(共13张PPT)
二次函数y=ax2的图象和性质
x
y
一. 平面直角坐标系:
1. 有关概念:
x(横轴)
y(纵轴)
o
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
P
a
b
(a,b)
2. 平面内点的坐标:
3. 坐标平面内的点与有序
实数对是:
一一对应.
坐标平面内的任意一点M,都有唯一一对有序实数(x,y)与它对应;
任意一对有序实数(x,y),在坐标平面内都有唯一的点M与它对应.
4. 点的位置及其坐标特征:
①.各象限内的点:
②.各坐标轴上的点:
③.各象限角平分线上的点:
④.对称于坐标轴的两点:
⑤.对称于原点的两点:
x
y
o
(+,+)
(-,+)
(-,-)
(+,-)
P(a,0)
Q(0,b)
P(a,a)
Q(b,-b)
M(a,b)
N(a,-b)
A(x,y)
B(-x,y)
C(m,n)
D(-m,-n)
x
y=x2
y= - x2
...
...
...
...
...
...
0
-2
-1.5
-1
-0.5
1
1.5
0.5
2
函数图象画法
列表
描点
连线
0
0.25
1
2.25
4
0.25
1
2.25
4
描点法
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
0
-0.25
-1
-2.25
-4
-0.25
-1
-2.25
-4
注意：列表时自变量
取值要均匀和对称。
画出下列函数的图象。
x
y=2x2
...
...
...
...
0
-2
-1.5
-1
-0.5
1
1.5
0.5
2
x
y=x2
...
...
...
...
0
-4
-3
-2
-1
2
3
1
4
0
0.5
2
4.5
8
0.5
2
4.5
8
列表参考
0
0.5
2
4.5
8
0.5
2
4.5
8
x
y=2x2
...
...
...
...
0
-3
-1.5
-1
1.5
1
-2
2
3
0
1.5
-6
1.5
-6
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时
所经过的路线，我们把它叫做抛物线。
这条抛物线关于y轴
对称，y轴就是它的
对称轴。
这条抛物线关于y轴
对称，y轴就是它的
对称轴。
这条抛物线关于y轴
对称，y轴就是它的
对称轴。
对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点。
对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点。
对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点。
1、观察右图，
并完成填空。
抛物线
y=x2
y=-x2
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
极值
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方（除顶点外）
在x轴的下方（除顶点外）
向上
向下
当x=0时，最小值为0。
当x=0时，最大值为0。
二次函数y=ax2的性质
１、顶点坐标与对称轴
２、位置与开口方向
３、增减性与极值
2、练习2
3、想一想
在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线
y= -x2的位置有什么关系？ 如果在同一坐标系内
画函数y=ax2与y= -ax2的图象，怎样画才简便？
4、练习4
动画演示
在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线
y= -x2的位置有什么关系？ 如果在同一坐标系内
画函数y=ax2与y= -ax2的图象，怎样画才简便？
答：抛物线抛物线y=x2与抛物线 y= -x2 既关于x轴对称，又关于原点对称。只要画出y=ax2与y= -ax2中的一条抛物线，另一条可利用关于x轴对称或关于原点 对称来画。
当a>0时，在对称轴的
左侧，y随着x的增大而
减小。
当a>0时，在对称轴的
右侧，y随着x的增大而
增大。
当a<0时，在对称轴的
左侧，y随着x的增大而
增大。
当a<0时，在对称轴的
右侧，y随着x的增大而
减小。
当x=-2时，y=4
当x=-1时，y=1
当x=1时，y=1
当x=2时，y=4
当x=-2时，y=-4
当x=-1时，y=-1
当x=1时，y=-1
当x=2时，y=-4
1、抛物线y=ax2的顶点是原点，对称轴是y轴。
2、当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且
向上无限伸展；
当a<0时，抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外），它的开口向下，并且
向下无限伸展。
3、当a>0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；
在对称轴右侧，y随着x的增大而增大。当x=0时函数y的值最小。
当a<0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；
在对称轴的右侧，y随着x增大而减小，当x=0时，函数y的值最大。
二次函数y=ax2的性质
2、根据左边已画好的函数图象填空：
（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,
对称轴是 ，在 侧，
y随着x的增大而增大；在 侧，
y随着x的增大而减小，当x= 时，
函数y的值最小，最小值是 ,抛物
线y=2x2在x轴的 方（除顶点外）。
（2）抛物线 在x轴的 方（除顶点外），在对称轴的
左侧，y随着x的 ；在对称轴的右侧，y随着x的
，当x=0时，函数y的值最大，最大值是 ，
当x 0时，y<0.
（0，0）
y轴
对称轴的右
对称轴的左
0
0
上
下
增大而增大
增大而减小
0
1、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得
-8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为
y= -2x2.
（2）因为 ，所以点B（-1 ，-4）
不在此抛物线上。
（3）由-6=-2x2 ,得x2=3,
所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是
y=-2x2(共22张PPT)
2.2.3 待定系数法
在解应用问题时，我们常用一个字母，如x，y，z，……来表示未知数，然后根据问题的条件列方程求解. 在解决某些问题中，有时要根据条件确定一个未知函数.
例如已知一个正比例函数的图象通过点(－3，4)，求这个函数的解析式.
为此，我们可设所求的正比例函数为y=kx，其中k待定，
根据已知条件，将点(－3， 4)代入可得
k=－ .
所以所求的正比例函数是y=－ x.
一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数. 这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法。
两个一元多项式是分别整理成标准式之后，当且仅当它们对应同类项的系数相等，则称这两个多项是相等，如:
=
'
c
c
=
'
b
b
=
'
a
a
í
ì
+
+
=
+
+
'
'
'
2
2
c
x
b
x
a
c
bx
ax
（3） 两根式：
二次函数解析式形式有三种：
( 2 ) 顶点式：
（1）一般式：
例1. 已知一个二次函数f(x)，f(0)=－5，f(－1)=－4，f(2)=5，求这个函数.
解：设所求函数为f(x)=ax2+bx+c，其中a，b，c待定，
根据已知条件得方程组
解方程组得a=2，b=1，c=－5.
因此，所求函数为f(x)=2x2+x－5.
例2. 已知f(x)是一次函数，且有2f(2) －3f(1)=5，2f(0) －f(－1)=1，求这个函数的解析式.
解：设所求的一次函数是f(x)=kx+b，其中k，b待定.
根据已知条件得方程组
即
解得k=3，b=－2.
因此所求的函数是y=3x－2.
总结：
待定系数法解题的基本步骤是什么？
第一步：设出含有待定系数的解析式；
第二步：根据恒等的条件，列出含待定系数的方程或方程组；
第三步：解方程或方程组，从而使问题得到解决。
例3. 已知函数f(x)是一次函数，且有
f[f(x)]=9x+8，求此一次函数的解析式。
解： 设该一次函数是y=ax+b,由题意得
f[f(x)]=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=9x+8.
所以有
解得
所以一次函数为f(x)=3x+2或f(x)=－3x－4.
例4. 已知函数f(x)=x2－4ax+2a+6，若函数的值域是[0, +∞)，求函数的解析式。
解：因为函数的值域是[0, +∞)，所以
△=16a2－4(2a+6)=0，
解得a=－1或a= .
所以f(x)=x2+4x+4或f(x)=x2－6x+9.
例5. 已知二次函数的图象通过A(2, －3)，B(－2, －7)，C(4, －7)三点，求该二次函数的解析式。
解法1：同例题1，设所求函数为f(x)=ax2+bx+c，列三元方程组求出a=－ ，b=1，c=－3，
所以二次函数为f(x)=－ x2+x－3.
评价：通过利用给定的条件列出a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值，从而确定函数的解析式．过程较繁杂.
解法2：因为二次函数的图象通过B(－2, －7)，C(4, －7)两点，所以函数关于直线x=1对称。
设二次函数为f(x)=a(x－1)2+k，将A(2, －3)和B(－2，－7)坐标代入得方程组
解得
所以二次函数是f(x)= － (x－1)2－
即二次函数为f(x)=－ x2+x－3.
评价：通过利用条件中的顶点和过某一点选用顶点式求解，减少参数的求解，方法比较灵活 。
例6. 二次函数的图象与x轴交于A(－2, 0),
B(3, 0)两点，与y轴交于点C(0, －3)，求此二次函数的解析式。
解： 因为二次函数的图象与x轴交于A(－2, 0), B(3, 0)两点，所以可设二次函数为
f(x)=a(x+2)(x－3)，
将C点坐标(0，－3)代入得
－6a=－3，解得a= .
所以二次函数是f(x)= (x+2)(x－3).
即f(x)= x2－ x－3.
总结
请同学们总结！
你学到那些二次函数解析式方法？
已知图象上三点或三对的对应值，通常选择一般式。
已知图象的顶点坐标（对称轴和最值）通常选择顶点式。
已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，通常选择交点式。
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，
恰当地选用一种函数表达式。
y
x
o(共11张PPT)
1、什么是一次函数？
2、一次函数的图像是什么形状 有 什么性质？
O
Q
P
x
y
(2)当k>0时，一次函数是增函数；当k<0时，一次函数是减函数；
(3)当b=0时，一次函数为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数，也不是偶函数；
（1）你能说出一次函数y=3x-4的图象是什么形状吗？它与直线y=3x有什么关系？
（2）那么一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=kx图象有什么关系？
一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到。
（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
你会画出函数y=2x-1与 y=x+1 的图象吗？
y
x
o
2
1
∴ y=2x -1的图象是经过点(0，-1)和点(1，1)的直线； y=x+1 是经过点(0， 1 ) 点(1， 2)的直线。
·
·
·
·
y=2x-1
y=x+1
注意：图象与y轴交于(0，b)，b就是与y轴交点的纵坐标，正在原点上、负在原点下。
x 0 1
y=2x-1
y=x+1
-1
1
1
2
y
x
o
2
1
·
·
·
·
y=2x-1
y=-2x+l
同样，我们可以画出函数 y=-2x+l, y=-x-1的图象
y=x+1
y=-x-1
议一议：一次函数解析式y=kx+b(k, b是常数，k≠0)中，k、b的正负对函数图象有什么影响？
结论：和一次函数的性质相结合
（4）对于函数y=5x+6,y的值随x的值减小而______。
（5）函数y=2x－1经过 象限
减少
一、三、四
（6）函数y=2x - 4与y轴的交点为 （ ），与x轴交于（ ）
0，-4
2， 0
3、数形结合的思想与方法，从特 殊到一般的思想与方法
4、进一步体验研究函数的一般思 路与方法
1、会画一次函数的图象
2、一次函数的图象与性质，常数k，
b的意义和作用
作业 P56练习A2，3，5
练习：P56练习B(共18张PPT)
用待定系数法
求二次函数关系式
y
X
O
训练场
已知一次函数y=kx+b，当 x=4时,y的值为9；当 x=2时,y的值为－3；求这个函数的关系式。解:
依题意得:
4k+b=9
2k+b=－3
解得
k=6
b=－15
∴y=6x-15
教师点评
一般地，函数关系式中有几个系数，那么就需要有几个等式才能求出函数关系式．
① 一次函数关系:
② 反比例函数关系:
y=kx (k≠0正比例函数关系)
y=kx+b (其中k≠0)
引出新课
如果要确定二次函数的关系式，又需要几个条件呢？
二次函数关系:
y=ax2 (a≠0)
y=ax2+k (a≠0)
y=a(x-h)2+k (a≠0)
y=ax 2+bx+c (a≠0)
y=a(x-h)2 (a≠0)
顶点式
一般式
用待定系数法求二次函数关系式
例7：已知二次函数的图象经过点（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式。
解：
设函数关系式为：y=ax2+bx+c,则有
∴y=1.5x2-1.5x+1
解得:
试下再说
已知抛物线过三点（0，-2）、（1，0）、（2，3），试求它的关系式。
解：
设函数关系式为：y=ax2+bx+c,则有
∴y=0.5x2+1.5x-2
解得:
方法交流
和同伴交流一下做题的方法和做题的体会,互相帮助,互相学习,共同进步!
再试一下
如图,求抛物线的函数关系式.
y
x
o
1
3
3
解:设函数关系式为：y=ax2+bx+c
由图知,抛物线经过点(0,3),(1,0),(3,0),所以
∴此抛物线的函数关系式为:y=x2-4x+3
解得:
用待定系数法求二次函数关系式
例6：已知一个二次函数的图象经过点（0，1），它的顶点坐标和（8，9）， 求这个二次函数的关系式。
解：
∵顶点坐标是(8,9)
∴可设函数关系式为：y=a(x-8)2+9
又∵ 函数图象经过点(0,1)
∴a× (0-8)2+9=1 解得a=
∴函数关系式为:y= (x-8)2+9
先试一下
已知抛物线的顶点为（-1，-2），且过（1，10），试求它的关系式。
解：
∵顶点坐标是(-1,-2)
∴可设函数关系式为：y=a(x+1)2-2
又∵ 函数图象经过点(1,10)
∴a× (1+1)2-2=10 解得a=3
∴函数关系式为:y=3 (x+1)2-2
方法交流
又学了一种方法,大家交流下先!
再试一下
抛物线的图象经过（0，0)与（0，12）两点，其顶点的纵坐标是3，求它的函数关系式。
y
3
o
12
x
分析：顶点的坐标是（6，3）
方法1：
方法2：
可设函数关系式为：y=a(x-6)2+3
设函数关系式为：y=ax2+bx+c
不知不觉又学两种方法,整理下先.
考察如下两种形式：
（1）给出三点坐标:
（2）给出两点，且其中一点为顶点:
一般式
顶点式
1．已知二次函数 的图象经过点 （0，1），（2，-1）两点。【2003中考第16题7分】
（1）求b与c的值。
解：依题意得:
c=1
4+2b+c=－1
解得
b=－3
c=1
∴b=-3,c=1.
1．已知二次函数 的图象经过点 （0，1），（2，-1）两点。【2003中考第16题7分】
（2）试判断点P（-1，2）是否在此函数图象 上。
解：由（1）可得
当x=-1时，
∴点P（-1，2）不在此函数图象上。
2．已知抛物线的对称轴是x=1 ，抛物线与 x 轴的两个交点的距离为4，并且经过 点(2,3)，求抛物线的函数关系式。
y
o
1
x
A
B
.
.
.C(2,3)
作业!
已知二次函数的图象经过三点：（-1，-1）、（0，-2）、（1，1）。
（1）求它的函数关系式。
（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标。
（3）这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？(共13张PPT)
其中的k为待定系数.如果是二次函数，则可设所求的函数为y=ax2+bx+c，其中a、b、c待定
一般地，再求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法
例1 ：已知一个二次函数f（x）， f（0）=-5， f（-1）=-4， f（2）=5，求这个函数.
解:设所求二次函数为y=ax2+bx+c.
其中a，b，c待定.
例2 ：已知一个一次函数y=f（x），2 f（2）-3f（1）=5，2 f（0）- f（-1）=1，求这个函数的解析式.
解:设所求二次函数为f（x）=kx+b.
其中k，b待定.
练习1
已知：二次函数的顶点（2，1），且图象经过点P（1，0）.
求：二次函数的解析式.
解:设所求二次函数为y=a(x-x1)(x-x2). 由已知，函数图象交于x轴于（1，0），（3，0），且经过（2，1），得：
解这个方程，得a= -1.
因此，所求二次函数是y= -(x-1)(x-3).
练习2
交点式：
y=a(x-x1)(x-x2)
已知二次函数的顶点为（1，-2），
图象与x轴的交点间的距离为4。
求：二次函数的解析式。
o
x
y
顶点式：
y=a(x-h)2+k
一般式： y=ax2+bx+c
x1
x2
解:如图设抛物线交于x轴的横坐标分别为x1，x2.设所求二次函数为y=a(x-h)2+k.由已知，函数图象顶点为（1，-2），x2,x1间的距离为4.
得：
因此，所求二次函数是
代数法较繁
练习3
一般式： y=ax2+bx+c
交点式：
y=a(x-x1)(x-x2)
顶点式：
y=a(x-h)2+k
已知二次函数抛物线的对称轴为：
直线x=-2，顶点到x轴的距离为3，且经过
原点。求：二次函数的解析式。
数形结合 ——基础
敏锐观察 ——前提
设抛物线为y=a(x-h)2＋k
由题意可知:抛物线的顶点为(20,16),
且经过点(0，0).
利用条件中的顶点和过原点选用顶点式求解，方法比较灵活.
∴ 所求抛物线解析式为
课堂例选
例3、掘港正大公司北侧，有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度40m．现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式．
解：
评价
设抛物线为y=a(x-x1)(x-x2）
由题意可知:抛物线交x轴于点(0,0),
(40,0),且经过点(20，16).
选用交点式求解，方法灵活巧妙，过程也较简捷
课堂例选
例3、掘港正大公司北侧，有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度40m．现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式．
解：
评价
课堂例选
例3、掘港正大公司北侧，有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度40m．现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式．
数形结合 ——基础
敏锐观察 ——前提
细心运算 ——关键
条理书写 ——任务
课堂小结
待定系数法的解题思路
设函数的一般形式
布列方程，解得系数
得到函数关系式
求解二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，选用恰当的一种函数解析式。
作业：P62 练习A ：3，4，5
P63：习题A 6，10
练习：P62练习
P63 习题A，B(共22张PPT)
2.2.2二次函数的图象和性质
学习二次函数，首先要掌握它的定义、图象和性质，要会在各种条件下，应用待定系数法确定二次函数的解析式，要灵活应用二次函数的图象和性质分析问题和解决问题。深刻领会数形结合、函数方程等重要数学思想方法，对拓宽学生解题思路、发展智力、培养能力，具有十分重要意义。
函数y=ax2+bx+c (a≠0) 叫做二次函数，它的定义域是R.
特别地，当b=c=0时，则二次函数变为y=ax2(a≠0). 它的图象是顶点为原点的抛物线，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下. 这个函数为偶函数，y轴为图象的对称轴。
对于任意一个特殊的二次函数y=ax2，当x的绝对值无限地逐渐变小时，函数值的绝对值也随着无限地变得越来越小，其图象就从x轴的上方（或下方）无限地逼近x轴。
在同一坐标系中，对于函数y=ax2图像的开口程度是怎样变化的？
y=ax^2.gsp
当a的绝对值逐渐变大时，抛物线的开口逐渐变小.
例1.研究函数 的图像与性质.
解：（1）配方得
所以函数y=f(x)的图像可以看作是由y= x2 经一系列变换得到的，具体地说：先将y= x2 的图像向左移动4个单位，再向下移动2个单位得到.
y=c(x+4)^2-2.gsp
（2）函数与x轴的交点是：
函数与y轴的交点：
函数的对称轴是x=－4，事实上如果一个函数f(x)满足： f(h+x) = f(h－x)，那么函数f(x)关于x=h对称.
(－6，0)和( －2，0)
（0，6）
（3）函数图像的对称性质：
（4） 函数f(x)在(－∞, －4]上是减函数，
在[－4, + ∞)上是增函数.
（5）函数f(x)在x=－4时，取得最小值－2，
记为ymin=－2. 它的图象顶点为(－4，－2)
例2. 试述二次函数f(x)=－x2－4x+3的性质，并作出它的图象。
（1）配方得f(x)=－(x+2)2+7.
由－(x+2)2≤0得，该函数对任意实数x都有f(x) ≤7，当且仅当x=－2时取等号，即f(－2)=7。这说明函数f(x)在x=－2时取得最大值7，记为ymax=7，所以函数图象的顶点时(－2，7).
(2) 求函数图象与x轴的交点.
令－x2－4x+3=0，解得x1=－2+ ，
x2=－2－ ，说明函数的图象与x轴的交点坐标是(－2+ , 0)，(－2－ , 0).
(3) 画函数f(x)=－x2－4x+3的图象.
因为f(x)=－(x+2)2+7.
所以它的图象是由y=－x2的图象向左平移2个单位后，再向上平移7个单位得到.
y-(x+a)^2+b.gsp
(4) 函数f(x)=－(x+2)2+7关于直线x=－2成轴对称图形，
在区间(－∞，－2]上是增函数，在区间[－2，+∞)上是减函数.
二次函数的性质：
一般地，对于二次函数f(x)=ax2+bx+c，都可以通过配方化为
其中
（1）函数的图象是一条抛物线，抛物线的顶点坐标是(h，k)，抛物线的对称轴是直线x=h；
（2）当a>0时，抛物线开口向上，在x=h处取最小值ymin=k=f(h)；在区间(－∞, h]上是减函数，在[h, +∞)上是增函数.
（3）当a<0时，抛物线开口向下，在x=h处取最大值ymax=k=f(h)；在区间(－∞, h]上是增函数，在[h, +∞)上是减函数.
例3. 求函数y=3x2+2x+1的值域和它的图象的对称轴，并说出它在哪个区间上是增函数？在哪个区间上是减函数？
解：因为函数y=3x2+2x+1=3(x+ )2+ ,
所以ymin=f( )= .函数的值域是[ ,+∞).
函数的对称轴是x=－
它在区间(－∞, － ]上是减函数，在区间[－ ,+∞)上是增函数。
例4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，试判断下列各式的正负号.
ab，ac，a+b+c，a－b+c，2a+b，2a－b.
解：a<0，b>0，c<0，
所以ab<0，ac>0，
f(1)>0，所以a+b+c>0，
f(－1)>0，所以a－b+c<0，
<1，a<0，所以－b>2a，2a+b<0;
2a－b<0.
例5. 已知抛物线y=
的对称轴是x=2，
（1）求m的值，并判断抛物线开口方向；
（2）求函数的最值及单调区间。
解：（1）因为抛物线的对称轴是x=2，
所以 ，解得m=2，m－1>0，
抛物线的开口向上.
（2）原函数整理得y=x2－4x+3=(x－2)2－1.
所以当x=2时，ymin=－1.
单调增区间为[2, +∞)，
单调减区间为(－∞, 2].
例6. 已知函数f(x)=x2－4x+1，不计算函数值，比较f(－1)、f(1)、f(4)、f(5)的大小。
解： f(x)=x2－4x+1=(x－2)2－3，
对称轴是x=2，在区间[2, +∞)上是增函数.
f(－1)=f(2－3)=f(2+3)=f(5)，
f(1)=f(2－1)=f(2+1)=f(3)，
所以f(1)当堂检测：
1、函数 的对称轴和顶点坐标分别是（ ）
A. B. C. D.
2、f(x)=ax2+bx+c的顶点为(4,0)，且过点(0,2),则 abc=( )
A.-6 B.11 C. D.
3、二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),又 f(x)在(0,2)上是增函数，且f(a) ≥f(0),那么a的取值范围是（ ）
A.a ≥ 0 B.a≤0 C. 0≤ a ≤4 D.a ≤0或 a ≥4
4、函数y=ax2+bx+c(a<0)的最大值小于0，则b2-4ac是( )
A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数
5、若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是（ ）
A.a ≥ -3 B.a≤-3 C. a≤5 D. a ≥ 3
B
B
C
C
A
总结
1、图像
2、性质(共14张PPT)
定义
二次函数y=ax2的图象和性质
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时
所经过的路线，我们把它叫做抛物线。
这条抛物线关于y轴
对称，y轴就是它的
对称轴。
这条抛物线关于y轴
对称，y轴就是它的
对称轴。
这条抛物线关于y轴
对称，y轴就是它的
对称轴。
对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点。
对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点。
对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点。
（3）描点作图
（4）图像的对称性
（3）描点作图
（4）图像的对称性
注意“配方法”在二次函数解题中的应用
归纳
1、二次函数的问题，结合图像可以更直观形象。
2、将y=ax2+bx+c配方得a(x+ )2+ 之后，就可通过a, , 直接得函数的主要性质，并依此画出图像。
1.函数y =4 x2 -mx+5的对称轴为x=-2
则x=1时y=____
a –7 b 1 c 17 d 25
1. y =-x2 -6x+k图像顶点在x轴上，k= ___________
-9
D
练习
3. y=3x2-(2m+6)x+m+3的值域为 〔 0， + ∞ ），则m的范围是（ ）
A｛–3,0 ｝ B〔–3,0 〕 C (–3,0) D φ
1、菊花烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般期望它达到最高点（大约距地25到30米）爆炸，如果在距地18米处点火，且烟花冲出的速度是14.7米/秒。
（1）写出烟花距地高度与时间的关系式。
（2）烟花冲出后何时是它爆炸的最佳时刻？这时距地高度是多少？
拓展练习
1. 二次函数的图像
2.二次函数的性质及应用
小结
教材P60：B 1、2、3
作业
