∠CAB=∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分线，求∠ADC的度数.
【例1－3】如图,B处在A处的南偏西45°方向,C处在A处的南偏东15°方向,C处在B处的北偏东80°方向，求∠ACB的度数。
【例1－4】若等腰三角形的一内角为40°，则顶角为（
）
40°
B.
100°
C.
70°或40°
D.40°或100°
直角三角形的性质与判定
(1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．
如图所示，在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么∠A＋∠B＝90°.
【例2－1】
将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是
(　　)．
A．43°
B．47°
C．30°
D．60°
【例2－2】
如图所示，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，求证：△EPF是直角三角形．
判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。
【例2－3】下列条件能确定△ABC是直角三角形的条件有_____________
①∠A+∠B=∠C；②
∠A:∠B:∠C=1:2:3；③∠A=90°-∠B；??④∠A=∠B=∠C；
⑥∠A-∠B=∠C；⑦∠A=2∠B=3∠C
；⑧∠A=∠B=∠C
【例2－4】如图,在△ABC中,∠ABC=60?,∠ACB=54?，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，H是BE和CF的交点，HD是∠BHC的平分线，求∠ABE，∠ACF和∠CHB的度数。
三角形的外角
(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图，∠ACD就是△ABC其中的一个外角．
练习：选出下图中∠1是△ABC的外角的序号：_______________
注意：一个三角形有6个外角，其中两两互为对顶角，如图所示．
三角形外角的理解:外角是相对于内角而言的，也是三角形中重要的角，一个角对一个三角形来说是外角，而对于另一个三角形来说可能是内角；三角形的角是指的三角形的内角，这点要注意．
【例3】
在△ABC中，∠A等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于∠B的两倍，那么∠A＝__________，∠B＝__________，∠C＝__________.
4.三角形外角性质
性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
如图所示：
∠1＝∠B＋∠C
∠B＝∠1－∠C或∠C＝∠1－∠B．
注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是一半数目外角的和.
(2)作用：①求角的度数，在外角、不相邻的两内角中知道两角能求第三角，也能求出相邻内角的度数；
②证明角相等，一般是把外角作为中间关系式证明角相等．
【例4--1】填空：求出下列各图中∠1的度数.
(1)如图，∠1=______；(2)如图，∠1=______；(3)如图，∠1=______；
(4)如图，∠1=______；(5)如图，∠1=______；(6)如图，∠1=______.
【例4--2】如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2＝__________.
【例4--3】
填空：
(1)如图(1)，P为△ABC中BC边的延长线上一点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠ACP＝________°.
(2)如图(2)所示，已知∠ABE＝142°，∠C＝72°，则∠A＝__________°，∠ABC＝__________°.
(3)如图(3)，∠3＝120°，则∠1－∠2＝________°.
图4
【例4--4】如图4,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,若∠B=35°,∠ACE=60°，则∠A=________.
三角形外角和
(1)定义：如图所示，在每一个顶点上取一个外角，如∠1，∠2，∠3，它们的和叫做三角形的外角和．
(2)三角形外角和定理：三角形的外角和等于360°.
注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是一半数目外角的和．
【例5】
如图所示．用两种方法说明∠1＋∠2＋∠3＝360°.
多边形内角和
多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
多边形的分类:
多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.
　　　　　　　　　　凸多边形
　凹多边形　　　　　
正多边形
各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。
　　　
　　　　　　　　
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
思考：五边形共有_______条对角线，n边形共有_______条对角线。
多边形内角和：
…………
从五边形的一个顶点出发，可以作______条对角线，它们将五边形分为______个三角形，五边形的内角和等于180°×_____________；从六边形的一个顶点出发，可以作______条对角线，它们将六边形分为______个三角形，五边形的内角和等于180°×_____________；从n边形的一个顶点出发，可以作______条对角线，它们将n边形分为______个三角形，n
边形的内角和等于180°×_____________。
n边形的内角和等于___________。
【例6--1】在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3，则∠A＝________．
【例6--2】如图，DC∥AB，∠BAE=∠BCD，AE⊥DE，∠D=130°，则∠B=______
【例6--3】一个多边形内角和是1080°，则这个多边形的边数为（
）
A、
6
B、
7
C、
8
D、
9
【例6--4】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（
）.
　　A．6
　　　B．7　　　
C．8
　　　D．9
n边形的外角和等于___________。
【例6--5】一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形（
）
四边形
B.
五边形
C.
六边形
D.
八边形
※．角平分线的夹角与三角形内角关系的探究
(1)三角形的两内角平分线的夹角与内角的关系
如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点O，求∠BOC与∠A之间的关系．
(2)三角形两外角的平分线的夹角与内角的关系
如图，在△ABC中，BP，CP分别是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分线，试探究∠BPC与∠A的关系．
(3)一个内角平分线与一个外角平分线的夹角与内角的关系
如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，BE是△ABC的外角∠ABD的平分线，试探究
∠BEC与∠A的关系．
【例7－1】
如图，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的两条平分线，∠A＝100°，则∠BOC的度数是(　　)．
A．80°　　　　
B．90°　　　　
C．120°　　　　D．140°
【例7－2】
如图所示，∠ABC的平分线和△ABC的外角∠ACE的平分线交于点D，∠D＝30°，∠A的度数是__________；当∠D＝__________时，∠A的度数是90°.
作业1：
1．三角形的三个外角之比为，则与之相应的三个内角之比为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在△ABC中，D是AB上的一点，E是AC上一点，BE.CD相交于F，∠A=70°，∠ACD=20°，∠ABE=28°，则的度数为（　　）
A．62°
B．68°
C．78°
D．90°
3．若三条线段中，，为奇数，那么由为边组成的三角形共有（　　）
A．个
B．个
C．无数多个
D．无法确定
4．如果线段能组成三角形，那么它们的长度比可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．不一定能构成三角形的一组线段的长度为（　　）
A．3，7，5
B．3x，4x，5x(x＞0)
C．5，5，a(0＜a＜10)
D．m，m，m2
6．如图1，的平分线交的平分线于，若，则_____．
7．一个三角形中最多有_____个内角是钝角，最多可有_____个角是锐角．
8．三角形两个外角的和等于第三个内角的倍，则第三个内角等于___________．
9．如图2，______；如图3，_____．
10．两根木棒的长分别为和．要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形框架，那么，第三根木棒长（）的范围是______．
11.如图，已知∠ACD=120°，∠DFA=122°，∠D=34°，求∠A的度数.