(共18张PPT)
函数的应用
知识回顾
1、形如f（x）= 叫一次函数，当 为增函数；当 为减函数。
2、二次函数的解析式三种常见形式为：
； ； 。
3、f（x）=ax2+bx+c（a≠0），当a 0,其图象开口向 ，函数有最 值,为 ；
当a 0, 其图象开口向 ，函数有最 值,为 。（当给定一区间的二次函数的最值问题怎样考虑？）
4、 f（x）=ax2+bx+c（a ≠ 0）当a>0时,增区间为 ；减区间为 ．
kx+b
K>0时
K<0时
f(x)=ax2+bx+c
f(x)=a(x-h)2+k
f(x)=a(x-x1)(x-x2)
>
<
上
下
大
小
课前热身
1、某产品的总成本y（万元）与产量ｘ（台）之间的函数关系是ｙ＝3000＋20x－0.1x2（0＜x＜240，x∈N），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（ ）
Ａ．100台 Ｂ．120台 Ｃ．150台 Ｄ．180台
2、某种笔记本每个5元，买x（x∈{1，2，3，4}）个笔记本的钱数记为y（元），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像。
解：这个函数的定义域为{1，2，3，4}，函数的解析式为y=5x（ x∈{1，2，3，4} ），它的图像由4个孤立点组成，如图所示，这些点的坐标分别是（1，5），（2，10），（3，15），（4，20）。
x/个
1
3
4
5
2
y/元
0
5
10
15
20
Ｃ
导入新课
大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？
导入新课
孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”. 这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35＝12；鸡数就是：35－12＝23.
学习目标：
1、初步掌握一次和二次函数模型的应用，会解决较简单的实际应用问题，初步掌握数学建模的一般步骤和方法．
2、通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性，初步树立函数的观点；
3、了解数学知识来源于生活，又服务与实际。
合作交流
例1、探索：
1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围怎样；
2）变式思考：试写出火车匀速行驶的路程y与火车行驶的时间x之间的函数关系
3）所涉及的变量的关系如何？
4）写出本例的解答过程.
路程s，和时间t；0≤S≤277，0≤t≤
y=120x
S=13+120t
例1解答
练习：
一个水池每小时注入水量是全池的 ，水池还没注水部分的总量ｙ随时间ｔ变化的关系式是 ．
y=1- t
（0≤t≤10）
1）本例涉及到哪些数量关系？
2）应如何选取变量，其取值范围又如何？
3）应当选取何种函数模型来描述变量的关系？
4）“总收入最高”的数学含义如何理解？
建立恰当的函数模型，进行解答，然后交流、进行评析.
例2、
二次函数
函数取得最大值
提高了x个2元，0租金提高的钱数与客房减少数，租金与租出客房数等
例2解答
设客房日租金每间提高x个2元，则每天客房出租数为300－10x，由x＞0，且300－10x＞0
得：0＜x＜30
设客房租金总收入y元，则有：
y=（20+2）(300－10)
=－20(x－10)2 ＋ 8000（0＜x＜30）
由二次函数性质可知当x=10时，ymax=8000.
所以当每间客房日租金提高到20＋10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元.
绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料。根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月销售400瓶，若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶。在每月 的进货量当月销售完的前提下，请你给该 商店设计一个方案：销售价格定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大利润？
练习：
解：设降低了x元，利润为y则：
y=（1-x）×（400+800x）
=-800（x- ）2+450
当x=0.25时，即定价为3.75元，y有最大值450
例3
某公司生产一种电子仪器，每月的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元．已知总收益满足函数：
，其中x是仪器的月产量．
（1）将利润表示为月产量的函数；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）
练习
答案：
归纳梳理：
1）审题：设出未知数，找出量与量的关系；
2）建模：建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数模型问题；
3）求解：运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答；
4）反馈：将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解；
请每位同学整理、补充、反思、修改刚才的学习内容，用简练的的语言对本节课所学内容进行总结，小组内交流完善：
归纳一般的应用题的求解方法步骤：
解答数学应用题的关键有两点：
一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；
二是要合理选取参变数，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型；最终求解数学模型使实际问题获解.一般的解题程序是：
读题 建模 求解 反馈
(文字语言) (数学语言) (数学应用) (检验作答)
祝同学们：
学习进步！(共14张PPT)
要点·疑点·考点
课 前 热 身
能力·思维·方法
延伸·拓展
误 解 分 析
函数的应用
要点·疑点·考点
1.函数思想
就是要用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识.用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察处理问题.
2.方程思想
就是在解决数学问题时，先设定一些未知数，然后把它们当成已知数，根据题设各量之间的制约关系，列出方程，求得未知数；或如果变量间的数量关系是用解析式的形式(函数形式)表示出来的，那么可把解析式看作是一个方程，通过解方程或对方程的研究，使问题得到解决，这便是方程的思想.方程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程知识或方程观点观察处理问题.
函数思想与方程思想是密切相关的.如函数问题(例如：求反函数；求函数的值域等)可以转化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决.如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点；解不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)，就是求函数y＝f(x)的正负区间.
3.解答数学应用题的关键有两点：
一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；
二是要合理选取参变数，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型；最终求解数学模型使实际问题获解.一般的解题程序是：
读题 建模 求解 反馈
(文字语言) (数学语言) (数学应用) (检验作答)
与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.解答这类问题的关键是确切建立相关函数解析式，然后应用函数、方程和不等式的有关知识加以综合解答.
常见的函数模型有一次函数，二次函数，y＝ax+bx型，指数函数模型等等.
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课 前 热 身
2500m2
C
1.有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的
矩形最大面积为_______ (围墙厚度不计).
2.偶函数f(x)在(-∞,0)内是减函数，若f(-1)＜f(lgx)，则实数x
的取值范围是_________________________.
3.在区间 上函数f(x)＝x2+px+q与g(x)＝x2-2x在同一
点取得最小值，f(x)min＝3，那么f(x)在区间 上最大
值是( ) (A)54 (B)134 (C)4 (D)8
4。log(2/a) x1＝logax2＝log(a+1)x3＞0(0＜a＜1)，则x1，x2，x3的大小关系是( )
(A)x3＜x2＜x1 (B)x2＜x1＜x3
(C)x2＜x3＜x1 (D)x1＜x3＜x2
5.某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了
再走余
下的路
程，下
图中，
纵轴表
示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该学生的走法的是( )
C
D
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能力·思维·方法
【解题回顾】看似繁杂的文字题，其背景不过是两个一次函数，当然因x∈N*，故实际上是两个等差数列.
1.一家庭(父亲、母亲、孩子)去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策，甲旅行社承诺：如果父亲买一张全票，则其家庭成员(母亲与孩子，不论孩子多少与大)均可享受半价；乙旅行社承诺：家庭旅行算团体票，按原价的23计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同(至少一个)，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪一家旅行社更优惠
2.已知函数
(1)当a＝1/2时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，+∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围.
【解题回顾】本题可借助于导数 来判断函数的最小值或单调性.
3.设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ(λ＜1) ，画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白.怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小
【解题回顾】应用基本不等式求函数最值时，一定要注意 等式成立的充要条件.另外本题也可借用导数 来求最值.
问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高 最高产值是多少 (以千元为单位)
4.某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台.已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表：
家电名称 空调器 彩电 冰箱
工时 1/2 1/3 1/4
产值(千元) 4 3 2
【解题回顾】解答本题的思路是：列出关于x、y、z的两个等式(①和②)，将y和z用x表示后代入s，使s成为x的一次函数s=-x+1080，讨论s在x≥30条件下的最大值.
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延伸·拓展
【解题回顾】本题(2)的证明采用分析法，而分析法的本质是寻结论的充分条件，但未必是充要条件.
5.已知函数 的反函数为f -1(x)
(1)求f -1(x)的解析式及定义域；
(2)设 ，当 时，求证：
对任何正整数n，均有
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误解分析
2.在引入自变量建立目标函数解决实际问题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验结果，看是否符合实际问题要求.
1.用基本不等式求最值时，必须是可以取等号.
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例2 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金.如果每间房间日房租每增加2元，客房出租数就减少10间.若不考虑其他因素，旅游公司将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？
分析：由题设可知，每天客房走哦你干的租金是增加2元的倍数的函数，设提高为x个2元，总租金为y
解：方法一：列表如下
x y
0 300×20=6000
1 （300-10×1）×（20+2×1）=6380
2 （300-10×2）×（20+2×2）=6720
3 （300-10×3）×（20+2×3）=7002
4 （300-10×4）×（20+2×4）=7280
x y
5 （300-10×5）×（20+2×5）=7500
6 （300-10×6）×（20+2×6）=7680
7 （300-10×7）×（20+2×7）=7820
8 （300-10×8）×（20+2×8）=7920
9 （300-10×9）×（20+2×9）=7980
10 （300-10×10）×（20+2×10）=8000
11 （300-10×11）×（20+2×11）=7980
12 （300-10×12）×（20+2×12）=7920
13 （300-10×13）×（20+2×13）=7820
… ……
由上表可得，当x=10，即每天租金为40元时，能出租客房200间，此时每天总租金最高，为8000元.
例3 某单位计划用围墙围出一块矩形场地，现有材料可筑墙的总长度为L，如果要使围墙围出的面积最高，问矩形的长宽各等于多少？
（2）请你设计礼品价值，以使商场获得最大利润．
练习1：一商场批发某种商品的进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促进销售，拟采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法，试验表明，礼品价格为1元时，销售量可增加10%，且在一定范围内礼品价格每增加1元销售量就可增加10%．设未赠送礼品时的销售量为 a 件．
（1）写出礼品价值为 元时，所获利润 (元)关于 的函数关系式;
例4 建立数学模型的例子
我国1999-2002年国内生产总值（单位：万亿元）如下表所示：
年份 1999 2000 2001 2003
X 0 1 2 3
生产总值 8.2067 8.9442 9.5933 10.2398
（1）画出图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
（2）利用得出的关系式求生产总值，与表中生产总值比较；
（3）利用关系式估计2003年我国的国内生产总值.
解：（1）画出图形，图中点近似点近似落在一条直线上，可选择线性函数建立数学模型.
估计数据和实际数据差别较大.说明数学模型是否符合实际情况，还要经过时间验证，如果与实际误差较大，就要修正得到的数学模型.
x
x
a－2x
练习2、有一块边长为 a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为 x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积 V 以 x 为自变量的函数式，并讨论这个函数的定义域。
练习2、绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种
饮料。根据以前的统计数据，若零售价
定为每瓶4元，每月销售400瓶，若每瓶售
价每降低0.05元，则可多销售40瓶。在每
月 的进货量当月销售完的前提下，请你给
该 商店设计一个方案：销售价格定为多少
元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大
利 润？
解函数应用题的方法和步骤：1。审题： （1）：设出未知 （2）：找出量与量的关系 2。建摸：建立函数关系式 3。求解：用数学方法解出未知 4。回归实际：检验所求结果是否符合实际并作答
作业：
P68 习题2-3 3,5,6
练习：P68习题A，B
