人教版九年级上册 21.2 解一元二次方程学案（含答案）

第一讲
一元二次方程的概念及解法
1.一元二次方程的定义：
只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax2＋bx+c=0
(a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
注意：
满足是一元二次方程的条件有：
必须是一个整式方程；
只含有一个未知数；
（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可）
【例1--1】方程①
②
③
④中一元二次方程是
.
A.
①和②；
B.②和③
；
C.
③和④；
D.
①和③
【例1--2】要使方程（a-3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则__________.
A．a≠0
B．a≠3
C．a≠1且b≠-1
D．a≠3且b≠-1且c≠0
【例1--3】若（m+1）+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是________．
2．一元二次方程的一般形式：
一元二次方程的一般式是ax2＋bx+c=0
(a、b、c为常数，a≠0）。其中ax2是二次项，
a
是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
【例2--1】一元二次方程的一般形式是
；二次项系数是
；一次项系数是
；常数项是
。
【例2--2】把下列关于x的一元二次方程化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项。
（1）5x（x+2）=3(x+1）
(2)
3.方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
【例3--1】判断下列括号里的数哪个是方程的解。
（1）
(2)
【例3--2】若是关于x的一元二次方程
的一个根，求代数式的值。
【例3--3】若－4是关于x的一元二次方程2x2＋7x－k＝0的一个根，则k的值为________．
一元二次方程的解法：（※降次的思想）
直接开平方法：求下列式中的x的值。
（1）
x2=9
（2）(x－2)2＝7
对于x2=
p，
（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不等实数根x1=
-，x2=；
（2）当p=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；
（3）当p＜0时，对于任意的实数x都有x2≥0，所以方程无实数根。
总结：
如果方程
x2=
p
(p≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解。
【例4--1】解方程：用直接开平方法解一元二次方程
（1）
（2）
（3）
（4）
配方法：通过配成完全平方的形式来解一元二次方程，配方是为了降次。
思考：怎样解下列方程
（1）x2+4x+1=0
（2）2x2+1=3x
(3)
3x2-6x+4=0
总结：配方法解一元二次方程的一般步骤：
(1)化：先将常数项移到方程右边，再化二次项系数为1；
(2)配：方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使方程左边配成一个含有未知数的完全平方式；
(3)开：直接开平方；
(4)写：写出方程的解。
注意：变形为(x＋p)2＝q的形式，如果q≥0方程的根是x＝－p±；如果q＜0方程无实根．
【例5】用配方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
公式法：
【例6--1】用配方法解方程：（探索求根公式）
解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，将a，b，c代入式子x＝就得到方程的根．
判别式：
b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx+c=0
根的判别式，用希腊字母“△”表示，即:
△=b2－4ac。△≥0时，方程ax2＋bx+c=0
的实数根可以写为x＝的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2＋bx+c=0
的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
⑴
当时,方程有两个不相等的实数根；
(2)当时,方程有两个相等的实数根；
⑶
当时,方程没有实数根。
【例6--2】用公式法解一元二次方程
（1）
（2）
（3）
（4）
【例6--3】若关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是________
【例6--4】如果关于x的一元二次方程x2+4x-m=0没有实数根，则m的取值范围是________
因式分解法：（利用提公因式、公式或十字相乘，将方程化为两个因式乘积的形式）
【例7--1】用因式分解法解一元二次方程:
（1）
(2)
(3)
(4)
【例7--2】已知三角形的两边长分别是3和4,笫三边的长是方程x2－6x+5=0的根,三角形的形状为_________。
解一元二次方程综合：
【例8--1】：按要求解下列方程:
（1）（直接开平方法）
（2）(因式分解法)
（3）(配方法)
（4）
(求根公式法)
解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．
【例8--2】用适当的方法解下列各题:①,
②,
③
,④,较简便的解法_________。
A
.依次为直接开平方法,配方法,公式法和因式分解法
B.①用直接开平方法,②用公式法,③④用因式分解法
C.
依次为因式分解法,公式法,配方法和直接开平方法
D.
①用直接开平方法,②③用公式法,④用因式分解法
【例8--3】议一议
①x2-3x+1=0
②
3x2-1=0
③-3t2+t=0
④x2-4x=2
⑤2x2－x=0
⑥5(m+2)2=8
⑦
3y2-y-1=0
⑧x2+6x-1=0
⑨(x-2)2=2(x-2)
适合运用直接开平方法
；
适合运用因式分解法
；
适合运用公式法
。
发现
一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；
若常数项为0（
ax2+bx=0），应选用因式分解法；
若一次项系数和常数项都不为0
(ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单。
②
公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）。
作业1：
1.在①,②,③,④，⑤,⑥,⑦，⑧，⑨中，是一元二次方程有_________（填序号）。
2.关于x的方程是(m2–1)x2+(m–1)x–2=0，那么当m_______
时，方程为一元二次方程；当m_________
时，方程为一元一次方程.
3.把方程化成一般式为____________________.二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是_________.
4．关于的x的一元二次方程方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,
则a的值是___________.
5.;
6.
一元二次方程若有两根1和－1,那么a+b+c=________，a-b+c=________。
7.如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)能用公式法求解,那么必须满足的条件是(　　)
A.
b2-4ac≥0??????????
???B.
b2-4ac≤0?????????????
C.
b2-4ac>0??????????
???D.
b2-4ac<0?????????????
8.用配方法解关于x的方程x2+bx+c=0时,此方程可变形为　　(　　)
A.
??????
?
B.
????
???
?
C.
?????
??D.
???
9.
对形如(x+m)2=n的方程,下列说法正确的为　　(　　)
A.
可用直接开平方法求得根x=±????????????
?B.
当n≥0时,x=±-m?????????????
C.
当n≥0时,x=±+m?????????????
?????????????????????????D.
当n≥0时,x=±?????????????
10.按要求解下列方程:
（1）（直接开平方法）
（2）(配方法)
（3）(公式法)
（4）(因式分解法)
-1：C
例1--2：B
例1--2：1
例2--1：x2-2x=0,1,-1,0
例2--2:（1）5x2+7x-3=0,5,7,-3（2）2x2=0,2,0,0
例3--1：（1）0
（2）5，-5
例3--2:0
例3--3:4
例4--1：（1）x1=5,x2=-5
（2），
（3）
（4），
例4--2：（1）
（2），
（3）无解
例5：（1），
（2）
，
（4）
-1：当b2-4ac≥0时，x=
例6--2：（1）
（2）
（3）
（4）
例6--3：m≤3且m≠2
例6--4：m＜-4
例7--1：（1）
（2）
（3）
（4）
例7--2：直角三角形
例8--1：（1），
（2）
（3）
（4）
例8--2：D
例8--3：②⑥；③⑤⑨；①⑦
作业1：
①③④⑦
≠±1
；
=-1
2x2-3x-5=0
；
2，-3，-5
-1
，；
，
0,0
A
A
B
（1）
（2）
（3）
（4）