(共15张PPT)
对数的概念
新课引入
上节课我们学习指数函数，研究细胞分裂时，曾经归纳出，第x次分裂后，细胞的个数为y=2x；给定分裂的次数x，我们可以求出细胞个数y。有时我们会遇到这样的问题:
已知一个细胞分裂x次后细胞的个数是1024，问这个细胞分裂了几次？
即：2x=1024，则x=？
所以须要创立新的符号,能在已知底数和幂的值时,表示出该指数的表达式.这就是我们本节课将要学习的对数及对数符号.
又看如下问题: 现今我国总产值每年比上年约平均增长8%,问经过几年,总产值是今年的2倍
设今年总产值为a亿元,经过x年,总产值是今年的2倍,则可列式: a(1+8%)x=2a, 即得 1.08x=2 此式的x如何解出(表达出)呢
新课引入
可是也有不少与上列数学式同类的式子,还不易解决和表达. 例如：
形成概念
一般地,如果a(a>0,a≠1)的 b 次幂等于N, 即ab=N, 那么数b叫做以a为底 N的对数,
记作： logaN=b
(式中的a叫做对数的底数,N叫做真数.)
(对数式 “logaN” 表示的意思就是:一个乘方的底数是a,乘方的结果是N时所“对应的那个指数”)
书写格式：
logaN
对数等式logaN=b写为乘方等式就是ab=N,乘方等式ab=N,写为对数等式就是logaN=b但要注意两式中字母a,N,b的称呼的异同.
logaN=b 就是 ab=N
底数
底数
真数
幂
对数
指数
(a>0,a≠1)
形成概念
概念深化
由对数式定义: logaN=b ab=N (a>0,a≠1) 可知,不论b是什么实数,总有ab>0,即式ab=N中的幂N永远是正数,也即式logaN中的真数N永远是正数. 因此负数和零没有对数. 例如：
式log20, log3(-3),以及log05, log-23, log12等都无意义.
有了对数知识,前面提出的“已知底数和幂的值,如何用(含有底数和幂的)式子去表达出与其对应的指数”之问题就迎刃而解了.
例如,因为42=16,所以底数为4,幂为16,对数(对应的指数)是2,就可写为 log416=2
★从事例:20=1,写为对数就是log21=0;(0.3)0=1就是log0.31=0;
100=1就是log101=0. 猜想应有公式:
证明:设loga1=x 由对数的定义就有ax=1,又1=a0(a>0,a≠1)
∴ ax=a0 ∴一定有x=0.即得 loga1=0.
log
a
1
=
0
(a>0,a≠1)
★从事例:21=2,写为对数就是log22=1;(0.3)1=0.3就是log0.30.3=1;
101=10就是log1010=1. 猜想应有公式:
log
a
a
=
(a>0,a≠1)
1
概念深化
证明:设logaa=x 由对数的定义就有ax=a,又a=a1(a>0,a≠1)
∴ ax=a1 ∴一定有x=1.即得 logaa=1.
a =
logaN
X
思考：
此指数式(指数是logaN)写为对数式就是 logaX=logaN ,
令 logaX=logaN=b,则有ab=X又有ab=N ∴X=N.
a =
logaN
N
∴得公式
解：
概念深化
对数恒等式
例1 将下列指数式写成对数式:
(1)54=625
log5625=4.
解:
解:
(3)3a=27
解:
log327=a.
解:
例2 将下列对数式写成指数式:
解:
(2)log2128=7
解:
27=128.
(3)lg0.01=-2
解:
10-2=0.01.
例题
讲解
补充
例题
例3. (1)求 log279的值
解:设log279=b,
(2)已知 2logx8=4,求x 的值.
解:由2logx8=4, 先化简得 logx8=2,
再化为 33b=32,∴3b=2.
由对数式的定义则有 x2=8.
由对数式的定义则有27b=9,
随堂
检测
1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
(A).100=1与lg1=0 (B). log55=1与51=5.
(C). (D).
(A). (B).
(C). (D).
解:∵只有C中两式的底数不同(一为3,另一为9)∴C不正确,选C.
3.如果N=a2(a>0,且a≠1),则有( )
(A).log2N=a (B).log2a=N
(C).logNa=2 (D).logaN=2
(A).y7=xz (B).y=x7z (C).y=7 xz (D).y=z7x
解.根据对数的定义, N=a2中的指数2叫做以
a为底N的对数,记作 logaN=2. ∴应选 D.
随堂
检测
课堂练习
1.将下列指数式写成对数式:
(1)23=8;
(2)25=32;
2.将下列对数式写成指数式:
(1)log39=2;
(2)log5125=3;
3.求下列各式的值:
(1)log525
(3)lg100 (4)lg0.01
(5)lg10000 (6)lg0.0001
4.求下列各式的值:
(1)log1515 (2)log0.41
(3)log981 (4)log2.56.25
(5)log7343 (6)log3243
是log28=3
是log232=5
=2 =-4
=2 =-2
=4 =-4
=1 =0
=2 =2
=3 =5
回顾反思
本节课我们学了哪些内容？ 你有什么收获？我们应注意什么？(共22张PPT)
对数函数图象
与性质
复习:一般的,函数 y = ax ( a ＞ 0, 且 a ≠ 1 ) 叫做指数函数,其中x是自变量.函数的定义域是 R.
a > 1
0 < a < 1
图 象
性 质
y
x
0
y=1
(0,1)
y=ax
(a>1)
y
x
(0,1)
y=1
0
y=ax
(0
定 义 域 : R
值 域 : ( 0 , + )
8
过 点 ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .
在 R 上是增函数
在 R 上是减函数
问题情境1 :
在现实生活的细胞分裂过程中,细胞个数y 是分裂次数x 的指
只要知道了x 就能求出y 。
数函数
现在反过来研究,知道了细胞个数, 如何确定分裂次数
为了求
中的x
我们将
写成对数式, 即
从而得到一种新的函数
一般地,函数 y = loga x (a＞0,且a≠ 1 )叫做对数函数.其中 x是自变量,
函数的定义域是（ 0 , +∞）.
对数函数的定义：
注意:1)对数函数定义的严格形式;
，且
2)对数函数对底数的限制条件：
在同一坐标系中用描点法画出对数函数
的图象。
作图步骤: ①列表,
②描点,
③用平滑曲线连接。
探究：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性质
X 1/4 1/2 1 2 4 …
y=log2x -2 -1 0 1 2 …
列表
描点
作y=log2x图象
连线
2
1
-1
-2
1
2
4
0
y
x
3
探究：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性质
列表
描点
连线
2
1
-1
-2
1
2
4
0
y
x
3
x 1/4 1/2 1 2 4
2 1 0 -1 -2
-2 -1 0 1 2
这两个函数的图象有什么关系呢？
关于x轴对称
探究：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性质
…
…
…
…
…
…
图象特征 代数表述
定义域 :
( 0,+∞)
值 域 :
R
增函数
在(0,+∞)上是：
探索发现:认真观察函数y=log2x
的图象填写下表
图象位于y轴右方
图象向上、向下无限延伸
自左向右看图象逐渐上升
探究：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性质
2
1
-1
-2
1
2
4
0
y
x
3
图象特征 函数性质
定义域 :
( 0,+∞)
值 域 :
R
减函数
在(0,+∞)上是：
图象位于y轴右方
图象向上、向下无限延伸
自左向右看图象逐渐下降
探究：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性质
探索发现:认真观察函数
的图象填写下表
2
1
-1
-2
1
2
4
0
y
x
3
探究：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性质
对数函数 的图象。
猜猜:
2
1
-1
-2
1
2
4
0
y
x
3
图 象 性 质
a ＞ 1 0 ＜ a ＜ 1
定义域 :
值 域 :
过定点:
在(0,+∞)上是：
在(0,+∞)上是
对数函数y=logax (a＞0,且a≠1) 的图象与性质
( 0,+∞)
R
(1 ,0),
即当x ＝1时,y＝0
增函数
减函数
y
X
O
x =1
(1,0)
y
X
O
x =1
(1,0)
0 < x <1 时，y <0
x > 1 时，y > 0
0 < x <1 时，y > 0
x > 1 时，y < 0
例1求下列函数的定义域：
（1）
（2）
讲解范例
解 :
解 :
由
得
∴函数
的定义域是
由
得
∴函数
的定义域是
练习
1.求下列函数的定义域：
（1）
（2）
比较下列各组中，两个值的大小：
（1） log23.4与 log28.5
∴ log23.4< log28.5
解：
考察函数y=log 2 x ,
∵a=2 > 1,
∴函数在区间（0，+∞）
上是增函数；
∵3.4<8.5
比较下列各组中，两个值的大小：
（2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7
解：考察函数y=log 0.3 x ,
∵a=0.3< 1,
∴函数在区间（0，+∞）上是减函数；
∵1.8<2.7
∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7
小结
比较下列各组中，两个值的大小：
（1） log23.4与 log28.5 （2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7
小
结
比较两个同底对数值的大小时:
１.观察底数是大于1还是小于1；
（ a>1时为增函数0２.比较真数值的大小；
３.根据单调性得出结果。
注意：若底数不确定，那就要对底数进行分类讨论
即0 1
比较下列各组中，两个值的大小：
（3） loga5.1与 loga5.9
解: ①若a>1则函数在区间（0，+∞）上是增函数；
∵5.1<5.9
∴ loga5.1 < loga5.9
②若0∴ loga5.1 > loga5.9
你能口答吗？
变一变还能口答吗？
<
，则m___n;
则m___n.
>
<
>
2. y = log x ① 当x满足 时，y>0；
②当x满足 时，y＝0；
③当x满足 时，y＜0
1.y = log x ① 当x满足 时，y>0；
②当x满足 时，y＝0；
③当x满足 时，y＜0
x>1
x>1
00x=1
x=1
思考：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象随着a
的取值变化图象如何变化？有规律吗？
2
1
-1
-2
1
2
4
0
y
x
3
规律：在x轴
上方图象自左
向右底数越来
越大！
x
1.记住对数函数的定义; 2.会画对数函数的图象。
知识与技能目标：
过程与方法目标：
情感态度价值观目标：
经历函数 和 的画法,观察其图象特征并用代数语言进行描述得出函数性质,进一步探究出函数 的图象与性质.
通过本节课的学习增强学生的数形结合思想.
作业: P74.习题2.2 7，8