(共30张PPT)
第1课时 两角差的余弦公式
必备知识·自主学习
导思
1.
两角差的余弦公式是怎样推导出来的？
2.利用两角差的余弦公式能解决哪些问题？
两角差的余弦公式
(1)公式：cos(α-β)=__________________________.?
①简记符号：C(α-β).
②适用条件：公式中的角α，β都是_______.
(2)本质：两角差的余弦转化成减数角、被减数角的正余弦计算.
(3)应用：①化简，②求值.
cos
αcos
β+sin
αsin
β
任意角
【思考】公式的结构特征是怎样的？
提示：差角的余弦简记：余余正正，符号反.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)cos(80°-30°)=cos
80°-cos
30°.
( )
(2)对于任意α，β，cos(α-β)=cos
α-cos
β都不成立.
( )
(3)对任意α，β∈R，cos(α-β)=cos
αcos
β+sin
αsin
β都成立.
( )
(4)cos
30°cos
60°+sin
30°sin
60°=1.
( )
提示：(1)×.cos(80°-30°)=cos
50°≠cos
80°-cos
30°.
(2)×.当α=-45°，β=45°时，cos(α-β)=cos(-45°-45°)=cos(-90°)=0，cos
α-cos
β=
cos(-45°)-cos
45°=0，此时cos(α-β)=cos
α-cos
β.
(3)√.结论为两角差的余弦公式.
(4)×.cos
30°cos
60°+sin
30°sin
60°=cos(60°-30°)=cos
30°=
.
2.cos
20°=
( )
A.cos
30°cos
10°-sin
30°sin
10°
B.cos
30°cos
10°+sin
30°sin
10°
C.sin
30°cos
10°-sin
10°cos
30°
D.cos
30°cos
10°-sin
30°cos
10°
【解析】选B.cos
20°=cos(30°-10°)=cos
30°cos
10°+
sin
30°sin
10°.
3.(教材二次开发：例题改编)已知
，sin
β=
，则cos
=_______.?
【解析】因为
，sin
β=
，所以cos
β=
，所以cos
=cos
βcos
+sin
βsin
=
答案：
关键能力·合作学习
类型一 给角求值问题(数学运算)
【题组训练】
1.cos
165°的值是
( )
2.cos
70°cos
335°+sin
110°sin
25°的结果是
( )
A.1
B.
3.化简cos(α+45°)cos
α+sin(α+45°)sin
α=_______.?
【解析】1.选D.cos
165°=cos(180°-15°)
=-cos
15°=-cos(45°-30°)
=-cos
45°cos
30°-sin
45°sin
30°=-
2.选B.原式=cos
70°cos(360°-25°)+sin(180°-70°)sin
25°
=cos
70°cos
25°+sin
70°sin
25°
=cos(70°-25°)=cos
45°=
.
3.cos(α+45°)cos
α+sin(α+45°)sin
α
=cos(α+45°-α)=
.
答案：
【解题策略】
利用两角差的余弦公式求值的一般思路
(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解.
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值.
【补偿训练】
求下列各式的值：
(1)cos
105°；
(2)cos
46°cos
16°+sin
46°sin
16°.
【解析】(1)原式=cos(150°-45°)
=cos
150°cos
45°+sin
150°sin
45°
(2)原式=cos(46°-16°)=cos
30°=
.
类型二 给值求值问题(数学运算)
角度1 “逆用”求值?
【典例】(2020·泰安高一检测)已知sin
，则cos
α+
sin
α的值为
( )
A.-
B.
C.2
D.-1
【思路导引】对所求式逐步变形，直至可代入已知条件即可.
【解析】选B.cos
α+
sin
α=2
=2cos
=2sin
=2sin
=2×
角度2 “拼凑角”求值?
【典例】(1)已知sin
，α∈
，求cos
α的值.
(2)α，β为锐角，cos(α+β)=
，cos(2α+β)=
，求cos
α的值.
【思路导引】对已知条件和所求结论中的角进行分析，看已知条件中的角
如何“拼凑”成结论中的角.
【解析】(1)因为α∈
，所以
所以
所以cos
α=cos
(2)因为α，β为锐角，所以0<α+β<π.
又因为cos(α+β)=
>0，
所以0<α+β<
，
又因为cos(2α+β)=
，
所以0<2α+β<
，
所以sin(α+β)=
，sin(2α+β)=
，
所以cos
α=
=cos(2α+β)·cos(α+β)+sin(2α+β)·sin(α+β)
【变式探究】
1.将本例(1)的条件改为“sin
，且
”，如何解答？
【解析】因为sin
，且
，
所以
<α+
<π，
所以cos
所以cos
α=cos
2.将本例(1)的条件改为“sin
，α∈
”，求cos
的值.
【解析】因为
<α<
，所以-
又因为sin
<0，所以-
-α<0，
所以cos
所以cos
【解题策略】
解决三角函数的求值问题的关键点
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时通常有两种思路：
①着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，利用诱导公式把“所求角”变成“已知角”；
②考虑把“所求角”表示为“已知角”与特殊角的和与差的形式.
【题组训练】
1.已知α为锐角，β为第三象限角，且cos
α=
，sin
β=-
，则cos(α-
β)的值为
( )
【解析】选A.因为α为锐角，且cos
α=
，所以sin
α=
.因为
β为第三象限角，且sin
β=-
，所以cos
β=
，所以cos(α
-β)=cos
αcos
β+sin
αsin
β=
2.已知cos
，则cos
α+sin
α的值为_______.?
【解析】因为cos
所以cos
α+sin
α=
答案：
【补偿训练】若sin
α-sin
β=
，cos
α-cos
β=
，则cos(α-β)的值
为
( )
【解析】选A.由sin
α-sin
β=
，cos
α-cos
β=
，得sin2α+sin2β-
2sin
αsin
β=
，①
cos2α+cos2β-2cos
αcos
β=
，②
①+②得2-2(sin
αsin
β+cos
αcos
β)=1.
所以sin
αsin
β+cos
αcos
β=
.
所以cos(α-β)=
.
类型三 给值求角问题(数学运算)
【典例】已知0<α<
，-
<β<0，且α，β满足sin
α=
，cos
β=
，
求α-β.
【解题策略】
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围：根据条件确定所求角的范围；
(2)求所求角的某个三角函数值：根据角的范围选择求哪一个三角函数值，原则是由所求的三角函数值能确定角所在的象限；
(3)求角：结合三角函数值及角的范围求角.
【跟踪训练】
已知cos
α=
，cos(α+β)=-
，α，β∈
，则β=_______.?
【解析】因为α，β∈
，所以α+β∈(0，π).
因为cos
α=
，cos(α+β)=-
，
所以sin
α=
，sin(α+β)=
，
所以cos
β=cos
=cos(α+β)cos
α+sin(α+β)·sin
α=
因为0<β<
，所以β=
.
答案：
课堂检测·素养达标
1.计算cos
的值是
( )
A.0
B.
【解析】选C.
2.(教材二次开发：练习改编)设α∈
，若sin
α=
，则
等于(
)
【解析】选A.因为α∈
，sin
α=
，所以cos
α=
.
所以
3.已知sin
，
，则cos
α的值是
( )
【解析】选A.因为
，所以
<α+
<π且sin
，所以
cos
所以cos
α=
4.cos
=_______.?
【解析】
答案：
5.已知cos
=cos
α，则tan
α=_______.?
【解析】因为cos
=cos
αcos
+sin
αsin
=
cos
α+
sin
α=cos
α，
所以
sin
α=
cos
α.
所以
，即tan
α=
.
答案：两角差的余弦公式
(15分钟 30分)
1.cos(45°-α)cos(15°-α)+sin(45°-α)sin(15°-α)=
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选C.cos(45°-α)cos(15°-α)+
sin(45°-α)sin(15°-α)
=cos=cos
30°=.
【补偿训练】
coscos+sinsin的值为
( )
A.
B.
C.
D.1
【解析】选C.原式=cos=cos
=.
2.若cos
α=，cos(α+β)=-，且α，β都是锐角，则cos
β的值为( )
A.-
B.
C.
D.-
【解析】选B.因为β=(α+β)-α，
又因为cos
α=，cos(α+β)=-，α，β都是锐角，所以α+β是钝角，
所以sin
α=，sin(α+β)=.因为cos
β=cos=
cos(α+β)·cos
α+sin(α+β)sin
α，
所以cos
β=-×+×===.
【补偿训练】
已知sin
α=，α∈，则cos的值为_______.?
【解析】因为sin
α=，α∈，
所以cos
α=-=-=-，
所以cos=cos
cos
α+sin
sin
α
=×+×=.
答案：
3.满足cos
αcos
β=-sin
αsin
β的一组α，β的值是
( )
A.α=，β=
B.α=，β=
C.α=，β=
D.α=，β=
【解析】选B.cos
αcos
β=-sin
αsin
β，
所以cos
αcos
β+sin
αsin
β=，
即cos(α-β)=，经验证可知选项B满足.
4.cos
555°的值是_______.?
【解析】cos
555°=cos
195°=-cos
15°=-cos(45°-30°)
=-×-×=-.
答案：-
5.若x∈，且sin
x=，求2cos+2cos
x的值.
【解析】因为x∈，sin
x=，
所以cos
x=-.
所以2cos+2cos
x
=2+2cos
x
=2+2cos
x=sin
x+cos
x=-=.
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分，共15分)
1.已知α∈，且cos=-，则cos
α=
( )
A.
B.-
C.-
D.
【解析】选A.因为α∈，所以α+∈，
所以sin==，
所以cos
α=cos
=coscos+sinsin
=×+×=.
2.若cos(α-β)=，cos
2α=，并且α，β均为锐角且α<β，则α+β的值为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为α，β∈，α<β，
所以α-β∈，2α∈(0，π)，
sin(α-β)=-，sin
2α=，
所以cos(α+β)=cos
=cos
2αcos(α-β)+sin
2αsin(α-β)
=×+×=-，
因为α+β∈(0，π)，
所以α+β=.
【补偿训练】若cos(α+β)=，sin=，α，β∈，则
cosα+的值为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为α，β∈，
所以α+β∈(0，π)，β-∈.
又因为cos(α+β)=，sin=，
所以sin(α+β)==，
cos==，
所以cos=cos
=cos(α+β)cos+sin(α+β)sinβ-
=×+×=.
3.已知sin
α+sin
β+sin
γ=0和cos
α+cos
β+cos
γ=0，则cos(α-β)的值是
( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选C.由已知得，-sin
γ=sin
α+sin
β， ①
-cos
γ=cos
α+cos
β， ②
①2+②2得，1=1+1+2sin
αsin
β+2cos
αcos
β，
化简得cos
αcos
β+sin
αsin
β=-，
即cos(α-β)=-.
二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
4.若sin
x+cos
x=cos(x+φ)，则φ的一个可能值是
( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选AC.对比公式特征知，cos
φ=，sin
φ=-，故φ=-，合适.
三、填空题(每小题5分，共10分)
5.已知sin
α=，α是第二象限角，则tan
α=_______，cos(α-60°)=_______.?
【解析】因为sin
α=，α是第二象限角，所以cos
α=-，
所以tan
α==-，故cos(α-60°)=cos
αcos
60°+sin
αsin
60°=×+×=.
答案：-
6.(2020·枣庄高一检测)如图，实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等，设第i段弧所对的圆心角为αi(i=1，2，3)，则coscos-+sin·sin=_______.?
【解析】设三段圆弧交于A，B，D三点，连接PA，PB，PD，
则∠APB+∠APD+∠BPD=2π，
从而α1+α2+α3=4π，
所以coscos+sinsin-=cos=cos=-.
答案：-
【补偿训练】
已知α，β均为锐角，且cos
α=，sin
β=，则β-α的值为_______.?
【解析】因为α，β∈，cos
α=，sin
β=，
所以sin
α=，cos
β=，
因为sin
αβ，
所以β-α∈.
所以cos(β-α)=cos
αcos
β+sin
αsin
β
=×+×=，
所以β-α=.
答案：
四、解答题
7.(10分)已知函数f(x)=-cos
2xcos+sin
2xsin.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若<α<β<，f(α)=，且f(β)=，求角2β-2α的大小.
【解析】(1)因为f(x)=-cos
2xcos+
sin
2xsin
=cos
2xcos+sin
2xsin=cos，
所以函数f(x)的最小正周期T==π.
(2)因为f(α)=，且f(β)=，
所以cos=，
cos=.
又<α<β<，
所以2α-∈，2β-∈，
所以sin=
=，
sin==，
所以cos(2β-2α)=cos
=coscos+sin2β-sin2α-
=×+×=.
又<α<β<，所以0<2β-2α<，
所以2β-2α=.
【补偿训练】已知cos=-，sin=，且α∈，β∈，求cos的值.
【解析】因为<α<π，0<β<，所以<<，0<<，<α+β<.
所以<α-<π，-<-β<，<<.
又cos=-，sin=，
所以sin=，cos=.
所以cos=cos
=coscos+
sinsin
=×+×=-+=.
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9
-(共32张PPT)
第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
必备知识·自主学习
导思
1.两角和的余弦、两角和与差的正弦公式是怎样推导出来的？
2.应用两角和与差的正弦、余弦公式能解决怎样的问题？
两角和的余弦、两角和与差的正弦公式
(1)公式：
(2)本质：揭示两角和差的正弦、余弦值与两角的正弦、余弦值的关系.
(3)应用：①化简求值；②给值求角.
cos
αcos
β-sin
αsin
β
sin
αcos
β+cos
αsin
β
sin
αcos
β-cos
αsin
β
简记
符号
公式
使用
条件
C(α+β)
cos(α+β)=__________________________
α，β∈R
S(α+β)
sin(α+β)=__________________________
S(α-β)
sin(α-β)=__________________________
【思考】
(1)两角和的余弦公式是怎样由两角差的余弦公式推导而来的？
提示：在两角差的余弦公式cos(α-β)=cos
αcos
β+sin
αsin
β中，只要用-β替换β，便可以得到两角和的余弦公式.
(2)如何识记两角和与差的余弦公式？
提示：可简单记为“余余正正，符号反”，即展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相反.
(3)如何识记两角和与差的正弦公式？
提示：可简单记为“正余余正，符号同”，即展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相同.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)存在α，β∈R，使得sin(α+β)=sin
α+sin
β成立.
( )
(2)对于任意α，β∈R，sin(α-β)=sin
α-sin
β都不成立.
( )
(3)sin
50°cos
20°+cos
50°sin
20°=sin
70°.
( )
提示：(1)√.当α=30°，β=0°时，sin(α+β)=sin
α+sin
β.
(2)×.当α=60°，β=0°时，sin(α-β)=sin
α-sin
β成立.
(3)√.因为sin
50°cos
20°+cos
50°sin
20°=sin(50°+20°)=
sin
70°，故原式正确.
2.cos
57°cos
3°-sin
57°sin
3°的值为
( )
A.0
B.
C.
D.cos
54°
【解析】选B.原式=cos(57°+3°)=cos
60°=
.
3.(教材二次开发：例题改编)若cos
α=-
，α是第三象限的角，则
sin
=_______.?
【解析】因为cos
α=-
，α是第三象限的角，
所以sin
α=
，所以sin
答案：-
关键能力·合作学习
类型一 给角求值问题(数学运算)
【题组训练】
1.cos
70°sin
50°-cos
200°sin
40°的值为
( )
2.
的值是
( )
3.若θ是第二象限角且sin
θ=
，则cos(θ+60°)=_______.?
【解析】1.选D.cos
70°sin
50°-cos
200°sin
40°
=cos
70°sin
50°-(-sin
70°)cos
50°
=sin(50°+70°)=sin
120°=
.
2.选A.原式=
3.因为θ是第二象限角且sin
θ=
，
所以cos
θ=-
所以cos(θ+60°)=
cos
θ-
sin
θ
答案：-
【解题策略】
解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.
(2)一般途径有：将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变换分子、分母的形式进行约分，解题时要注意逆用或变用公式.
【补偿训练】(tan
10°-
=_______.?
【解析】原式=(tan
10°-tan
60°)
答案：-2
类型二 给值求角问题(数学运算)
【典例】已知sin
α=
，sin
β=
，且α和β均为钝角，求α+β的值.
【解题策略】
给值求角问题的解题策略
(1)解题步骤：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角.
(2)选三角函数的方法：例如，若角的取值范围在某一个象限内，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围在一、二或三、四象限，则选余弦函数；若角的取值范围在一、四或二、三象限，则选正弦函数等.
【跟踪训练】
已知α，β为锐角，cos
α=
，sin(α+β)=
，则β=_______.?
【解析】因为α为锐角，且cos
α=
，
所以sin
α=
又α，β为锐角，所以α+β∈(0，π).
又sin(α+β)=
α，所以α+β∈
所以cos(α+β)=
所以cos
β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos
α+sin(α+β)sin
α
又β为锐角，所以β=
.
答案：
类型三 给值求值问题(数学运算)
角度1 直接法求值?
【典例】已知sin
α=
，cos
β=-
，且α为第一象限角，β为第二象限角，
求sin(α+β)的值.
【思路导引】根据已知条件，直接利用两角和的正弦公式求值.
【解析】因为α为第一象限角，β为第二象限角，sin
α=
，cos
β=-
，
所以cos
α=
，sin
β=
，
所以sin(α+β)=sin
αcos
β+cos
αsin
β
【变式探究】
本例条件不变，求sin(α-β)的值.
【解析】因为α为第一象限角，β为第二象限角，sin
α=
，cos
β=-
，
所以cos
α=
，sin
β=
，
所以sin(α-β)=sin
αcos
β-cos
αsin
β
角度2 逆用公式求值?
【典例】求值：
【思路导引】提取常数，逆用两角和的正弦公式求解.
【解析】原式=
角度3 拆角变换求值?
【典例】已知
<β<α<
，cos(α-β)=
，sin(α+β)=-
，求cos
2α
与cos
2β的值.
【思路导引】由2α=(α+β)+(α-β)，2β=(α+β)-(α-β)，利用两角和与
差的余弦公式求解.
35
【解析】因为
<β<α<
，所以0<α-β<
，π<α+β<
.
又因为cos(α-β)=
，sin(α+β)=-
，
所以sin(α-β)=
cos(α+β)=-
所以cos
2α=
=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)
cos
2β=
=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)
【解题策略】
给值求值的方法
(1)直接法：当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”
的和或差的形式.
(2)逆用公式：通过提取一个常数，逆用公式求值，一般地asin
α+bcos
α=
sin(α+β)，其中tan
β=
.
还要特别注意的是“1”的代换，如1=sin2α+cos2α，1=tan
45°等.
(3)拆角变换：将未知角拆分成已知角的和差，即将未知角用已知角表示出来，使之能直接代入已知条件.
常见的有：α=(α+β)-β，α=β-(β-α)，
α=
α+β=(2α+β)-α，
2α=(α+β)+(α-β)，
2β=(α+β)-(α-β)等.
【题组训练】
1.计算sin
的值为_______.?
【解析】
答案：-
2.已知α，β为锐角，cos(α+β)=
，cos(2α+β)=
，求cos
α的值.
【解析】因为α，β为锐角，所以0<α+β<π.
又因为cos(α+β)=
>0，
所以0<α+β<
，0<2α+β<π.
又因为cos(2α+β)=
，所以0<2α+β<
.
所以sin(α+β)=
，sin(2α+β)=
.
所以cos
α=cos
=cos(2α+β)·cos(α+β)+sin(2α+β)·sin(α+β)
【补偿训练】若
且0<α<
<β<
，求sin(α+β)
的值.
【解析】因为0<α<
<β<
，
所以
又sin
所以cos
所以sin(α+β)=-cos
课堂检测·素养达标
1.sin
105°的值为
( )
【解析】选D.sin
105°=sin(45°+60°)=sin
45°cos
60°+cos
45°sin
60°
=
2.化简
cos
x-
sin
x等于
( )
【解析】选D.
3.(教材二次开发：练习改编)化简：sin
21°cos
81°-cos
21°·sin
81°
等于
( )
【解析】选D.原式=sin(21°-81°)=-sin
60°=-
.
4.已知α是锐角，sin
α=
，则cos
等于_______.?
【解析】因为α是锐角，sin
α=
，所以cos
α=
，所以
cos
答案：两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
(15分钟 30分)
1.若sin(π+θ)=-，θ是第二象限角，sin+φ=-，φ是第三象限角，则cos(θ-φ)的值是
( )
A.-
B.
C.
D.
【解析】选B.因为sin(π+θ)=-sin
θ=-，
所以sin
θ=，又θ是第二象限角，
所以cos
θ=-.
又因为sin=cos
φ=-，φ为第三象限角，
所以sin
φ=-.
所以cos(θ-φ)=cos
θcos
φ+sin
θsin
φ
=×+×=.
2.已知α∈，cos=，则sin
α的值等于
( )
A.
B.
C.
D.-
【解析】选C.因为α∈，
所以+α∈，
由cos=，
得sin==，
则sin
α=sin
=sincos-cossin
=×-×=.
【补偿训练】
已知α，β均为锐角，sin
α=，cos(α+β)=，则sin
β=( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.因为α，β∈，cos(α+β)=>0，
所以α+β∈，
所以cos
α=，sin(α+β)=，
sin
β=sin=sin(α+β)cos
α-cos(α+β)sin
α
=×-×=.
3.已知α∈，β∈，且cos(α-β)=，sin
β=-，则角α的值为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为α∈，β∈，
所以α-β∈(0，π)，由cos(α-β)=，
知sin(α-β)=.
由sin
β=-，知cos
β=.
所以sin
α=sin
=sin(α-β)cos
β+cos(α-β)sin
β
=×+×=.
又α∈，所以α=.
4.sin
θ+sin+sin的值为_______.?
【解析】原式=sin
θ+sin
θcos+cos
θsin+sin
θcos+
cos
θsin=sin
θ-sin
θ+
cos
θ-sin
θ-cos
θ=0.
答案：0
5.已知函数f(x)=2cos，x∈R.设α，β∈，f=-，f=，求cos(α+β)的值.
【解析】因为f=-，
所以2cos=2cos=-，
所以sin
α=.
又因为f=，
所以2cos=2cosβ=，
所以cos
β=.
又因为α，β∈，
所以cos
α=，sin
β=，
所以cos(α+β)=cos
αcos
β-sin
αsin
β
=×-×=-.
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分，共15分)
1.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-cos(θ+15°)=
( )
A.±1
B.1
C.-1
D.0
【解析】选D.原式=sin+cos(θ+45°)-cos(θ+15°)
=-cos(θ+15°)+sin(θ+15°)+cos(θ+45°)
=sin(θ-45°)+cos(θ+45°)=0.
【补偿训练】=
( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选C.原式===sin
30°=.
2.在△ABC中，如果sin
A=2sin
Ccos
B，那么这个三角形是
( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
【解析】选C.因为A+B+C=π，所以A=π-(B+C).
由已知可得sin(B+C)=2sin
Ccos
B
?sin
Bcos
C+cos
Bsin
C=2sin
Ccos
B
?sin
Bcos
C-cos
Bsin
C=0?sin(B-C)=0.
因为0所以B=C.故△ABC为等腰三角形.
3.若α，β∈，P=sin(α+β)，Q=sin
α+sin
β，R=P+Q，则P，Q，R从大到小的排列为
( )
A.P>Q>R
B.P>R>Q
C.R>P>Q
D.R>Q>P
【解析】选D.因为α，β∈，所以0<α+β<π.
所以sin
α>0，sin
β>0，sin(α+β)>0，0β<1，0α<1，所以R>Q，
又P=sin(α+β)=sin
αcos
β+cos
α·sin
βα+sin
β，即PQ>P.
二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
4.cos
α-sin
α化简的结果可以是
( )
A.cos
B.2cos
C.sin
D.2sin
【解析】选BD.cos
α-sin
α
=2
=2
=2cos=2sin.
三、填空题(每小题5分，共10分)
5.若cos(α+β)cos
α+sin(α+β)sin
α=-，且450°<β<540°，则
sin
β=_______，sin(60°-β)=_______.?
【解题指南】先逆用两角差的余弦公式求出cos
β的值，进而得到sin
β，再利用两角差的正弦公式求出sin(60°-β)的值.
【解析】由已知得cos=cos
β=-，
因为450°<β<540°，所以sin
β=，
所以sin(60°-β)=×-×=-.
答案： -
【补偿训练】
已知α∈，tan
α=2，则cos=_______.?
【解析】由tan
α=2得sin
α=2cos
α，
又sin2α+cos2α=1，所以cos2α=，因为α∈，
所以cos
α=，sin
α=，
因为cos=cos
αcos+sin
αsin，
所以cos=×+×=.
答案：
6.已知sin
10°+mcos
10°=2cos
140°，则m=_______.?
【解析】由sin
10°+mcos
10°=2cos
140°可得，
m==
==
=-.
答案：-
四、解答题
7.(10分)已知<α<，0<β<，cos=-，sin=.
(1)求sin(α+β)的值.
(2)求cos(α-β)的值.
【解析】(1)因为<α<，所以<+α<π，
所以sin==.
因为0<β<，所以<+β<π，
所以cos=-=-，
所以sin(α+β)=-sin(π+α+β)
=-sin
=-sincos+cos·
sin
=-=.
(2)由(1)可知，sin=，cos=-，
所以sin
=sincos-cossin
=×-×=-.
又sin
=sin
=-cos(α-β)，从而cos(α-β)=.
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-(共35张PPT)
第3课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
必备知识·自主学习
导思
1.两角和与差的正切公式的形式是怎样的？
2.两角和与差的正切公式有哪些应用？
两角和与差的正切公式
(1)公式
(2)本质：揭示了两角和与差的正切值与两角的正切值之间的关系.
(3)应用：①求值；②化简.
α，β，α-β≠kπ+
(k∈Z)
且tan
α·tan
β≠-1
名称
简记
符号
公式
使用条件
两角
和的
正切
T(α+β)
α，β，α+β≠kπ+
(k∈Z)且
tan
α·tan
β≠1
两角
差的
正切
T(α-β)
_____________________________
_____________________
【思考】
(1)由同角三角函数的商数关系知tan(α+β)=
，由此能否推导出两角
和的正切公式？若能，写出推导过程.
提示：能.
tan(α+β)=
，分子分母同除以cos
αcos
β，可
得tan(α+β)=
(2)两角和与差的正切公式中为什么限制α，β，α+β，α-β都不等于kπ
+
(k∈Z)？
提示：这是由正切函数的定义域决定的.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)存在α，β∈R，使tan(α+β)=tan
α+tan
β成立.
( )
(2)对任意α，β∈R，tan(α+β)=
都成立.
( )
(3)tan(α+β)=
等价于tan
α+tan
β=tan(α+β)·
(1-tan
αtan
β).( )
提示：(1)√.当α=0，β=
时，tan(α+β)=
，但一般情况下不成立.
(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α+β≠kπ+
(k∈Z)且
tan
α·tan
β≠1.
(3)√.当α≠kπ+
(k∈Z)，β≠kπ+
(k∈Z)，α+β≠kπ+
(k∈Z)时，
由前一个式子两边同乘以1-tan
αtan
β可得后一个式子.
2.(教材二次开发：例题改编)已知cos
α=-
，α∈
，则tan
=
( )
A.
B.7
C.-
D.-7
【解析】选B.因为cos
α=-
，α∈
，所以α∈
，所以sin
α=
-
，tan
α=
，
则tan
3.
=
( )
【解析】选C.
关键能力·合作学习
类型一 给角求值问题(数学运算)
【题组训练】
1.(2019·全国卷Ⅰ)tan
255°=
( )
A.-2-
B.-2+
C.2-
D.2+
2.计算：
=_______.?
3.tan
10°+tan
50°+
tan
10°tan
50°=_______.?
【解析】1.选D.tan
255°=tan(180°+75°)=tan
75°=tan(30°+45°)
=
2.原式=
答案：1
3.因为tan
60°=tan(10°+50°)=
所以tan
10°+tan
50°=tan
60°(1-tan
10°tan
50°)
=
-
tan
10°tan
50°，所以原式=
-
tan
10°tan
50°+
tan
10°tan
50°=
.
答案：
【解题策略】
公式T(α+β)，T(α-β)
应用的解题策略
(1)公式T(α+β)，T(α-β)有tan
α·tan
β，tan
α+tan
β(或tan
α-tan
β)，
tan(α+β)(或tan(α-β))，三者知二可求出第三个.
(2)化简过程中注意“1”与“tan
”，“
”与“tan
”等特殊数与特殊
角的函数值之间的转化.
【补偿训练】
tan
72°-tan
42°-
tan
72°tan
42°=_______.?
【解析】原式=tan(72°-42°)(1+tan
72°·tan
42°)-
tan
72°tan
42°
=tan
30°(1+tan
72°tan
42°)-tan
30°tan
72°tan
42°=tan
30°=
.
答案：
类型二 给值求角问题(数学运算)
【典例】(2020·洛阳高一检测)已知tan
=2，tan(α-β)=
，
α∈
(1)求tan
α的值；
(2)求2α-β的值.
【解题策略】给值求角问题的步骤及选取函数的原则
(1)给值求角问题的步骤.
①求所求角的某个三角函数值.
②确定所求角的范围(范围过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解)，根据
范围找出角.
(2)选取函数的原则.
①已知正切函数值，选正切函数.
②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是
，选正弦或余弦
函数均可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是
，选正弦
较好.
【跟踪训练】
已知tan
α=
，sin
β=
，且α，β为锐角，求α+2β的值.
【解析】因为tan
α=
<1且α为锐角，
所以0<α<
.
又因为sin
β=
且β为锐角.
所以0<β<
，
所以0<α+2β<
.①
由sin
β=
，β为锐角，得cos
β=
，
所以tan
β=
.
所以tan(α+β)=
所以tan(α+2β)=
由①②可得α+2β=
.
【补偿训练】已知α，β，γ都是锐角，且tan
α=
，tan
β=
，tan
γ=
，则α+β+γ=_______.?
【解析】因为tan(α+β)=
tan(α+β+γ)=
因为tan
α=
，且α为锐角，
所以0<α<
，同理0<β<
，0<γ<
，
所以0<α+β+γ<
，所以α+β+γ=
.
答案：
类型三 给值求值问题(数学运算)
角度1 式子变换?
【典例】已知sin
α=
，α∈
，tan(π-β)=
，则tan(α-β)的值
为
( )
【思路导引】由条件得出tan
α与tan
β的值，代入两角差的正切公式可求值.
【解析】选A.因为α∈
，sin
α=
，
所以cos
α=-
，
tan
α=-
，又tan
β=-
，
所以tan(α-β)=
【变式探究】
本例条件不变，求tan(α+β)的值.
【解析】因为α∈
，sin
α=
，所以cos
α=-
，
tan
α=-
，又tan
β=-
，
所以tan(α+β)=
角度2 拆角变换?
【典例】已知tan
α=
，tan(α-β)=-
，那么tan(β-2α)的值为
( )
【思路导引】tan(β-2α)=-tan(2α-β)=-tan
【解析】选B.tan(β-2α)=-tan(2α-β)
【解题策略】给值求值问题的两种变换
(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式子间的联系以实现求值.
(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α=β-(β-α)、2α=(α+β)+(α-β)等关系，把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值.
【题组训练】
1.若tan
α=2，tan
β=
，则tan(α+β)等于
( )
A.1
B.-1
C.7
D.-7
【解析】选C.tan(α+β)=
2.已知tan
，则tan(α+β)的值为
( )
【解析】选D.因为tan
所以tan(α+β)
课堂检测·素养达标
1.已知tan
α=-
，则tan
等于
( )
A.-
B.-7
C.
D.7
【解析】选D.tan
2.tan
α=2，tan
β=3，则tan(α-β)=
( )
A.-7
B.
C.-
D.-
【解析】选D.tan(α-β)=
3.已知α，β都是锐角，tan
α=
，tan
β=
，则α+β的值为
( )
【解析】选C.tan(α+β)=
又因为α，β都是锐角，所以α+β∈(0，π)，所以α+β=
.
4.(教材二次开发：练习改编)求值：
(1)tan(-75°)=_______；?
(2)
=_______.?
【解析】(1)tan
75°=tan(45°+30°)=
所以tan(-75°)=-tan
75°=-2-
.
(2)原式=tan(74°+76°)=tan
150°=-
.
答案：(1)-2-
(2)-
5.计算
=_______.?
【解析】
答案：1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
(15分钟 35分)
1.(2020·清华附中高一检测)若tan
α=3，tan
β=，则tan(α-β)等于( )
A.3
B.-3
C.
D.-
【解析】选C.tan(α-β)===.
2.(2020·玉林高一检测)计算等于
( )
A.
B.
C.1
D.
【解析】选A.=
=tan
30°=.
【补偿训练】
=_______.?
【解析】=
==tan(15°-45°)
=tan(-30°)=-.
答案：-
3.在△ABC中，∠C=120°，tan
A+tan
B=，则tan
A·tan
B的值为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为∠C=120°，所以∠A+∠B=60°，所以tan(A+B)==，
所以tan
A+tan
B=(1-tan
A·tan
B)=，
解得tan
A·tan
B=.
4.已知tan(α+β)=3，tan
α=，那么tan
β=_______.?
【解析】因为tan
α=，又tan(α+β)==3，所以tan
β=.
答案：
5.若(tan
α-1)(tan
β-1)=2，则α+β=_______.?
【解析】(tan
α-1)(tan
β-1)=2
?tan
αtan
β-tan
α-tan
β+1=2
?tan
α+tan
β=tan
αtan
β-1
?=-1，即tan(α+β)=-1，
所以α+β=kπ-，k∈Z.
答案：kπ-，k∈Z
6.已知tan(α+β)=，tan=，求tanα+的值.
【解析】因为α+=(α+β)-，
所以tan=tan
=
===.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1.的值等于
( )
A.-1
B.1
C.
D.-
【解析】选D.因为tan
60°=tan(10°+50°)=，
所以tan
10°+tan
50°=tan
60°-tan
60°tan
10°tan
50°.
所以原式==-.
【补偿训练】
(1+tan
17°)(1+tan
18°)(1+tan
27°)(1+tan
28°)的值是( )
A.2
B.4
C.8
D.16
【解析】选B.(1+tan
17°)(1+tan
28°)=1+tan
17°+tan
28°+
tan
17°·tan
28°，①
又tan
45°=tan(17°+28°)
=，
所以①式=1+(1-tan
17°tan
28°)+
tan
17°tan
28°=2.
同理(1+tan
18°)(1+tan
27°)=2.所以原式=4.
2.若=，则tan=
( )
A.-2
B.2
C.-
D.
【解析】选C.因为=，
所以=，所以tan
α=-3.
所以tan==
=-.
3.若sin
α=，tan(α+β)=1，且α是第二象限角，则tan
β的值为( )
A.
B.-
C.7
D.
【解析】选C.由sin
α=，且α是第二象限角，可得cos
α=-，则tan
α=-，
所以tan
β=tan===7.
4.已知锐角α，β满足sin
α-cos
α=，tan
α+tan
β+tan
αtan
β=，则α，β的大小关系是
( )
A.α<<β
B.β<<α
C.<α<β
D.<β<α
【解析】选B.因为α为锐角，sin
α-cos
α=>0，所以<α<.
又tan
α+tan
β+tan
αtan
β=，
所以tan(α+β)==，
所以α+β=，又α>，所以β<<α.
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5.若α+β=，且α，β满足(tan
αtan
β+a)+2tan
α+3tan
β=0，则( )
A.tan(α+β)=
B.tan(α+β)=-
C.tan
α=(1-a)
D.tan
α=(1+a)
【解析】选AD.因为(tan
αtan
β+a)+2tan
α+3tan
β=0，
所以tan
αtan
β+3(tan
α+tan
β)
=tan
α-a，①
因为tan(α+β)==，
所以3(tan
α+tan
β)=(1-tan
αtan
β)，②
把②代入①得=tan
α-a，
所以tan
α=+a=(1+a).
6.已知tan
α，tan
β是方程x2+3x+4=0的两根，且-<α<，-<β<，
则
( )
A.tan
α+tan
β=3
B.tan(α+β)=
C.tan
α·tan
β=4
D.α+β=-
【解析】选BCD.由根与系数的关系得：
tan
α+tan
β=-3，tan
α·tan
β=4，
所以tan
α<0，tan
β<0，
所以tan(α+β)===，
又-<α<，-<β<，且tan
α<0，tan
β<0，所以-π<α+β<0，所以α+β=-.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.=_______.?
【解析】因为tan
18°+tan
42°+tan
120°
=tan
60°(1-tan
18°tan
42°)+tan
120°
=-tan
60°tan
18°tan
42°，
所以原式=-1.
答案：-1
8.已知tan
α=2，tan
β=-3，其中0°<α<90°，90°<β<180°，
则=_______，α-β=_______.?
【解析】==-7.
因为tan(α-β)==-1，
又0°<α<90°，90°<β<180°，
所以-180°<α-β<0°，所以α-β=-45°.
答案：-7 -45°
四、解答题(每小题10分，共20分)
9.已知tan(π+α)=-，tan(α+β)=.
(1)求tan(α+β)的值；(2)求tan
β的值.
【解析】(1)因为tan(π+α)=-，所以tan
α=-，
因为tan(α+β)==，
所以tan(α+β)==.
(2)因为tan
β=
tan=，
所以tan
β==.
10.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α+β)的值；
(2)求α+2β的值.
【解析】由条件得cos
α=，cos
β=.
因为α，β为锐角，所以sin
α==，sin
β==.
所以tan
α=7，tan
β=.
(1)tan(α+β)===-3.
(2)因为tan(α+2β)=tan
===-1，
又因为α，β为锐角，所以0<α+2β<，
所以α+2β=.
1.(1+tan
1°)(1+tan
2°)·…·(1+tan
44°)(1+tan
45°)的值为( )
A.222
B.223
C.224
D.225
【解析】选B.(1+tan
1°)(1+tan
44°)=1+tan
44°+tan
1°+
tan
44°tan
1°，
因为tan
45°=tan(1°+44°)==1，所以(1+tan
1°)(1+tan
44°)
=1+1-tan
1°tan
44°+tan
44°tan
1°=2，
同理，得(1+tan
2°)(1+tan
43°)=(1+tan
3°)(1+tan
42°)=…=2，
所以原式=222×(1+tan
45°)=223.
2.A，B，C是△ABC的三个内角，且tan
A，tan
B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根，则△ABC是_______三角形.(填“锐角”“钝角”或“直角”)?
【解析】由已知得
所以tan(A+B)===，
在△ABC中，tan
C=tan
=-tan(A+B)=-<0，所以C是钝角，所以△ABC是钝角三角形.
答案：钝角
【补偿训练】
在△ABC中，若tan
Atan
B>1，则△ABC的形状是
( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.不能确定
【解析】选A.由tan
Atan
B>1，知tan
A>0，tan
B>0，从而A，B均为锐角.
又tan(A+B)=<0，即tan
C=-tan(A+B)>0，所以C为锐角，故△ABC为锐角三角形.
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-(共38张PPT)
第4课时 二倍角的正弦、
余弦、正切公式
必备知识·自主学习
二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式：
导思
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式的形式是怎样的？它们是怎样推导出来的？
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式有哪些应用？
(2)本质：两角和的正弦、余弦、正切公式，当两角相等时的特殊形式.
(3)应用：①化简；②求值；③证明.
【思考】
(1)所谓的“二倍角”公式，一定是角α与2α之间的转化关系吗？为什么？
提示：不一定.对于“二倍角”应该广义的理解，如：8α是4α的二倍角，3α
是
α的二倍角，α是
的二倍角，
是
的二倍角，…，这里蕴含着换
元思想.这就是说“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间关系的.
(2)公式中的角α是任意角吗？
提示：对于公式S2α、C2α中的角α是任意角，但是T2α中的角α要保证
tan
2α，tan
α有意义且分母1-tan2α≠0.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)二倍角的正切公式的适用范围不是任意角.
( )
(2)对于任意的角α，都有sin
2α=2sin
α成立.
( )
(3)存在角α，cos
2α=2cos
α成立.
( )
(4)cos
3αsin
3α=
sin
6α对任意的角α都成立.
( )
提示：(1)√.二倍角的正切公式，要求α≠
+kπ(k∈Z)且α≠±
+kπ(k∈Z)，故此说法正确.
(2)×.当α=
时，sin
2α=sin
=
，而2sin
α=2×
=1.
(3)√.由cos
2α=2cos
α=2cos2α-1，得cos
α=
时，cos
2α=
2cos
α成立.
(4)√.由二倍角的正弦公式可得.
2.sin2
-cos2
=
( )
【解析】选D.sin2
-cos2
=
3.(教材二次开发：例题改编)已知cos
α=-
，α∈
，则sin
2α=
_______，cos
2α=_______，tan
2α=_______.?
【解析】因为cos
α=-
，α∈
，所以sin
α=-
，所以
sin
2α=2sin
αcos
α=
，cos
2α=2cos2α-1=
，tan
2α=
答案：
关键能力·合作学习
类型一 给角求值问题(数学运算)
【题组训练】
1.下列各式中，值为
的是
( )
A.2sin
15°cos
15°
B.cos215°-sin215°
C.2sin215°
D.sin215°+cos215°
【解析】1.选B.cos215°-sin215°=cos
30°=
.
2.选B.原式=
答案：1
【解题策略】
利用二倍角公式解决给角求值问题的策略
(1)注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系，灵活正用或逆用二倍角公式.
(2)结合诱导公式恰当变化函数名称，灵活处理系数，构造二倍角公式的形式.
【补偿训练】求下列各式的值：
(1)
(2)1-2sin2750°；
(3)
【解析】(1)原式=
(2)原式=cos(2×750°)=cos
1
500°
=cos(4×360°+60°)
=cos
60°=
.
(3)原式=tan(2×150°)=tan
300°
=tan(360°-60°)=-tan
60°=-
.
类型二 条件求值问题(数学运算)
【典例】已知
求cos
的值.
四步
内容
理解
题意
条件：
结论：求cos
的值
思路
探求
观察条件中角
的二倍角为
，而需要求出
sin
2α，cos
2α可得结论，故考虑利用二倍角公式及诱导公式解答问题.
四步
内容
书写
表达
四步
内容
书写
表达
解题注意：
①利用三角函数值的正负、大小缩小角的范围；
②③利用诱导公式变形为已知角的二倍角.
题后
反思
诱导公式与二倍角公式的灵活运用是解题关键.
【解题策略】解决条件求值问题的方法
(1)将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
(2)寻找角之间的关系，特别是已知角与要求的角之间的二倍关系，如果二倍关系中含有已知角和某些特殊角，则利用诱导公式转化后整体代入.
【跟踪训练】
已知tan
α+
=
，α∈
，求cos
2α和sin
的值.
【解析】
【补偿训练】已知α∈
，且sin
2α=
求α.
【解析】因为sin
2α=-cos
类型三 化简、证明问题(逻辑推理)
角度1 化简问题?
【典例】化简：(1)
(2)
【思路导引】结合题目特点，利用二倍角的正弦、余弦公式化简.
【解析】(1)
【变式探究】
本例(2)若改为：
，试化简.
【解析】原式=
角度2 证明问题?
【典例】证明：sin
3α=3sin
α-4sin3α，cos
3α=4cos3α-3cos
α.
【思路导引】从等式的左边入手，因为3α=2α+α，利用和角公式及二倍角公式展开.
【证明】sin
3α=sin(2α+α)=sin
2αcos
α+cos
2αsin
α
=2sin
αcos2α+(1－2sin2α)sin
α
=2sin
α(1－2sin2α)+(1－2sin2α)sin
α
=3sin
α-4sin3α，
cos
3α=cos(2α+α)=cos
2αcos
α-sin
2αsin
α
=(2cos2α－1)cos
α-2sin2αcos
α
=(2cos2α－1)cos
α-2(1－cos2α)cos
α
=4cos3α-3cos
α，
所以sin
3α=3sin
α-4sin3α，cos
3α=4cos3α-3cos
α.
【解题策略】
1.化简三角函数式的常用方法
(1)切化弦；(2)异名化同名；(3)异角化同角；(4)高次降低次.
2.化简三角函数式的常用技巧
(1)特殊角的三角函数与特殊值的互化；
(2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分；
(3)对于二次根式，注意倍角公式的逆用；
(4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等.
【题组训练】
1.cos4
-sin4
的化简结果为
( )
A.cos
B.cos
α
C.cos
2α
D.cos
4α
【解析】选B.cos4
-sin4
=
=cos
α.
2.化简
·cos
28°的结果为( )
A.
B.sin
28°
C.2sin
28°
D.sin
14°cos
28°
【解析】选A.
·cos
28°=
×
·cos
28°=
tan
28°·cos
28°=
.
3.求证：cos2θ(1-tan2θ)=cos
2θ.
【证明】方法一：左边=cos2θ
=cos2θ-sin2θ=cos
2θ=右边，得证.
方法二：右边=cos
2θ=cos2θ-sin2θ
=cos2θ
=cos2θ(1-tan2θ)=左边，得证.
【补偿训练】化简：
，其中θ∈(0，π).
【解析】原式=
①当θ∈
时，
∈
，cos
≥sin
，
此时原式=sin
+cos
-cos
+sin
=2sin
.
②当θ∈
时，
∈
，cos
，
此时原式=sin
+cos
-sin
+cos
=2cos
.
课堂检测·素养达标
1.
等于( )
【解析】选D.原式=cos2
-sin2
=cos
=
.
2.若sin
=
，则cos
α=
( )
【解析】选C.因为sin
=
，
所以cos
α=1-2sin2
=1-2×
=
.
3.(教材二次开发：练习改编)若tan
α=3，则
的值等于( )
A.2
B.3
C.4
D.6
【解析】选D.
=
=2tan
α=2×3=6.
4.已知α为第三象限角，且cos
α=-
，则tan
2α的值为( )
【解析】选A.由题意可得，sin
α=
所以tan
α=2，所以tan
2α=
5.sin
22°30′·cos
22°30′的值为_______.?
【解析】原式=
sin
45°=
.
答案：二倍角的正弦、余弦、正切公式
(15分钟 35分)
1.设α是第四象限角，已知sin
α=-，则sin
2α，cos
2α和tan
2α的值分别为
( )
A.-，，-
B.，，
C.-，-，
D.，-，-
【解析】选A.因为α是第四象限角，且sin
α=-，
所以cos
α=，所以sin
2α=2sin
αcos
α=-，
cos
2α=2cos2α-1=，tan
2α==-.
2.若cos
xcos
y+sin
xsin
y=，则cos(2x-2y)=
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选B.因为cos
xcos
y+sin
xsin
y=cos(x-y)=，
所以cos
2(x-y)=2cos2(x-y)-1=-.
【补偿训练】
化简：=
( )
A.
B.-
C.-1
D.1
【解析】选B.原式=
=-=-=-.
3.已知cos=-，则sin(-3π+2α)=
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选A.易得cos
=2cos2-1=2×-1=-.
又cos=cos=sin
2α，
所以sin(-3π+2α)=sin(π+2α)=-sin
2α=-=.
4.=_______.?
【解析】原式=×=tan
=tan=.
答案：
5.已知sin
α-2cos
α=0，则sin
2α=_______.?
【解析】由sin
α-2cos
α=0，得tan
α==2，
则sin
2α===.
答案：
6.已知<α<π，cos
α=-.
(1)求tan
α的值；
(2)求sin
2α+cos
2α的值.
【解析】(1)因为cos
α=-，<α<π，所以sin
α=，
所以tan
α==-.
(2)sin
2α=2sin
αcos
α=-.
cos
2α=2cos2α-1=，
所以sin
2α+cos
2α=-+=-.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1.(2020·重庆高一检测)已知sin
α+cos
α=-，2sin
α-cos
α=-，则cos
2α
=
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选A.两个式子相加得3sin
α=-，所以sin
α=-，
所以cos
2α=1-2sin2α=1-2×=.
2.设-3π<α<-，化简的结果是
( )
A.sin
B.cos
C.-cos
D.-sin
【解析】选C.因为-3π<α<-，所以-<<-，所以=
==-cos.
【补偿训练】-
=
( )
A.-2cos
5°
B.2cos
5°
C.-2sin
5°
D.2sin
5°
【解析】选C.原式=-
=(cos
50°-sin
50°)
=2
=2sin(45°-50°)=-2sin
5°.
3.已知角α在第一象限且cos
α=，则=
( )
A.
B.
C.
D.-
【解析】选C.因为cos
α=且α在第一象限，所以sin
α=，
所以cos
2α=cos2α-sin2α=-，sin
2α=2sin
αcos
α=，
原式===.
【补偿训练】已知sin=，则cos的值为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.因为sin=，
所以cos=cos
=1-2sin2=.
4.已知α∈，且sin
α=，则tan=
( )
A.-
B.
C.7
D.-
【解析】选D.因为α∈，且sin
α=，所以cos
α=-，所以tan
α=-，由二倍角公式得tan
2α==-，tan==-.
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5.下列计算正确的是
( )
A.=1
B.1-2sin275°=
C.cos4-sin4=
D.cos275°+cos215°+cos
75°cos
15°=
【解析】选CD.对于选项A，==tan45°=；对于选项B，1-2sin275°=cos
150°=-，对于选项C，cos4-sin4=cos2+sin2cos2-sin2=cos
=；对于选项D，原式=sin215°+cos215°+sin
15°cos
15°=1+sin
30°=1+=.
6.若2cos
2α=sin，则sin
2α的值为
( )
A.-
B.
C.1
D.
【解析】选AC.若2cos
2α=sin，即2(cos2α-sin2α)=cos
α-sin
α，当cos
α=sin
α时，满足条件，此时，tan
α=1，sin
2α=1.当cos
α≠
sin
α时，则2(cos
α+sin
α)=，即cos
α+sin
α=，
所以1+2sin
αcos
α=，
即sin
2α=2sin
αcos
α=-.
综上可得，sin
2α=1或-.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.已知tan
=2，则tan
α的值为_______，tanα+的值为_______.?
【解析】因为tan
=2，所以tan
α===-，
tan===-.
答案：- -
8.sin
10°sin
30°sin
50°sin
70°=_______.?
【解析】原式=cos
80°cos
60°cos
40°cos
20°
=
===.
答案：
【补偿训练】
cos
cos
πcos
π=_______.?
【解析】原式=
=
==
===-.
答案：-
四、解答题(每小题10分，共20分)
9.化简：(1)-；
(2).
【解析】(1)原式===tan
2θ.
(2)原式=
=
==
==1.
10.已知sin
-2cos
=0.
(1)求tan
x的值；
(2)求的值.
【解析】(1)由sin
-2cos
=0，知cos
≠0，
所以tan
=2，
所以tan
x===-.
(2)由(1)知tan
x=-，
所以
=
=
=
=×
=×
=.
1.已知α，β均为锐角，且3sin
α=2sin
β，3cos
α+2cos
β=3，则α+2β的值为
( )
A.
B.
C.
D.π
【解析】选D.由题意得
①2+②2得cos
β=，cos
α=，
由α，β均为锐角知，sin
β=，sin
α=，
所以tan
β=2，tan
α=，所以tan
2β=-，
所以tan(α+2β)=0.又α+2β∈，
所以α+2β=π.
2.若△ABC的内角A满足sin
2A=，则sin
A+cos
A的值为_______.?
【解析】因为sin
2A=2sin
Acos
A=，
所以A为锐角，且1+2sin
Acos
A=，即sin2A+2sin
Acos
A+cos2A=，
所以|sin
A+cos
A|=.
又因为A为锐角，所以sin
A+cos
A=.
答案：
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