人教版八年级上册：12.2 三角形全等的判定（ASA、AAS、HL）讲义（知识点+练习）（无答案）

全等三角形的判定2（ASA、AAS、HL）
ASA
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。
书写格式：
在△ABC和△A’B’C’中，
∵
∴△ABC≌△A’B’C’（ASA）
知识延伸：“ASA”中的“S”必须是两个“A”所夹的边。
【例1--1】如图,下列条件不能证明△ABC≌△DCB的是(
)
A.?AB=DC，AC=DB
B.?AB=DC，∠ABC=∠DCB
C.?BO=CO，∠A=∠D
D.?AB=DC，∠A=∠D
练习：如图,AB=AC,若利用“ASA”来证明△ABE≌△ACD，需补充的一个条件是____________.
【例1--2】如图,AB∥CD,AF∥DE，BE=CF，求证：AB=CD.
【例1--3】如图，点B在射线AE上，∠1=∠2，∠3=∠4.求证：AC=AD.
【例1--4】如图，已知∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC.求证：BC=AD.
AAS
判定方法：
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
（可以简写成“角角边”或“AAS”）。
书写格式：在△ABC和△A’B’C’中，
∵
∴△ABC≌△A’B’C’（AAS）
知识延伸：“AAS”可以看成是“ASA”的推论。
规律方法小结：由“角边角”及“角角边”可知两角及一边对应相等的两个三角形全等。无论这个一边是“对边”还是“夹边”，只要对应相等即可。
【例2--1】如图1，已知△ABC的六个元素，则图2甲、乙、丙三个三角形中和图1△ABC全等的图形是（?）
A.
甲乙
B.
丙
C.
乙丙
D.
乙
【例2--2】在△ABC和△DEF中,AB=DE,∠B=∠E,要使△ABC≌△DEF,则下列条件中错误的是（?
）
A.?AC=DF
B.?BC=EF
C.?∠A=∠D
D.?∠C=∠F
练习：1.两个等腰三角形,若顶角和底边对应相等,则两个等腰三角形全等,其理由是(
)
A.SAS
B.SSS
C.ASA
D.ASA或AAS
2.△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，要证明△ABC≌△DEF，还需要的条件是（
）
A．∠B=∠E
B．∠C=∠F
C．AC=DF
D．以上三种情况都可以
【例2--3】如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A引一条直线AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E.求证：DE=BD-CE.
【例2--4】如图,在△ABC中,已知∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=2,求CE的长。
【例2--5】如图，已知点A，F，E，C在同一条直线上，AB//CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE。
（1）从图中任找两组全等三角形。
（2）从（1）中任选一组进行证明。
【例2--6】如图，CA=CD，∠B=∠E，∠BCE=∠ACD.求证：AB=DE.
HL：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。（简写成“斜边、直角边”或者HL）
应用格式：如图在三角形Rt△ABC≌Rt△DEF中
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（_________）
【例3--1】如图所示,∠C=∠D=90?添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等。以下给出的条件适合的是(
)
?AC=AD
B.?AB=AB
C.?∠ABC=∠ABD
D.?∠BAC=∠BAD
练习：下列条件不能判断两个直角三角形全等的是（
?）
A.
两条直角边分别对应相等
斜边和一个锐角分别对应相等
C.
两个锐角对应相等
D.
斜边和一直角边分别对应相等
【例3--2】如图,MN∥PQ，AB⊥PQ，点A.
D.
B.?C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC=7，AD=EB，DE=EC，则AB=___.
练习：如图,∠C=90?，AC=10，BC=5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB=PQ，当点P运动到AP=___，△ABC与△APQ全等。
【例3--3】如图，AB=EF，BC⊥AE于C，FD⊥AE于D，CE=DA.求证：
(1)△ABC≌△EFD；??
(2)AB∥EF.
【例3--4】如图，OA=0B，AC=BD，0A⊥AC，0B⊥BD，OM⊥CD于M，求证：OM平分∠A0B.
【例3--5】如图所示，太阳光线AC和A`C`是平行的，同一时刻两个建筑物在太阳下的影子一样长，那么建筑物是否一样高？说明理由。
【例3--6】在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
（1）若B、C在DE的同侧（如图1所示）且AD=CE.求证：AB⊥AC.
（2）若B、C在DE的两侧（如图2所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由.
作业4：
1.如图，已知EC=BF，∠A=∠D，现从下列6个条件：①AC=DF;②∠B=∠E;③∠ACB=∠DFE;④AB∥ED;⑤AB=ED;⑥DF∥AC；从中选取一个条件,以保证△ABC≌△DEF,则可选择的是(
)
A.
②③④⑥
B.
③④⑤⑥
C.
①③④⑥
D.
①②③④
2.如图,BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF,则还需要添加一个条件是(
)
A.AE=DF
B.∠A=∠D
C.∠B=∠C
D.AB=DC
3.如图：∠ABC=∠DEF，AB=DE，要证明△ABC≌△DEF,需要添加一个条件为
。
4.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，再添加一个条件
（只需填一个），就可以判定△ABD≌△ACD.
5.在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．求证：AB=AC．
6.如图，E、A、C三点共线，AB∥CD，∠B=∠E，AC=CD。求证：BC=ED。
7.已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，
求证：①
△BEC≌△DAE；
②DF⊥BC．