(共22张PPT)
§2.1.2 函数的表示法
映射:设A,B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A,B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射. 记作 f: A B
函数：设集合A是一个非空的数集，对集合A中的任意数x ，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数。
记作：y=f(x),x∈A
联系：都是从A到B 的单值对应；
区别：构成函数的两个集合必须是非空数集，而构成 映射的两个集合可以是其它集合；
1. 下表列出的是正方形面积变化情况.
这份表格表示的是函数关系吗
边长x米 1 1.5 2 2.5 3
面积y米2 1 2.25 4 6.25 9
当x在(0,+∞)变化时呢
怎么表示
法1 列表法（略）
法2 y=x2 , x＞0
x
y
o
法3 图象法，如右图
列 表 法
图 象 法
函数的表示法
解 析 法
列表法
就是列出表格表示两个变量的函数关系
例如平方表，
平方根表，
三角函数表，
银行的利息表
下表也是表示函数关系.
我国国内生产总值(单位亿元)
年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
生产总值 18598.5 21662.5 26651.9 34560.5 46670.0 57494.9 66850.5 73142.7 76967.1 80422.8 89404.0
优点：不必通过计算就可以知道当自变量取某些值
时函数值
图象法
就是用函数图象表示两个变量的关系
如果F是函数y=f(x)的图象，则图象上任一点的坐标(x，y)都满足函数关系y=f(x)，反之，满足函数关系y=f(x)的点(x，y)都在图象F上。
解析式法：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.
优点：函数关系清楚，容易从自变量求出对应的函数值，便于用解析式研究函数的性质.
解析式法
y=3x+2，y=x2，y= ，y= ，
f(x)=ax2+bx+c 等等
解析法
y=5x，
注：用解析法必须注明函数的定义域。
列表法
笔记本数x 1 2 3 4 5
钱数y 5 10 15 20 25
三种表示方法的特点
解析法的特点：简明、全面地概括了变量间的关系；可以通过用解析式求出任意一个自变量所对应的函数值。
列表法的特点：不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。
图象法的特点：直观形象地表示出函数的变化情况 ，有利于通过图形研究函数的某些性质。
例2. 做函数 的图象.
x
y
0
做函数图象的步骤：
1. 列表，求出某些恰当自变量x的对应函数值；
2. 在直角坐标系中描出对应点；
3. 用光滑的曲线连接这些点。
例3. 设x是任意一个实数，y是不超过x的最大整数，试问x和y之间是否是函数关系？如果是，画出这个函数的图象。
解：对每一个实数x，都可以写成等式：x=y+a，其中y是整数，a是一个小于1的非负数，例如，6.48=6+0.48，6=6+0，－1.35=－2+0.65，
－12.52=－13+0.48，……，
这个“不超过x的最大整数”所确定的函数记为
y=[x].
例如，当x=6时，y=[6]=6；
当x=π时，y=[π]=3；
当x=－1.35时，y=[－1.35]=－2.
x
y
o
图像如右
例4. 画出函数y=|x|的图象.
例5. 已知函数y=f(n)，满足f(0)=1，且f(n)=nf(n－1)，n∈N+，求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5).
解：因为f(0)=1，所以
f(1)=1· f(1－1)=1· f(0)=1.
f(2)=2· f(2－1)=2· f(1)=2.
f(3)=3· f(3－1)=3· f(2)=6.
f(4)=4· f(4－1)=4· f(3)=24.
f(5)=5· f(5－1)=5· f(4)=120.
小结：
（1）理解函数的三种表示方法；
（2）在具体的实际问题中能够选用恰当的表
示法来 表示函数；(共11张PPT)
（一）函数的表示方法
1.从集合与对应的观点分析，函数的定义是什么？
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集A中的任意一个数x，在集B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A.
2.函数有哪几种常用的表示法？
在日常生活中，我们会遇到许多函数问题，如何选择适当的方式来表示问题中的函数关系呢？
（1）列表法：用表格表示两个变量之间的对应关系.
（2）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系；
（ 3）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；
列表法
通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法
五次人口普查的人口数据：
年份 1953 1964 1982 1990 2000
总人口数/亿 5.9 6.9 10.1 11.3 12.7
函数的定义域：{1953，1964，1982，1990，2000}
值域：{5.9，6.9，10.1，11.3，12.7}
图像法
下列图形是否是函数的图像？
解析法
分析：适当选取x值，描点作图
例2 设x是任意一个实数，y是不超过x的最大整数，试问x和y之间是否是函数关系？如果是，画出这个函数的图像
解： x和y之间是函数关系.
我们用y=[x]表示这个函数
y
O
x
-1
3
2
1
1
3
分析：函数值间的递推关系
例3中的函数定义用到的运算，通常叫做递归运算
（二）分段函数
函数的图像由两条线段组成，如图：
x
O
1
2
1
y
例5在某地投寄外埠平信，每封信不超过20克付邮资80分，超过20克 不超过40克付邮资160分，超过40克不超过60克付邮资240分，依次类推，每封x克 的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数的表达式，作出函数的图像，并求函数的值域
函数的值域为{80,160,240,320,400}
函数的图象如图：
y
O
x
-1
2
1
1
3
O
20
40
60
80
100
x/g
320
240
160
400
y/分
80
练习作业：
P41练习A，B；P43 练习
总结：
（1）函数的三种表示法
（2）分段函数(共16张PPT)
情境引入：观察下列图片中物体的特点
考察下列两个函数：
(1) ; (2) .
思考:对于上述两个函数，f(x)与f(-x)，
g(x)与g(-x)，有什么关系？
对于函数y=f(x),当自变量x取一对相反数时，相应的两个
函数值也是一对相反数.这样的函数是奇函数
（一）奇函数、偶函数的定义
奇函数：设函数y=f(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个 x ，都有 且
f(-x)=-f(x).则这个函数叫做奇函数。
偶函数：设函数y=f(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个 x ，都有 且
f(-x)=f(x).则这个函数叫做偶函数。
对于函数y=g(x),当自变量x取一对相反数时，相应的两个
函数值相等.这样的函数是偶函数
考察奇函数y=f（x）的图像，依奇函数的定义可知：
点P（x， f（x） ）与点P‘（-x，-f（x） ）
都在这个奇函数的图像上。直观上容易发现，点P绕原点O旋转1800 后与点P’重合.这说明这两点关于坐标原点对称，所以它的图像关于原点对称；反之亦然.
(二）奇函数、偶函数图像的对称性
如果一个函数是奇函数，则这个
函数的图像是以坐标原点为对称中心
的中心对称图形；反之，如果一个函
数的图像是以坐标原点为对称中心的
中心对称图形，则这个函数为奇函数
考察偶函数y=g（x）的图像，依偶函数的定义可知：
点P（x， g（x） ）与点P‘（-x，g（-x） ）
都在这个偶函数的图像上。这两点关于y轴对称，所以它的图像关于y轴对称；反之亦然.
如果一个函数是偶函数，则这个
函数的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数为偶函数
x
0
y
1
1
2
4
-1
-2
图象关于y轴对称
f(-x)=f(x)
偶函数
性质
图象关于原点对称
f(-x)= - f(x)
奇函数
思考
（1）判断函数f(x)=x3+x 的奇偶性.
（2）如图，给出函数
f(x)=x3+x 图像的一部
分，你能根据f(x)的奇
偶性画出它在y轴左边
的图像吗？
因为对定义域内的每一个x，都有
f(-x)=(-x)3+（-x）=-(x3+x)=-f(x),
0
x
y
解:对于函数f(x)= x3 +x,其定义域为（-∞，+∞）.
所以，函数 f(x)=x3+x为奇函数。
.
.
.
.
.
.
例1 判断下列函数的奇偶性
(2) 定义本身就是判断或证明函数奇偶性的方法。
（1）由定义知，若 x是定义域中的一个数值，则–x也必然在定义域中，因此函数是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称。例如，函数f(x)=x2在（-∞，+∞）上是偶函数，但 f(x)=x2在 [-1，2]上无奇偶性。
函数奇偶性的说明：
(3) 偶函数一定满足f(-x)=f(x),奇函数一定满足 f(-x)=-f(x);偶函数的图像关于y轴对称,奇函数的图像关于原点对称。
课堂练习
1.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。
2.判断下列函数的奇偶性：
（偶函数）
（奇函数）
0
0
y
x
f(x)
y
x
g(x)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
达标练习
（1）已知f(x)=x5+bx3+cx且f(-2)=10，那么f(2)等于（ ）。
A、-10 ; B、10 ; C、20 ; D、与b、c有关
（2）下面四个命题中，正确的个数是（ ）
①奇函数的图像关于原点对称。
②偶函数的图像关于y轴对称。
③奇函数的图像一定过原点。
④偶函数的图像一定与y轴相交。
A、4 ; B、3 ; C、2 ; D、1
（3）如果定义在[3-a,5]上的函数f(x)为奇函数，那么，
a= ________
(4)判断函数的奇偶性
① ②
③ ④
A
C
8
1 是偶函数，2是奇函数，3、4无奇偶性。
小结
作业: P49 A组1，5题，
P52A组9
本节课学习了函数奇偶性的定义和判断函数奇偶性
的方法。（先看定义域后看f(-x)和f(x)的关系，
f(-x)=f(x) →偶， f(-x)=-f(x)→奇）(共16张PPT)
一、变量与函数的概念
1.在初中我们学习变量与函数的概念
在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x值，相应地就确定唯一的一个y值，那么我们称y是x的函数. 其中x是自变量，y是因变量
2.局限性：用变量的观点描述函数，有局限性.需要更确切的语言来表达函数概念
引例
（1）学生好奇心指标随年龄增长的变化规律
X（年龄：岁）
30
40
20
10
12
11
13
14
15
y（指标）
（2）玉米生长的各时间段与植株高度之间的相关数据
40
100
20
O
8
2
12
14
X
y
株高/cm
生长阶段
4
6
10
24
22
20
18
16
26
28
30
32
60
80
180
160
140
120
200
（3）19998年到2002年的国内生产总值
年份 生产总值（亿元）
1998 78345
1999 82067
2000 89442
2001 95933
2002 102398
（4）电路中的电压U=220V，电流I与电阻R之间的变化规律。用欧姆定律表示，即
总结：在上述的每个例子中，都指出了自变量的变化范围、由自变量确定因变量的对应法则，以及由此确定的因变量的取值范围
一个函数关系必须涉及到两个数集和一个对应法则，实际上表达两个数集的元素之间，按照某种法则确定的对应关系，这反映了函数的本质
思考：从集合与对应的观点分析，函数可以怎样定义？
设集合A是一个非空的数集，对集合A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系f叫做集合A上的一个函数，记作 y=f(x)，x∈A.
其中，x叫做自变量，自变量取值的范围（数集A）叫做这个函数的定义域.
如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y=f(a)或y|x=a
所有函数值构成的集合{y| y=f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域
函数的概念：
函数y=f(x)也经常写作函数f或函数f(x)
函数的两个要素：定义域和对应法则
1.判断两个是否具有函数关系，只要检验：
（1）定义域和对应法则是否给出：
（2）根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y
2.函数定义域的求法：在函数关系式的表述中，函数的定义域可以省略，这是约定函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合；
在实际问题中，函数的定义域还要受自变量实际意义的制约.
区间
x
a
b
b
a
x
x
a
b
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
a与b叫做区间的端点，在数轴上表示区间时，属于这个区间端点的实数，用实心点表示，不属于这个区间端点的实数，用空心点表示.
（二)映射与函数
例4 数学学习小组5个成员的数学测试成绩：
姓名 李小平 高英木 田萍萍 范江 鲁智
成绩/分 100 98 89 95 98
5名同学构成一个集合，每名同学对应一个数学成绩，这些数学成绩构成另一个集合
例5 数轴上的点集与实数集R，可以建立一个对应关系
1
0
x
O
P
例6 直角坐标平面内的点P的全体构成的集合与有序数对（x，y）可以建立对应关系
x
1
2
O
P(x,y)
y
定义：设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对于集合Ａ中的任意一个元素ｘ，在Ｂ中有一个切仅有一个元素ｙ与ｘ对应，则称ｆ是集合Ａ到集合Ｂ的映射．这时，称ｙ是ｘ在映射ｆ的作用下的象，记作ｆ（ｘ），于是
ｙ＝ｆ（ｘ）
ｘ称作ｙ的原象，映射ｆ也可记作：
一一映射：如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都又只有一个原象，这时我们就说这两个集合之间的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射
例4-例6中的对应关系是否是映射？是否是一一映射？
函数是数集到数集的映射
例7 如图，用箭头标明的A中元素与B中元素的对应法则，试判断由A到B是不是映射？，是不是函数关系？
1
4
9
1
-1
2
-2
3
-3
4
5
6
8
9
10
4
5
6
8
10
12
1
-1
2
-2
3
-3
1
4
9
10
16
A
A
B
B
B
B
A
A
开平方
2倍
平方
（1）
（2）
（3）
（4）
不是映射，不是函数
不是映射，不是函数
是一一映射，是函数
是映射但不是一一映射，是函数
从集合A到集合B的映射，允许多个元素对应一个元素，不允许一个元素对应多个元素
总结：
（1）函数的概念
（2）函数的定义域和值域
（3）区间
（4）映射与函数
作业：P33练习A 4，5，6
练习：P33练习A，B；
习题P52 1-4(共16张PPT)
如图为我市某日24小时内的气温变化图．观察这张气温变化图：
试举出生活中其他的
数据变化情况.
情景引入
学习新课
观察下列函数的图象，回答当自变量 的值增大时,函数值 是如何变化的？
x
0
y
1
1
2
4
-1
-2
1
x
y
o
-1
1
x
y
1
o
-1
1
一般地，设函数 f(x)的定义域为A，区间 :
x
o
y
y=f(x)
x1
x2
f(x2)
f(x1)
x
o
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
y=f(x)
函数的单调性
如果一个函数在某个区间M上是增函数或减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性.（区间M称为单调区间）
在(-∞,0)上是____函数
在(0,+∞)上是____函数
减
增
举例：二次函数：
x
0
y
1
1
2
4
-1
-2
注意自变量x的任意性
分析：可以先画出图像观察，再根据定义进行证明
1
x
y
o
-1
1
y
O
x
-1
1
-1
1
取自变量－1< 1，
而 f(－1) f(1)
因为 x1、x2 不具有任意性.
∴不能说 在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数
<
x1、x2的三大特征：
①属于同一区间
②任意性
③有大小: 通常规定 x1＜x2
例2 证明函数 在区间（0,+∞）和（-∞，0)上分别是
减函数.
结
分析：利用定义进行证明，思考书写步骤
y
O
-1
1
-1
1
函数的图像如图所示：
4.下结论:由定义得出函数的单调性.
1.设值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1< x2
2.作差变形:作差f(x1)-f(x2)并适当变形；
3.判断差符号:确定f(x1)-f(x2)的正负；
证明函数单调性的步骤：
结
1. 画出下面两个函数的图象,说明其单调区间和单调性: (1) y=3x+2; (2) y=-x2
2. 结合下列各函数的图象,完成填表:
函数 参数 单调区间 单调性
y=kx k>0
k<0
y=kx+b k>0
k<0
课堂练习
:
3. 结合下列各函数的图象,完成填表:
函数 参数 单调区间 单调性
y=k/x k>0 (0,+∞)
k<0
增函数
y=ax2+bx+c a>0 [ b/2a,+∞)
a<0
增函数
课堂练习
3.(定义法)证明函数单调性的步骤:
设值
判断差符号
作差变形
下结论
课堂小结
2.图象法判断函数的单调性：
增函数的图象从左到右
减函数的图象从左到右
1. 增函数、减函数的定义；
上升
下降
布置作业
作业:课本P52页A组第5、6题
练习：P46练习A，B(共18张PPT)
2.1.1 函数
函数的定义
设集合A是一个非空的数集，对集合A中的任意数x ，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数。
其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数定义域。
与x的值相对应的y的值叫函数值，函数值的集合
{y| y=f(x)， x A}叫做函数的值域。
记作y=f(x), x A
函数 对应法则 定义域 值域
正比例
函数
反比例
函数
一次函数
二次函数
R
R
R
R
R
（1）试说明函数定义中有几个要素？
定义域、对应法则
①定义域、对应关系是决定函数的二要素，是一个整体；
②值域由定义域、对应法则唯一确定；
③函数符号y=f(x)表示“y是x的函数” 。
④f(x)与f(a)不同：f(x)表示“y是x的函数”;f(a)表示特定的函数值。常用f(a)表示函数y=f(x)当x=a时的函数值.
知识总结
⑤函数还可用g(x)、F(x)、G(x)等来表示。
1、函数值域中的每一个数都有定义域中的数与 之 对应
2、函数的定义域和值域一定是无限集合
3、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定
4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一 个元素
5、对于不同的x , y的值也不同
6、f (a)表示当x = a时，函数f (x)的值，是一个常量
√
√
√
√
×
×
判断正误
（2）如何判断给定的两个变量之间是否具有函数关系？
①定义域和对应法则是否给出？
②根据所给对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有惟一确定的一个函数值y和它对应。
判断下列对应能否表示y是x的函数
（1） y=|x| （2）|y|=x
（3） y=x 2 （4）y2 =x
（5） y2+x2=1 （6）y2－x2=1
(1)能
(2)不能
(5)不能
(3)能
(4)不能
(6)不能
D
判断下列图象能表示函数图象的是（ ）
x
y
0
(A)
x
y
0
(B)
x
y
0
(D)
x
y
0
(C)
设a,b是两个实数，而且a(1)、满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为 [a,b]
(2)、满足不等式a(3)、满足不等式a≤x区间的概念
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
试用区间表示下列实数集
（1）{x|5 ≤x<6}
（2） {x|x ≥9}
（3） {x|x ≤ -1} ∩{x| -5 ≤ x<2}
（4） {x|x < -9}∪{x| 9 < x<20}
f(0)=0
f(1)=0
f( )=
f(n+1) －f(n)=－2n
(1) R;
(2) {x| x≠±1, x∈R}
(3) {x∈R| x≥－1且x≠0}
（1）{2，6，12}
（2）{y| y≥－1, y∈R}
（3）(2，3]
8. (1)已知函数f(x)=x2，求f(x－1)；
（2）已知函数f(x－1)=x2，求f(x).
f(x－1)=(x－1)2=x2－2x+1.
f(x－1)=x2=(x－1)2+2(x－1)+1,
∴ f(x)=x2+2x+1.
