(共15张PPT)
复习回顾：
(1)一元二次方程是否有实根的判定方法.
(2)二次函数的顶点坐标，对称轴方程。
一：利用一元二次方程根的判别式
△＞0,二次方程有两个不同的实数根
△=0，二次方程有两个相同的实数根
△＜0，二次方程没有实数根
二：二次函数
顶点坐标为( , )
对称轴为
观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：
一元二次方程 方程的根 二次函数 图象与x轴的交点
x2-2x-3=0
y=x2-2x-3
x2-2x+1=0 y=x2-2x+1
x2-2x+3=0
y=x2-2x+3
x= 3或x=-1
（-1，0）
（3，0）
x=1
（1，0）
无实数根
无交点
△=b2-4ac ax2+bx+c=0的根 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点
△>0
△=0
△<0
一般一元二次方程与相应二次函数的关系
（x1,0），（x2，0）
x1=x2
（x1，0）
无实根
无交点
x1,x2
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
函数零点的定义：
注意：
零点指的是一个实数；
零点是一个点吗
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
△=b2-4ac ax2+bx+c=0的根 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点
△>0
△=0
△<0
二次函数零点的个数
两个零点
两个相等的实根
二重零点
无实根
无零点
两个不相等的实根
0
1
2
3
4
5
-1
-2
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
x
y
探究
（1）当函数的图像通过零点且穿过x轴时，函数值变号。
（2）两个零点把x轴分为三个区间。
可以推广到任意函数，只要它的图像是连续的，上述性质同样成立。
例一：判断函数零点的个数
答案（1）两个 （2）一个
（1）可直接解方程（2）可解方程也可数形结合
互动探究
例二：求函数的零点
答案（1）1和-1 （2）-3和
变式训练：
思考与讨论 ：如何求函数的零点？
规律方法：由于函数的零点是对应方程的根，所以求函数的零点就是解与函数相对应的方程，一元二次方程可用求根公式，简单的高次方程可用因式分解去求。
例三、求函数y=x3-2x2-x+2的零点，并画出它的图像。
解：因为
x3-2x2-x+2=x2(x-2)-(x-2)
=(x-2)(x2-1)
=(x-2)(x-1)(x+1)
所以已知函数的零点为-1，1，2.
3个零点把x轴分成4个区间：
（-∞，-1）（-1，1）（1，2）（2，+ ∞ ）
x
y
0
2
-2
2
当堂检测
课本练习A
本堂小结：
一：函数零点的概念
二：函数零点与方程根的关系
三：求函数的零点及判断零点的个数(共12张PPT)
问题·探究
方程
x2－2x+1=0
x2－2x+3=0
y= x2－2x－6
y= x2－2x+1
函数
函
数
的
图
象
方程的实数根
x1=－1,x2=3
x1=x2=1
无实数根
函数的图象
与x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
x2－2x－6=0
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
.
.
.
.
.
y
x
0
－1
2
1
1
2
y= x2－2x+3
问题·探究
问题2 求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图像的简图，并写出函数的图象与x轴的交点坐标
方程ax2 +bx+c=0
(a>0)的根
函数y= ax2 +bx
+c(a>0)的图象
判别式△ =
b2－4ac
△＞0
△=0
△＜0
函数的图象
与 x 轴的交点
有两个相等的
实数根x1 = x2
没有实数根
x
y
x1
x2
0
x
y
0
x1
x
y
0
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
两个不相等
的实数根x1 、x2
问题3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？
对于函数y=f(x)在实数α处的函数值等于0，即
f(α)=0
则α叫做这个函数的零点。
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
函数的零点定义：
等价关系
零点的求法
代数法
图像法
二次函数零点的性质：
我们可以通过方程研究函数的性质
在这4个区间内，取x的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表：
X … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 …
Y … -4.38 0 1.88 2 1.13 0 -0.63 0 2.63 …
在坐标系内，描点连线，作出图像.
不难看出，函数图像经过三个零点时，函数值分别改变了符号，并且在每个区间内，函数值保持同号
求下列函数的零点
6
5
)
(
2
+
-
=
x
x
x
f
1
2
)
(
-
=
x
x
f
（1）
（2）
2和3
0
求函数零点的步骤：
(1)令f(x)=0;
(2)解方程f(x)=0；
(3)写出零点
反思小结:
1．函数零点的定义
2．等价关系
3．求函数的零点
作业P75
习题2-4 A组 1，4，5
练习:P 72练习A，B(共21张PPT)
函数的零点的定义：
使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
复习：
问题1．能否求解以下几个方程
(1) x2-2x-1=0
(2) 2x=4-x
(3) x3+3x-1=0
指出：用配方法可求得方程x2-2x-1=0的解，但此法不能运用于解另外两个方程.
探索新授：
O
x1
x2
x0
x
y
a
b
由图可知：方程x2-2x-1=0
的一个根x1在区间(2,3)内，
另一个根x2在区间(-1,0)内．
x
y
1
2
0
3
y=x2-2x-1
-1
画出y=x2-2x-1的图象(如图)
结论：借助函数 f(x)= x2-2x-1的图象，我们发现 f(2)=-1<0, f(3)=2>0，这表明此函数图象在区间(2, 3)上穿过x轴一次，可得出方程在区间(2,3)上有惟一解.
问题2．不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的一个正的近似解（精确到0.1）
思考：如何进一步有效缩小根所在的区间？
由于2.375与2.4375的近似值都为
2.4,停止操作,所求近似解为2.4。
数离形时少直观，形离数时难入微！
2
-
3
+
x
y
1
2
0
3
y=x2-2x-1
-1
2
-
3
+
2.5
+
2.25
-
-
2.375
-
2
-
3
+
2.25
-
2.5
+
2.375
-
2.4375
+
2
-
2.5
+
3
+
2
3
2.5
2
-
3
+
2.5
+
2.25
-
2
2.5
2.25
由于2.375与2.4375的近似值都为2.4,停止操作,所求近似解为2.4。
1．简述上述求方程近似解的过程
x1∈(2,3)
∵ f(2)<0, f(3)>0
x1∈(2,2.5)
∴f(2)<0, f(2.5)>0
x1∈(2.25,2.5)
∴ f(2.25)<0, f(2.5)>0
x1∈(2.375,2.5)
∴ f(2.375)<0, f(2.5)>0
x1∈(2.375,2.4375)
∴ f(2.375)<0, f(2.4375)>0
∵f(2.5)=0.25>0
∵ f(2.25)= -0.4375<0
∵ f(2.375)= -0.2351<0
∵ f(2.4375)= 0.105>0
通过自己的语言表达，有助于对概念、方法的理解!
∵ 2.375与2.4375的近似值都是2.4, ∴x1≈2.4
解：设f (x)=x2-2x-1，x1为其正的零点
对于在区间[a,b]上连续不断，且f(a) ·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点(或对应方程的根)近似解的方法叫做二分法．
问题4：二分法实质是什么？
用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取中点”的方法，运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间。
问题3．如何描述二分法？
例题：利用计算器，求方程2x=4-x的近似解 （精确到0.1）
怎样找到它的解所在的区间呢？
在同一坐标系内画函数 y=2x
与y=4-x的图象（如图）
能否不画图确定根所在的区间？
方程有一个解x0∈(0, 4)
如果画得很准确，可得x0∈(1, 2)
数学运用(应用数学)
解：设函数 f (x)=2x+x-4
则f (x)在R上是增函数∵f (0)= -3<0, f (2)=2>0
∴ f (x)在(0,2)内有惟一零点，
∴方程2x+x-4 =0在(0, 2)内有惟一解x0.
由f (1)= -1<0, f (2)=2>0 得：x0∈(1,2)
由f (1.5)= 0.33>0, f (1)=-1<0 得：x0∈(1,1.5)
由f (1.25)= -0.37<0, f (1.5)>0 得：x0∈(1.25,1.5)
由f (1.375)= -0.031<0, f (1.5)>0 得：x0∈(1.375,1.5)
由 f (1.4375)= 0.146>0, f (1.375)<0 得：
x0∈(1.375,1.4375)
∵ 1.375与1.4375的近似值都是1.4, ∴x0≈1.4
问题5：能否给出二分法求解方程f(x)=0(或
g(x)=h(x))近似解的基本步骤？
1．利用y＝f(x)的图象，或函数赋值法(即验证f (a) f(b)＜0 )，判断近似解所在的区间(a, b).
；
2．“二分”解所在的区间，即取区间(a, b)的中点
3．计算f (x1)：
(1)若f (x1)＝0，则x0＝x1；
(2)若f (a) f(x1)＜0，则令b＝x1 (此时x0∈(a, x1));
(3)若f (a) f(x1)＜0，则令a＝x1 (此时x0∈(x1,b)).
；
4．判断两个区间端点按照给定的精确度所取得近似值是否相同.相同时这个近似值就是所求的近似零点
练习1：
求方程x3+3x-1=0的一个近似解(精确到 0.01)
画y=x3+3x-1的图象比较困难，
变形为x3=1-3x，画两个函数的图象如何？
x
y
1
0
y=1-3x
y=x3
1
有惟一解x0∈(0,1)
练习2:
下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求其零点的是 （ ）
C
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
问题5:根据练习2，请思考利用二分法求函数
零点的条件是什么？
1. 函数y=f (x)在[a,b]上连续不断．
2. y=f (x)满足 f (a) ·f (b)<0，则在(a,b)内必有零点.
思考题
从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查几个接点？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
回顾反思(理解数学)
课堂小结
1.理解二分法是一种求方程近似解的常用方法．
2.能借助计算机(器)用二分法求方程的近似解，体会程序化的思想即算法思想．
3.进一步认识数学来源于生活，又应用于生活．
4.感悟重要的数学思想：等价转化、函数与方程、数形结合、分类讨论以及无限逼近的思想.
作业：
P74 A组1，2，
习题2-4 A组 7
练习 B组1，2(共20张PPT)
2．4．1 函数的零点
请你先想一个问题。
已知二次函数y=x2－x－6，试问x取哪些值时，y=0
求使y=0的x值，也就是求二次方程x2－x－6=0的所有根 .
解此方程得x1=－2，x2=3。
这就是说，当x=－2或x=3时，这个函数的函数值y=0。
画出这个函数的
简图，从图象上可以
看出，它与x轴相交于
两点(－2，0)、(3，0)。
这两点把x轴分成三个区间
(－∞，－2)、(－2，3)、(3，+∞)。
当x∈(－∞，－2)时，y>0；
当x∈(－2，3)时，y<0；当x∈(3，+∞)时，y>0.
二次方程x2－x－6=0的根－2，3常称作函数y=x2－x－6的零点。在坐标系中表示图象与x轴的公共点是(－2，0)、(3，0)。
零点的定义：
一般地，如果函数y=f(x)在实数α处的值等于0，即f(α)=0，则α叫做这个函数的零点。在坐标系中表示图象与x轴的公共点是(α，0)。
我们知道，对于二次函数y=ax2+bx+c：
当△=b2－4ac>0时，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，这时说二次函数y= ax2+bx+c有两个零点；
当△=b2－4ac=0时，方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，这时说二次函数y= ax2+bx+c有一个二重的零点或说有二阶零点；
当△=b2－4ac<0时，方程ax2+bx+c=0没有实数根，这时说二次函数y= ax2+bx+c没有零点；
考虑函数是否有零点是研究函数性质和精确地画出函数图象的重要一步。
例如求出二次函数的零点及其图象的顶点坐标，就能确定二次函数的一些主要性质，并能粗略地画出函数的简图。
另外，我们还能从二次函数的图象看到二次函数零点的性质：
（1）当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号。如上例，函数y= x2－x－6的图象在零点－2的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点－2时，函数值由正变为负，再通过第二个零点3时，函数值又由负变正。
（2）两个零点把x轴分成三个区间：
(－∞，－2)、(－2，3)、(3，+∞)，
在每个区间上，所有函数值保持同号。
例1. 求函数y=x3－2x2－x+2的零点，并画出它的图象。
解：因为x3－2x2－x+2=x2(x－2)－(x－2)
=(x－2)(x+1)(x－1).
所以函数的零点为－1，1，2.
3个零点把x轴分成4个区间：(－∞，－1)、(－1，1)、(1，2)、(2，+∞)。
在这四个区间内，取x的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表：
x … －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 …
y … －4.38 0 1.88 2 1.13 0 －0.63 0 2.63 …
在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示。
例2．求函数f(x)=x3－x的零点，并画出它的图象。
解：x3－x=x(x+1)(x－1)，令f(x)=0，即x(x+1)(x－1)=0，
解得x1=0，x2=－1，x3=1，所以函数y=f(x)的零点有三个，为－1，0，1，
这三个点把x轴分成四个区间， (－∞，－1)、(－1，0)、(0，1)、(1，+∞)，在这四个区间中取一些x的值，列出函数的对应值表：
x … －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 …
y … －1.875 0 0.375 0 －0.375 0 1.875 …
在直角坐标系中描点作图得到图象。
f(x)=x3－x
例3．若方程7x2－(k+13)x+k2－k－2=0的两实根分别在区间(0，1)，(1，2)内，则（ ）
（A） （B）k<3或k>4
（C）－1（D）－2解：函数f(x)=7x2－(k+13)x+k2－k－2的图象是开口向上的抛物线，两个零点分别在(0，1)，(1，2)内，所以由图象可知，函数y=f(x)满足
，即 ，
解得，
所以－2例4．已知m∈R，函数f(x)=m(x2－1)+x－a恒有零点，求实数a的取值范围。
解：（1）当m=0时，f(x)=x－a=0解得x=a恒有解，此时a∈R；
（2）当m≠0时，∵ f(x)=0，即mx2+x－m－a=0恒有解，
∴ △1=1+4m2+4am≥0恒成立，
令g(m)=4m2+4am+1，
∵g(m)≥0恒成立，
∴ △2=16a2－16≤0，解得－1≤a≤1。
综上所述知，当m=0时，a∈R；
m≠0时，－1≤a≤1。
例5．方程x2+(m－2)x+5－m=0的两根都大于2，求实数a的取值范围。
解：令f(x)= x2+(m－2)x+5－m，要使f(x)=0的两根都大于2，则应满足
解得
所以
即－5
