机密★启用前
2020年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试
数学试卷参考答案
第一部分选择题(共81分)
答案
C
A
A
题号10
11
131415
17
答案
B
B
232425
答案B
A
B
C
C
A
数学试卷参考答案第1页(共5页)
第二部分解答题(共19分)
28.(本小题满分5分)
某同学解答一道三角函数题:“已知函数f(x)=3sinx+cosx.(I)求函数f(x)的最小
正周期;(Ⅱ)求函数f(x)在区间-,]上的最大值
该同学解答过程如下
解答:(I)因为f(x)=√3sinx+cosx
所以f(x)=2(sinx+,cosx)
2(sinxcos
6+cosxsin
6
所以T=2=2
所以函数f(x)的最小正周期是2兀
Ⅱ)因为
所
所以当x+=时,函数y=in(x+x)的最大值是1
所以当x=时,函数f(x)的最大值是2
写出该同学在解答过程中用到了下表中的哪些数学知识.(写出5个即可)
任意角的概念
任意角的正弦、余弦、正切的定义
弧度制的概念
±a,T±a的正弦余弦、正切的诱导公式
弧度与角度的互化
函数y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象
角函数的周期性
正弦函数余弦函数在区间[0,2丌]上的性质
同角三角函数的基本关系式正切函数在区间(-,)上的性质
两角差的余弦公式
函数y=Asin(ox+φ)的实际意义
两角和的正弦、余弦、正切公式
倍角的正弦余弦正切公式参数(A对函数,+网象变化的影响
解答:任意角的正弦、余弦、正切的定义;两角和的正弦、余弦、正切公式;
三角函数的周期性;正弦函数、余弦函数在区间[0,2x]上的性质
参数A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象变化的影响
数学试卷参考答案第2页(共5页)
29.(本小题满分5分)
阅读下面题目及其证明过程,并回答问题
如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AB⊥BC,E,F分别是棱BC
PC的中点
(Ⅰ)求证:EF∥平面PAB
Ⅱ)求证:EF⊥BC
解答:(I)证明:在△PBC中
因为E,F分别是BC,PC的中点,
所以EF∥PB
E
因为EF￠平面PAB,PBC平面PAB,
所以EF∥平面PAB
Ⅱ)证明:在三棱锥P-ABC中,
因为PA⊥底面ABC,BCC平面ABC
所
因为AB⊥BC,且PA∩AB=A
所以
因为PBC平面PAB
所以
1(I)知EF∥PB
所以EF⊥BC
问题1:在(Ⅰ)的证明过程中,证明的思路是先证,再证
问题2:在(Ⅱ)的证明过程中,设置了三个空格.请从下面给出的四个选项中,为
每一个空格选择一个正确的选项,以补全证明过程
①PA⊥BC;②PA⊥AC;③BC⊥平面PAB;④BC⊥PB
解答:问题1直线与直线平行;直线与平面平行
问题2PA⊥BC;BC⊥平面PAB;BC⊥PB
数学试卷参考答案第3页(共5页)2020年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试
数学试卷
考生须知
1.
考生要认真填写考场号和座位序号。
2.
本试卷共8页，分为两个部分，第一部分为选择题，27个小题（共81分）；第二部分为解答题，个小题（共19分）。
3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。
参考公式：锥体的体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高.
第一部分
选择题（每小题分，共81分）
在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.
1.
已知集合，，那么集合等于
A.
B．
C．
D．
2.
函数的定义域是
A.
B.
C.
D.
R
3.
如果指数函数(，且)的图象经过点，那么a的值是
A.
B．
C．
D．
4.
将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数表达式是
A．
B.
C.
D.
5.
在平行四边形中，等于
A．
B．
C．
D．
6.
在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴
重合，终边经过点，那么的值是
A．
B．
C．
D．
7.
已知向量，，且，那么实数m的值是
A．
B．
C．
D．
8.
已知直线，，且，那么实数的值是
A.
B.
C.
D.
9.
如图，正方体的棱，，，所在的直线中，与直
线成异面直线的是
A.
直线
B.
直线
C.
直线
D.
直线
10.
计算的结果是
A.
B.
C.
D.
11.
在庆祝中华人民共和国成立周年之际，某学校为了解《我和我的祖国》、《我
爱你，中国》、《今天是你的生日》等经典爱国歌曲的普及程度，在学生中开展问卷调查.
该校共有高中学生人，其中高一年级学生人，高二年级学生人，高三年级学生人.
现采用分层抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为
A．
B．
C．
D．
12.
计算的结果是
A.
B.
C.
D.
13.
某同学打算编织一条毛线围巾送给妈妈，决定从妈妈喜欢的白色、黄色和紫色中
随机选择两种颜色的毛线编织，那么这条围巾是由白色、紫色两种颜色的毛线编织的概率是
A.
B.
C.
D.
14.
计算的结果是
A.
B.
C.
D.
15.
经过点，且斜率为的直线的方程是
A.
B.
C.
D.
16.
已知向量，满足，，与夹角为，那么等于
A.
B.
C.
D.
17.
如图，在三棱柱中，底面，，
，那么三棱锥的体积是
A.
B.
C.
D.
18.
已知中，，，，那么等于
A.
B.
C.
D.
19.
函数的零点的个数是
A.
B.
C.
D.
20.
已知两条直线，和平面，那么下列命题中正确的是
A.
若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
21.
如图，给出了偶函数的部分图象，那么等于
A.
B.
C.
D.
22.
圆的圆心到直线的距离是
A.
B.
C.
D.
23.
已知直线经过，两点，那么直线的倾斜角的大小是
A.
B.
C.
D.
24.
圆与圆的公共点的个数是
A.
B.
C.
D.
25.
已知函数
如果，那么实数m的值是
A.
B.
C.
D.
26.
如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围是
A.
B.
C.
D.
27.
年以前，北京市先后组织实施了多个阶段的大气污染防治行动，针对燃
煤、工业、扬尘排放和机动车排放等采取了数百项治理措施.
年北京市首次探索区域联防联控，取得了良好效果.
年北京市制定实施以防治细颗粒物为重点的《-年清洁空气行动计划》，治理成效显著.
上图是年至年可吸入颗粒物、细颗粒物、二氧化氮、二氧化硫等主要污染物年日均值的折线图．根据图中信息，下列结论中正确的是
A.
年到年，空气中可吸入颗粒物的年日均值逐年下降
B.
年到年，空气中细颗粒物的年日均值逐年下降
C.
年到年，空气中二氧化氮的年日均值都低于微克/立方米
D.
年到年，空气中二氧化硫的年日均值最低的年份是年
29.
（本小题满分5分）
阅读下面题目及其证明过程，并回答问题.
如图，在三棱锥中，底面，，，分别是棱，
的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：．
解答：（Ⅰ）证明：在中，
因为
，分别是，的中点，
所以
．
因为
平面,平面,
所以
平面．
（Ⅱ）证明：在三棱锥中，
因为
底面，平面，
所以
___．
因为
，且，
所以
___．
因为
平面，
所以
___．
由（Ⅰ）知，
所以
．
问题1：在（Ⅰ）的证明过程中，证明的思路是先证___，再证___．
问题2：在（Ⅱ）的证明过程中，设置了三个空格.
请从下面给出的四个选项中,为每一个空格选择一个正确的选项，以补全证明过程.
①；
②；
③平面；
④．
30.
（本小题满分5分）
已知圆的圆心坐标为，且与轴相切，直线与圆交于，两点，求.
某同学的解答过程如下：
解答：因为
圆的圆心坐标为，且与轴相切，
所以
圆的半径是.
所以
圆的方程是.
因为
直线与圆交于，两点，
联立方程组
解得
或
不妨设
，，
所以
.
（Ⅰ）指出上述解答过程中的错误之处；
（Ⅱ）写出正确的解答过程.
31.
（本小题满分4分）
年月日下午，探月工程传来捷报，嫦娥四号任务取得圆满成功，在人类历史上首次实现了航天器在月球背面软着陆和巡视勘察，首次实现了月球背面与地球的测控通信，在月球背面留下了人类探月的第一行足迹，开启了人类探索宇宙奥秘的新篇章.
某同学为祖国的航天事业取得的成就感到无比自豪，同时对航天知识产生了浓厚的兴趣.
通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，单级火箭的最大速度（单位:
千米/秒）满足，其中（单位:
千米/秒）表示它的发动机的喷射速度，（单位：吨）表示它装载的燃料质量，（单位：吨）表示它自身的质量（不包括燃料质量）.
（Ⅰ）某单级火箭自身的质量为吨，发动机的喷射速度为千米/秒.
当它装载吨
燃料时，求该单级火箭的最大速度；（精确到）
（Ⅱ）根据现在的科学技术水平，通常单级火箭装载的燃料质量与它自身质量的比值不超过.
如果某单级火箭的发动机的喷射速度为千米/秒，判断该单级火箭的最大速度能否超过千米/秒，请说明理由.
（参考数据：无理数，）
数学试卷第8页
(共8页)
